Matrix je poseban predmet u matematici. Prikazuje se u obliku pravokutne ili kvadratne tablice, sastavljene od određenog broja redova i stupaca. U matematici postoji veliki izbor tipova matrica koje se razlikuju po veličini ili sadržaju. Brojevi njegovih redova i kolona nazivaju se nalozima. Ovi objekti se koriste u matematici za organizovanje pisanja sistema linearnih jednačina i pogodno traženje njihovih rezultata. Jednadžbe pomoću matrice rješavaju se metodom Carla Gausa, Gabriela Cramera, sporednih i algebarskih sabiranja i na mnoge druge načine. Osnovna vještina pri radu sa matricama je dovođenje u standardni oblik. Međutim, prvo, hajde da shvatimo koje vrste matrica razlikuju matematičari.
Nuti tip
Sve komponente ove vrste matrice su nule. U međuvremenu, broj njegovih redova i kolona je potpuno drugačiji.
Kvadratna vrsta
Broj kolona i redova ove vrste matrice je isti. Drugim riječima, to je sto u obliku kvadrata. Broj njegovih kolona (ili redova) naziva se red. Posebni slučajevi su postojanje matrice drugog reda (matrica 2x2), četvrtog reda (4x4), desetog (10x10), sedamnaestog (17x17) i tako dalje.
Vektor kolone
Ovo je jedna od najjednostavnijih vrsta matrica, koja sadrži samo jednu kolonu, koja uključuje tri numeričke vrijednosti. Predstavlja niz slobodnih termina (brojeva nezavisnih od varijabli) u sistemima linearnih jednačina.
Vektor reda
Pogledajte slično prethodnom. Sastoji se od tri numerička elementa, redom organizirana u jednu liniju.
Tip dijagonale
Samo komponente glavne dijagonale (označene zelenom bojom) uzimaju numeričke vrijednosti u dijagonalnom obliku matrice. Glavna dijagonala počinje sa elementom u gornjem levom uglu i završava se sa elementom u donjem desnom uglu, respektivno. Ostale komponente su nula. Dijagonalni tip je samo kvadratna matrica nekog reda. Među matricama dijagonalnog oblika može se izdvojiti skalarna. Sve njegove komponente imaju iste vrijednosti.
Matrica identiteta
Podvrsta dijagonalne matrice. Sve njegove numeričke vrijednosti su jedinice. Koristeći jednu vrstu matričnih tablica, izvršite njene osnovne transformacije ili pronađite matricu inverznu originalnoj.
Kanonski tip
Kanonski oblik matrice smatra se jednim od glavnih; livenje na njega je često potrebno da bi proradio. Broj redova i stupaca u kanonskoj matrici je različit, ne mora nužno pripadati kvadratnom tipu. Ona je donekle slična matrici identiteta, međutim, u njenom slučaju, sve komponente glavne dijagonale ne poprimaju vrijednost jednaku jedan. Mogu postojati dvije ili četiri glavne dijagonalne jedinice (sve ovisi o dužini i širini matrice). Ili možda uopće nema jedinica (onda se smatra nulom). Preostale komponente kanonskog tipa, kao i elementi dijagonale i identiteta, jednaki su nuli.
tip trougla
Jedan od najvažnijih tipova matrice, koji se koristi kada se traži njena determinanta i kada se izvode jednostavne operacije. Trokutasti tip dolazi od dijagonalnog tipa, tako da je matrica također kvadratna. Trokutasti prikaz matrice je podijeljen na gornji trokutasti i donji trokutasti.
U gornjoj trouglastoj matrici (slika 1), samo elementi koji su iznad glavne dijagonale poprimaju vrijednost jednaku nuli. Komponente same dijagonale i dio matrice ispod nje sadrže numeričke vrijednosti.
U donjoj trouglastoj matrici (slika 2), naprotiv, elementi koji se nalaze u donjem dijelu matrice jednaki su nuli.
Step Matrix
Pregled je neophodan za pronalaženje ranga matrice, kao i za elementarne operacije nad njima (zajedno sa trouglastim tipom). Matrica koraka je tako nazvana jer sadrži karakteristične "korake" nula (kao što je prikazano na slici). U stepenastom tipu formira se dijagonala nula (ne nužno glavna), a svi elementi ispod ove dijagonale također imaju vrijednosti jednake nuli. Preduvjet je sljedeći: ako postoji nulti red u matrici koraka, onda preostali redovi ispod njega također ne sadrže numeričke vrijednosti.
