Matrice: Gaussova metoda. Izračunavanje Gaussove matrice: Primjeri

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Linearna algebra, koja se predaje na univerzitetima u različitim specijalnostima, kombinuje mnoge složene teme. Neki od njih se odnose na matrice, kao i na rješavanje sistema linearnih jednačina Gaussovim i Gauss-Jordanovim metodama. Ne uspijevaju svi učenici razumjeti ove teme, algoritme za rješavanje raznih problema. Hajde da zajedno shvatimo matrice i metode Gaussove i Gauss-Jordanove.

Osnovni koncepti

Matrica u linearnoj algebri je pravougaoni niz elemenata (tabela). Ispod su skupovi elemenata zatvoreni u zagradama. Ovo su matrice. Iz gornjeg primjera može se vidjeti da elementi u pravokutnim nizovima nisu samo brojevi. Matrica se može sastojati od matematičkih funkcija, algebarskih simbola.

Da bismo razumjeli neke koncepte, napravimo matricu A od elemenata a_ij. Indeksi nisu samo slova: i je broj reda u tabeli, a j je broj kolone, u području čijeg preseka se element nalazia_ij. Dakle, vidimo da imamo matricu elemenata kao što su a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ itd. Slovo n označava broj kolona, a slovo m broj redova. Simbol m × n označava dimenziju matrice. Ovo je koncept koji definira broj redova i stupaca u pravokutnom nizu elemenata.

Opcionalno, matrica mora imati nekoliko kolona i redova. Sa dimenzijom od 1 × n, niz elemenata je jednoredni, a sa dimenzijom m × 1 je niz sa jednim stupcem. Kada su broj redova i broj kolona jednaki, matrica se naziva kvadratna. Svaka kvadratna matrica ima determinantu (det A). Ovaj izraz se odnosi na broj koji je dodijeljen matrici A.

Još nekoliko važnih koncepata koje treba zapamtiti kako biste uspješno riješili matrice su glavna i sekundarna dijagonala. Glavna dijagonala matrice je dijagonala koja se iz gornjeg lijevog ugla spušta do desnog ugla tabele. Bočna dijagonala ide u desni kut gore od lijevog ugla odozdo.

Stepped matrix view

Pogledajte sliku ispod. Na njemu ćete vidjeti matricu i dijagram. Prvo se pozabavimo matricom. U linearnoj algebri, matrica ove vrste naziva se matrica koraka. Ima jedno svojstvo: ako je a_ij prvi element koji nije nula u i-tom redu, tada svi ostali elementi iz matrice ispod i lijevo od a_ij , su nulti (tj. svi oni elementi kojima se može dati slovna oznaka a_kl, gdje je k>i il<j).

Sada razmotrite dijagram. Odražava stepenasti oblik matrice. Shema prikazuje 3 vrste ćelija. Svaki tip označava određene elemente:

• prazne ćelije - nula elemenata matrice;
• zasjenjene ćelije su proizvoljni elementi koji mogu biti i nula i različiti od nule;
• crni kvadrati su elementi različiti od nule, koji se nazivaju ugaoni elementi, „koraci” (u matrici prikazanoj pored njih, takvi elementi su brojevi –1, 5, 3, 8).

Kada se rješavaju matrice, ponekad je rezultat da je "dužina" koraka veća od 1. Ovo je dozvoljeno. Bitna je samo "visina" stepenica. U matrici koraka, ovaj parametar mora uvijek biti jednak jedan.

Smanjenje matrice na formu koraka

Svaka pravougaona matrica se može konvertovati u stepenasti oblik. To se radi kroz elementarne transformacije. Oni uključuju:

• preuređivanje žica;
• Dodavanje još jednog reda u jednu liniju, ako je potrebno pomnoženo nekim brojem (možete izvršiti i operaciju oduzimanja).

Razmotrimo elementarne transformacije u rješavanju konkretnog problema. Slika ispod prikazuje matricu A, koju treba svesti na stepenasti oblik.

