Ovaj članak će objasniti Black-Scholes formulu jednostavnim riječima. Black-Scholes model je matematički model dinamike finansijskog tržišta koji sadrži derivativne instrumente ulaganja.
Iz parcijalne diferencijalne jednačine u modelu (poznate kao Black-Scholesova jednačina), može se izvesti Black-Scholes formula. Daje teorijsku cijenu opcije u evropskom stilu i pokazuje da opcija ima jedinstvenu cijenu bez obzira na rizik hartije od vrijednosti i njen očekivani prinos (umjesto zamjene očekivanog prinosa vrijednosnog papira neutralnom stopom).
Formula je dovela do buma u trgovini opcijama i dala matematički legitimitet Chicago Board Options Exchange i drugim tržištima opcija širom svijeta. Učesnici na tržištu opcija ga široko koriste, iako često uz prilagođavanja i korekcije. Na slikama u ovom članku možete vidjeti primjere Black-Scholes formule.
Istorija i suština
Zasnovano na radu koji su prethodno razvili istraživači i praktičaritržišta kao što su Louis Bachelier, Sheen Kassouf i Ed Thorpe, Fisher Black i Myron Scholes u kasnim 1960-ima pokazala su da je dinamična revizija portfelja eliminirala očekivani povratak sigurnosti.
Godine 1970., nakon što su pokušali primijeniti formulu na tržištima i pretrpjeli finansijske gubitke zbog nedostatka upravljanja rizicima u svojim profesijama, odlučili su da se fokusiraju na svoju oblast, akademiju. Nakon tri godine truda, formula, nazvana po njihovom proglašenju, konačno je objavljena 1973. u članku pod naslovom "Opcije cijena i korporativne obveznice" u časopisu Journal of Political Economy. Robert S. Merton je bio prvi koji je objavio rad koji je proširio matematičko razumijevanje modela cijena opcija i skovao termin "Black-Scholesov model cijena".
Za svoj rad, Merton i Scholes su 1997. dobili Nobelovu memorijalnu nagradu za ekonomiju, komitet, navodeći svoje otkriće dinamičke revizije neovisne o riziku kao proboj koji razdvaja opciju od osnovnog sigurnosnog rizika. Iako nije dobio nagradu zbog smrti 1995. godine, Blacka je švedski akademik spomenuo kao učesnika. Na slici ispod možete vidjeti tipičnu Black-Scholes formulu.
Opcije
Glavna ideja ovog modela je hedžiranje opcije pravilnom kupovinom i prodajom osnovne imovine i, kao rezultat, eliminisanjem rizika. Ova vrsta zaštite se naziva "stalno ažurirana delta hedžing". Onje osnova za složenije strategije poput onih koje koriste investicione banke i hedž fondovi.
Upravljanje rizikom
Pretpostavke modela su opuštene i generalizirane u mnogim smjerovima, što je rezultiralo različitim modelima koji se trenutno koriste u određivanju cijena derivata i upravljanju rizikom. Upravo razumijevanje modela, kao što je prikazano u Black-Scholes formuli, često koriste učesnici na tržištu, za razliku od stvarnih cijena. Ovi detalji ne uključuju ograničenja arbitraže i neutralne cijene (zbog stalnog pregleda). Osim toga, Black-Scholesova jednadžba, parcijalna diferencijalna jednadžba koja određuje cijenu opcije, omogućava da se cijene odrede numerički kada eksplicitna formula nije moguća.
Volatilnost
Blek-Skolsova formula ima samo jedan parametar koji se ne može direktno posmatrati na tržištu: prosečna buduća volatilnost osnovne imovine, iako se može naći po ceni drugih opcija. Kako se vrijednost parametra (bilo put ili call) povećava u tom parametru, može se invertirati kako bi se proizvela "površina volatilnosti" koja se zatim koristi za kalibraciju drugih obrazaca kao što su OTC derivati.
Imajući ove pretpostavke na umu, pretpostavite da ovo tržište također trguje derivatima. Naznačavamo da će ova hartija od vrijednosti imati određenu isplatu na određeni datum u budućnosti, ovisno o vrijednosti koju preuzima dionica.prije ovog datuma. Iznenađujuće, cijena derivata je sada potpuno određena, iako ne znamo kojim putem će cijena dionice ići u budućnosti.
