Trougao je najjednostavniji lik zatvoren na ravni, koji se sastoji od samo tri međusobno povezana segmenta. U geometrijskim problemima često je potrebno odrediti površinu ove figure. Šta trebate znati za ovo? U članku ćemo odgovoriti na pitanje kako pronaći površinu trokuta na tri strane.
Opšta formula
Svaki učenik zna da se površina trokuta izračunava kao proizvod dužine bilo koje njegove stranice - a za polovinu visine - h, spuštene na odabranu stranu. Ispod je odgovarajuća formula: S=ah/2.
Ovaj izraz se može koristiti ako su poznate najmanje dvije strane i vrijednost ugla između njih. U ovom slučaju, visinu h je lako izračunati pomoću trigonometrijskih funkcija, kao što je sinus. Ali ne znaju svi kako pronaći površinu na tri strane trougla.
Heron's Formula
Ova formula je odgovor na pitanje kakotri strane pronađite površinu trokuta. Prije nego što to zapišemo, označimo dužine segmenata proizvoljne figure kao a, b i c. Heronova formula je zapisana na sljedeći način: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Gdje je p poluperimetar figure, tj.: p=(a+b+c)/2.
Uprkos prividnoj glomaznosti, gornji izraz za područje S je lako zapamtiti. Da biste to učinili, prvo morate izračunati poluperimetar trokuta, zatim od njega oduzeti jednu dužinu stranice figure, pomnožiti sve dobivene razlike i sam poluperimetar. Konačno, uzmite kvadratni korijen proizvoda.
Ova formula je dobila ime po Heronu od Aleksandrije, koji je živio na početku naše ere. Moderna historija vjeruje da je ovaj filozof prvi primijenio ovaj izraz da izvrši odgovarajuće proračune. Ova formula je objavljena u njegovoj Metrici, koja datira iz 60. godine nove ere. Imajte na umu da neka od Arhimedovih djela, koji je živio dva stoljeća ranije od Herona, sadrže znakove da je grčki filozof već znao formulu. Osim toga, stari Kinezi su također znali pronaći površinu trougla, znajući tri strane.
Važno je napomenuti da se problem može riješiti bez poznavanja postojanja Heronove formule. Da biste to uradili, nacrtajte nekoliko visina u trouglu i koristite opštu formulu iz prethodnog paragrafa, sastavljajući odgovarajući sistem jednačina.
Heronov izraz se može koristiti za izračunavanje površina proizvoljnih poligona, nakon što ih podijelite natrokuta i izračunavanje dužina rezultirajućih dijagonala.
Primjer rješavanja problema
Znajući kako pronaći površinu trougla na tri strane, hajde da konsolidujemo naše znanje rješavanjem sljedećeg problema. Neka stranice figure budu 5 cm, 4 cm i 3 cm. Pronađite površinu.
Poznate su tri strane trougla, tako da možete koristiti Heronovu formulu. Izračunavamo poluperimetar i potrebne razlike, imamo:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Tada dobijamo površinu: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Trougao dat u uslovu zadatka je pravougli, što je lako proveriti ako koristite Pitagorinu teoremu. Pošto je površina takvog trokuta polovina umnožaka kateta, dobijamo: S=43/2=6 cm2.
Rezultirajuća vrijednost je ista kao i za Heronovu formulu, što potvrđuje valjanost potonje.