Da bismo riješili problem, slijedit ćemo algoritam:

• Pogodno je izvršiti transformacije na matrici saprvi element u gornjem lijevom uglu (tj. "vodeći" element) je 1 ili -1. U našem slučaju, prvi element u gornjem redu je 2, pa hajde da zamijenimo prvi i drugi red.
• Izvršimo operacije oduzimanja, utičući na redove 2, 3 i 4. Trebali bismo dobiti nule u prvoj koloni ispod "vodeći" elementa. Da bismo postigli ovaj rezultat: od elemenata linije br. 2, uzastopno oduzimamo elemente reda br. 1, pomnožene sa 2; od elemenata reda br. 3 uzastopno oduzimamo elemente reda br. 1, pomnožene sa 4; od elemenata reda br. 4 uzastopno oduzimamo elemente reda br. 1.
• Dalje ćemo raditi sa skraćenom matricom (bez kolone 1 i bez reda 1). Novi "vodeći" element, koji stoji na raskrsnici druge kolone i drugog reda, jednak je -1. Nema potrebe za preuređivanjem redova, tako da prepisujemo prvu kolonu i prvi i drugi red bez promjena. Izvodimo operacije oduzimanja kako bismo dobili nule u drugom stupcu ispod "vodeći" elementa: od elemenata trećeg reda uzastopno oduzimamo elemente drugog reda, pomnožene sa 3; oduzmi elemente drugog reda pomnožene sa 2 od elemenata četvrtog reda.
• Ostalo je promijeniti zadnji red. Od njegovih elemenata oduzimamo sukcesivno elemente trećeg reda. Tako smo dobili stepenastu matricu.

Svođenje matrica u stepenasti oblik koristi se u rješavanju sistema linearnih jednačina (SLE) Gaussovom metodom. Prije nego pogledamo ovu metodu, hajde da razumijemo neke od pojmova koji se odnose na SLN.

Matrice i sistemi linearnih jednačina

Matrice se koriste u raznim naukama. Koristeći tablice brojeva, možete, na primjer, rješavati linearne jednadžbe kombinovane u sistem koristeći Gaussov metod. Prvo, hajde da se upoznamo sa nekoliko pojmova i njihovih definicija, a takođe vidimo kako se matrica formira od sistema koji kombinuje nekoliko linearnih jednačina.

SLU – nekoliko kombinovanih algebarskih jednačina sa nepoznanicama prvog stepena i bez termina proizvoda.

SLE rješenje – pronađene vrijednosti nepoznatih, zamjenom kojih jednačine u sistemu postaju identiteti.

Zajednički SLE je sistem jednačina koji ima najmanje jedno rješenje.

Nedosljedni SLE je sistem jednačina koji nema rješenja.

Kako se formira matrica zasnovana na sistemu koji kombinuje linearne jednačine? Postoje koncepti kao što su glavna i proširena matrica sistema. Da bi se dobila glavna matrica sistema, potrebno je u tabelu staviti sve koeficijente za nepoznate. Proširena matrica se dobija dodavanjem kolone slobodnih članova glavnoj matrici (sadrži poznate elemente sa kojima je izjednačena svaka jednačina u sistemu). Možete razumjeti cijeli ovaj proces proučavanjem slike ispod.

Prva stvar koju vidimo na slici je sistem koji uključuje linearne jednačine. Njegovi elementi: a_ij – numerički koeficijenti, x_j – nepoznate vrijednosti, b_i – konstantni pojmovi (gdje je i=1, 2, …, m, i j=1, 2, …, n). Drugi element na slici je glavna matrica koeficijenata. Iz svake jednačine koeficijenti se ispisuju redom. Kao rezultat, postoji onoliko redova u matrici koliko ima jednačina u sistemu. Broj kolona jednak je najvećem broju koeficijenata u bilo kojoj jednačini. Treći element na slici je proširena matrica sa kolonom slobodnih pojmova.

Opće informacije o Gauss metodi

U linearnoj algebri, Gaussova metoda je klasičan način rješavanja SLE. Nosi ime Carla Friedricha Gausa, koji je živio u 18.-19. vijeku. Ovo je jedan od najvećih matematičara svih vremena. Suština Gaussove metode je da izvrši elementarne transformacije na sistemu linearnih algebarskih jednačina. Uz pomoć transformacija, SLE se svodi na ekvivalentan sistem trouglastog (stepenastog) oblika, iz kojeg se mogu pronaći sve varijable.