Tako smo razmotrili najvažnije tipove matrica potrebnih za rad sa njima. Sada se pozabavimo zadatkom pretvaranja matrice u traženi oblik.
Svedi na trouglasti oblik
Kako dovesti matricu u trouglasti oblik? Najčešće, u zadacima, morate pretvoriti matricu u trouglasti oblik da biste pronašli njenu determinantu, koja se inače naziva determinanta. Prilikom izvođenja ovog postupka izuzetno je važno "sačuvati" glavnu dijagonalu matrice, jer je determinanta trokutaste matrice upravo proizvod komponenti njene glavne dijagonale. Dozvolite mi da vas podsjetim i na alternativne metode za pronalaženje determinante. Determinanta kvadratnog tipa nalazi se pomoću posebnih formula. Na primjer, možete koristiti metodu trokuta. Za ostale matrice koristi se metoda dekompozicije po redu, stupcu ili njihovim elementima. Također možete primijeniti metodu minora i algebarskih komplemenata matrice.
DetaljiAnalizirajmo proces dovođenja matrice u trouglasti oblik koristeći primjere nekih zadataka.
Zadatak 1
Neophodno je pronaći determinantu prikazane matrice metodom dovođenja u trouglasti oblik.
Matrica koja nam je data je kvadratna matrica trećeg reda. Stoga, da bismo ga transformisali u trouglasti oblik, moramo poništiti dvije komponente prvog stupca i jednu komponentu drugog.
Da biste ga doveli u trouglasti oblik, počnite transformaciju od donjeg lijevog ugla matrice - od broja 6. Da biste ga pretvorili na nulu, pomnožite prvi red sa tri i oduzmite ga od posljednjeg reda.
Važno! Gornja linija se ne mijenja, ali ostaje ista kao u originalnoj matrici. Ne morate napisati string četiri puta veći od originalnog. Ali vrijednosti nizova čije komponente treba poništiti se stalno mijenjaju.
Dalje, pozabavimo se sljedećom vrijednošću - elementom drugog reda prve kolone, brojem 8. Pomnožite prvi red sa četiri i oduzmite ga od drugog reda. Dobijamo nulu.
Ostaje samo zadnja vrijednost - element trećeg reda druge kolone. Ovo je broj (-1). Da ga pretvorite na nulu, oduzmite drugi od prvog reda.
Provjerimo:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Dakle, odgovor na zadatak je -22.
Zadatak 2
Moramo pronaći determinantu matrice dovodeći je u trouglasti oblik.
Predstavljena matricapripada tipu kvadrata i matrica je četvrtog reda. To znači da tri komponente prve kolone, dvije komponente druge kolone i jedna komponenta treće kolone moraju biti nule.
Počnimo njegovo smanjenje od elementa koji se nalazi u donjem lijevom uglu - od broja 4. Ovaj broj trebamo okrenuti na nulu. Najlakši način da to učinite je da pomnožite gornji red sa četiri, a zatim ga oduzmete od četvrtog reda. Zapišimo rezultat prve faze transformacije.
Dakle, komponenta četvrtog reda je postavljena na nulu. Pređimo na prvi element treće linije, na broj 3. Izvodimo sličnu operaciju. Pomnožite sa tri prvi red, oduzmite ga od trećeg reda i napišite rezultat.
Dalje, vidimo broj 2 u drugom redu. Ponavljamo operaciju: pomnožite gornji red sa dva i oduzmite ga od drugog.
Uspjeli smo postaviti na nulu sve komponente prve kolone ove kvadratne matrice, osim broja 1, elementa glavne dijagonale koji ne zahtijeva transformaciju. Sada je važno zadržati rezultirajuće nule, pa ćemo transformacije izvoditi sa redovima, a ne kolonama. Pređimo na drugu kolonu predstavljene matrice.
Počnimo ponovo od dna - od elementa druge kolone posljednjeg reda. Ovo je broj (-7). Međutim, u ovom slučaju je zgodnije početi s brojem (-1) - elementom druge kolone trećeg reda. Da biste ga pretvorili na nulu, oduzmite drugi red od trećeg. Zatim drugi red množimo sa sedam i oduzimamo ga od četvrtog. Dobili smo nulu umjesto elementa koji se nalazi u četvrtom redu druge kolone. Pređimo sada na trećestupac.