Za poseban slučaj evropske call ili put opcije, Black and Scholes je pokazao da je moguće kreirati zaštićenu poziciju koja se sastoji od duge pozicije u dionici i kratke pozicije u opciji, čija vrijednost ne bi zavisila od cene akcija. Njihova dinamička strategija hedžinga rezultirala je parcijalnom diferencijalnom jednadžbom koja je odredila cijenu opcije. Njegovo rješenje je dato Black-Scholes formulom.
Razlika termina
Blek-Skolsova formula za excel može se protumačiti tako što prvo podelite opciju poziva na razliku dve binarne opcije. Call opcija razmjenjuje gotovinu za sredstvo na isteku, dok sredstvo poziva sa ili bez sredstva jednostavno daje sredstvo (bez gotovine u zamjenu), a bezgotovinski poziv jednostavno vraća novac (bez zamjene sredstva)). Black-Scholesova formula za opciju je razlika dva termina, a ova dva pojma jednaka su vrijednosti binarnih call opcija. Ove binarne opcije trguju mnogo rjeđe nego vanile opcije, ali ih je lakše analizirati.
U praksi, neke vrijednosti osjetljivosti se obično skraćuju kako bi odgovarale skali vjerovatnih promjena parametara. Na primjer, često se navodi rho podijeljen sa 10000 (promjena za 1 bazni poen), vega sa 100 (promjena za 1 poen zapremine) i theta sa 365.ili 252 (1-dnevno povlačenje na osnovu kalendarskih ili trgovačkih dana u godini).
Navedeni model se može proširiti za varijabilne (ali determinističke) stope i volatilnost. Model se takođe može koristiti za vrednovanje evropskih opcija za instrumente isplate dividendi. U ovom slučaju su dostupna rješenja zatvorenog oblika ako je dividenda poznati dio cijene dionice. Američke i dioničke opcije koje isplaćuju poznatu novčanu dividendu (realističnije od proporcionalne dividende u kratkom roku) je teže vrednovati i dostupan je izbor metoda rješenja (npr. rešetke i rešetke).
Prilaz
Korisna aproksimacija: iako volatilnost nije konstantna, rezultati modela često pomažu u postavljanju hedžinga u pravim proporcijama kako bi se rizik minimizirao. Čak i ako rezultati nisu sasvim tačni, oni služe kao prva aproksimacija kojoj se mogu izvršiti prilagođavanja.
Osnovno za bolje modele: Black-Scholes model je robustan u smislu da se može prilagoditi da se nosi s nekim od svojih kvarova. Umjesto da neke parametre (kao što su volatilnost ili kamatne stope) tretiramo kao konstante, mi ih tretiramo kao varijable i tako dodajemo izvore rizika.
Ovo se ogleda u Grcima (promjena vrijednosti opcije za promjenu ovih parametara ili ekvivalent parcijalnih derivata u odnosu na ove varijable) i zaštita ovih Grkasmanjuje rizik uzrokovan promjenjivom prirodom ovih parametara. Međutim, drugi nedostaci se ne mogu otkloniti promjenom modela, posebno rizik repa i rizik likvidnosti, već se njima upravlja izvan modela, uglavnom minimiziranjem ovih rizika i testiranjem na stres.
Eksplicitno modeliranje
Eksplicitno modeliranje: Ova funkcija znači da umjesto pretpostavke a priori volatilnosti i izračunavanja cijena iz nje, možete koristiti model za određivanje volatilnosti koji daje impliciranu volatilnost opcije po datim cijenama, vremenima i cijenama izvršenja. Rješavanjem volatilnosti u datom skupu trajanja štrajka i cijena, može se konstruirati implicirana površina volatilnosti.
U ovoj primjeni Black-Scholes modela, dobijena je transformacija koordinata iz područja cijene u područje volatilnosti. Umjesto citiranja cijena opcija u dolarima po jedinici (koje je teško uporediti na osnovu štrajkova, trajanja i učestalosti kupona), cijene opcija mogu se citirati u smislu implicirane volatilnosti, što dovodi do nestabilnosti trgovanja na tržištima opcija.