Vrijedi napomenuti da Carl Friedrich Gauss nije pronalazač klasične metode rješavanja sistema linearnih jednačina. Metoda je izmišljena mnogo ranije. Njegov prvi opis nalazi se u enciklopediji znanja drevnih kineskih matematičara, pod nazivom "Matematika u 9 knjiga".

Primjer rješavanja SLE Gaussovom metodom

Razmotrimo rješenje sistema Gaussovom metodom na konkretnom primjeru. Radićemo sa SLU-om prikazanim na slici.

Algoritam rješavanja:

1. Svešćemo sistem na stepenastu formu direktnim potezom Gaussove metode, ali prvosastavit ćemo proširenu matricu numeričkih koeficijenata i slobodnih članova.
2. Da bismo matricu riješili Gaussovom metodom (tj. doveli je u stepenasti oblik), od elemenata drugog i trećeg reda, uzastopno oduzimamo elemente prvog reda. Dobijamo nule u prvoj koloni ispod "vodećeg" elementa. Zatim ćemo promijeniti drugi i treći red na mjestima radi praktičnosti. Elementima posljednjeg reda dodaj redom elemente drugog reda, pomnožene sa 3.
3. Kao rezultat izračunavanja matrice Gaussovom metodom, dobili smo stepenasti niz elemenata. Na osnovu toga ćemo sastaviti novi sistem linearnih jednačina. Obrnutim tokom Gaussove metode nalazimo vrijednosti nepoznatih pojmova. Iz posljednje linearne jednačine se može vidjeti da je x₃ jednako 1. Ovu vrijednost zamjenjujemo u drugi red sistema. Dobijate jednačinu x₂ – 4=–4. Iz toga slijedi da je x₂ jednako 0. Zamijenite x₂ i x₃ u prvu jednačinu sistema: x1 _{+ 0 +3=2. Nepoznati pojam je -1.}

Odgovor: pomoću matrice, Gaussove metode, pronašli smo vrijednosti nepoznatih; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan metoda

U linearnoj algebri postoji i nešto kao što je Gauss-Jordan metoda. Smatra se modifikacijom Gausove metode i koristi se za pronalaženje inverzne matrice, izračunavanje nepoznatih članova kvadratnog sistema algebarskih linearnih jednačina. Gauss-Jordan metoda je zgodna po tome što omogućava rješavanje SLE u jednom koraku (bez upotrebe direktnog i inverznogpotezi).

Počnimo s pojmom "inverzna matrica". Pretpostavimo da imamo matricu A. Inverz za nju će biti matrica A^-1, dok je uslov nužno zadovoljen: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, tj. proizvod ovih matrica jednak je matrici identiteta (elementi glavne dijagonale matrice identiteta su jedinice, a preostali elementi su nula).}

Važna nijansa: u linearnoj algebri postoji teorema o postojanju inverzne matrice. Dovoljan i neophodan uslov za postojanje matrice A^-1 je da je matrica A nesingularna.

Osnovni koraci na kojima se zasniva Gauss-Jordan metoda:

1. Pogledajte prvi red određene matrice. Gauss-Jordan metoda se može pokrenuti ako prva vrijednost nije jednaka nuli. Ako je prvo mjesto 0, onda zamijenite redove tako da prvi element ima vrijednost različitu od nule (poželjno je da broj bude bliži jedan).
2. Podijelite sve elemente prvog reda prvim brojem. Na kraju ćete dobiti niz koji počinje s jedan.
3. Od drugog reda oduzmite prvi red pomnožen prvim elementom drugog reda, tj. na kraju ćete dobiti red koji počinje od nule. Uradite isto za ostale linije. Podijelite svaki red s prvim elementom koji nije nula da dobijete 1 dijagonalno.
4. Kao rezultat, dobićete gornju trouglastu matricu koristeći Gauss-Jordanovu metodu. U njemu je glavna dijagonala predstavljena jedinicama. Donji ugao je ispunjen nulama igornji ugao - razne vrijednosti.
5. Od pretposljednjeg reda oduzmite zadnji red pomnožen sa traženim koeficijentom. Trebali biste dobiti niz sa nulama i jedan. Za ostale redove ponovite istu radnju. Nakon svih transformacija, dobiće se matrica identiteta.