U ovoj koloni trebamo okrenuti na nulu samo jedan broj - 4. To je lako učiniti: samo dodajte treći u zadnji red i vidite nulu koja nam je potrebna.
Nakon svih transformacija, doveli smo predloženu matricu u trouglasti oblik. Sada, da biste pronašli njegovu determinantu, trebate samo pomnožiti rezultirajuće elemente glavne dijagonale. Dobijamo: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Dakle, rješenje je broj 160.
Dakle, sada pitanje dovođenja matrice u trouglasti oblik vam neće otežati.
Smanjenje na stepenastu formu
U elementarnim operacijama na matricama, stepenasti oblik je manje "zahtevan" od trouglastog. Najčešće se koristi za pronalaženje ranga matrice (tj. broja njenih redova koji nisu nula) ili za određivanje linearno zavisnih i nezavisnih redova. Međutim, stepenasti matrični prikaz je svestraniji, jer je pogodan ne samo za kvadratni tip, već i za sve ostale.
Da biste sveli matricu na stepenasti oblik, prvo morate pronaći njenu determinantu. Za to su prikladne gore navedene metode. Svrha pronalaženja determinante je otkriti može li se pretvoriti u matricu koraka. Ako je determinanta veća ili manja od nule, onda možete sigurno nastaviti sa zadatkom. Ako je jednak nuli, neće raditi reduciranje matrice na stepenasti oblik. U tom slučaju morate provjeriti ima li grešaka u zapisu ili u transformacijama matrice. Ako nema takvih netačnosti, zadatak se ne može riješiti.
Da vidimo kakodovedite matricu u stepenasti oblik koristeći primjere nekoliko zadataka.
Zadatak 1. Pronađite rang date matrične tabele.
Pred nama je kvadratna matrica trećeg reda (3x3). Znamo da je za pronalaženje ranga potrebno svesti ga na stepenasti oblik. Stoga, prvo trebamo pronaći determinantu matrice. Koristeći metodu trougla: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinanta=12. Veća je od nule, što znači da se matrica može svesti na stepenasti oblik. Započnimo njegove transformacije.
Počnimo sa elementom lijeve kolone trećeg reda - brojem 2. Pomnožite gornji red sa dva i oduzmite ga od trećeg. Zahvaljujući ovoj operaciji, i element koji nam je potreban i broj 4 - element druge kolone trećeg reda - pretvorili su se u nulu.
Dalje, okrenite na nulu element drugog reda prve kolone - broj 3. Da biste to učinili, pomnožite gornji red sa tri i oduzmite ga od drugog.
Vidimo da je smanjenje rezultiralo trouglastom matricom. U našem slučaju, transformacija se ne može nastaviti, jer se preostale komponente ne mogu okrenuti na nulu.
Dakle, zaključujemo da je broj redova koji sadrže numeričke vrijednosti u ovoj matrici (ili njenom rangu) 3. Odgovor na zadatak: 3.
Zadatak 2. Odredite broj linearno nezavisnih redova ove matrice.
Moramo pronaći nizove koji se ne mogu preokrenuti nikakvim transformacijamana nulu. U stvari, trebamo pronaći broj redova koji nisu nula, ili rang predstavljene matrice. Da to uradimo, pojednostavimo.
Vidimo matricu koja ne pripada tipu kvadrata. Dimenzija je 3x4. Započnimo i cast od elementa donjeg lijevog ugla - broja (-1).
Dodajte prvi red u treći. Zatim oduzmite sekundu da biste broj 5 pretvorili na nulu.
Dalje transformacije su nemoguće. Dakle, zaključujemo da je broj linearno nezavisnih linija u njemu i odgovor na zadatak 3.
Sada dovođenje matrice u stepenasti oblik za vas nije nemoguć zadatak.
Na primjerima ovih zadataka analizirali smo svođenje matrice na trokutasti oblik i stepenasti oblik. Da bi se poništile željene vrijednosti matričnih tablica, u nekim slučajevima je potrebno pokazati maštu i ispravno transformirati njihove stupce ili redove. Sretno u matematici i radu sa matricama!