Primjer pronalaženja inverzne matrice korištenjem Gauss-Jordan metode

Da biste izračunali inverznu matricu, morate napisati proširenu matricu A|E i izvršiti potrebne transformacije. Razmotrimo jednostavan primjer. Slika ispod prikazuje matricu A.

Rješenje:

1. Prvo, hajde da pronađemo determinantu matrice koristeći Gausov metod (det A). Ako ovaj parametar nije jednak nuli, tada će se matrica smatrati nesingularnom. Ovo će nam omogućiti da zaključimo da A definitivno ima A^-1. Da bismo izračunali determinantu, transformišemo matricu u postepeni oblik pomoću elementarnih transformacija. Izbrojimo broj K jednak broju permutacija redova. Promenili smo linije samo 1 put. Izračunajmo determinantu. Njegova vrijednost će biti jednaka proizvodu elemenata glavne dijagonale, pomnoženom sa (–1)^K. Rezultat izračuna: det A=2.
2. Sastavite proširenu matricu dodavanjem matrice identiteta originalnoj matrici. Rezultirajući niz elemenata će se koristiti za pronalaženje inverzne matrice Gauss-Jordan metodom.
3. Prvi element u prvom redu jednak je jedan. Ovo nam odgovara, jer nema potrebe da preuređujemo linije i datu liniju dijelimo nekim brojem. Počnimo sa radomsa drugom i trećom linijom. Da pretvorite prvi element u drugom redu u 0, oduzmite prvi red pomnožen sa 3 od drugog reda. Oduzmite prvi red od trećeg reda (nije potrebno množenje).
4. U rezultujućoj matrici, drugi element drugog reda je -4, a drugi element trećeg reda je -1. Zamenimo linije radi pogodnosti. Od trećeg reda oduzmite drugi red pomnožen sa 4. Podijelite drugi red sa -1, a treći red sa 2. Dobijamo gornju trouglastu matricu.
5. Oduzmimo zadnji red pomnožen sa 4 od drugog reda, a zadnji red pomnožen sa 5 od prvog reda. Zatim, oduzmimo drugi red pomnožen sa 2 od prvog reda. Na lijevoj strani smo dobili matricu identiteta. Desno je inverzna matrica.

Primjer rješavanja SLE Gauss-Jordan metodom

Slika prikazuje sistem linearnih jednačina. Potrebno je pronaći vrijednosti nepoznatih varijabli pomoću matrice, Gauss-Jordan metoda.

Rješenje:

1. Kreirajmo proširenu matricu. Da bismo to uradili, stavićemo koeficijente i slobodne termine u tabelu.
2. Rešite matricu koristeći Gauss-Jordan metod. Od reda br. 2 oduzimamo red br. 1. Od reda br. 3 oduzimamo red br. 1, prethodno pomnožen sa 2.
3. Zameni redove 2 i 3.
4. Od reda 3 oduzmi red 2 pomnožen sa 2. Dobijeni treći red podijelite sa –1.
5. Oduzmi red 3 od reda 2.
6. Oduzmite liniju 1 od linije 12 puta -1. Sa strane smo dobili stupac koji se sastoji od brojeva 0, 1 i -1. Iz ovoga zaključujemo da je x₁=0, x₂=1 i x₃ =–1.

Ako želite, možete provjeriti ispravnost rješenja zamjenom izračunatih vrijednosti u jednačine:

• 0 – 1=–1, prvi identitet iz sistema je tačan;
• 0 + 1 + (–1)=0, drugi identitet iz sistema je tačan;
• 0 – 1 + (–1)=–2, treći identitet iz sistema je tačan.

Zaključak: koristeći Gauss-Jordan metodu, pronašli smo ispravno rješenje kvadratnog sistema koji kombinuje linearne algebarske jednadžbe.

Online kalkulatori

Život današnje omladine koja studira na univerzitetima i proučava linearnu algebru uvelike je pojednostavljen. Prije nekoliko godina morali smo sami pronaći rješenja za sisteme koristeći Gauss i Gauss-Jordan metod. Neki učenici su se uspješno nosili sa zadacima, dok su se drugi zbunili u rješavanju, griješili, tražili pomoć od drugova iz razreda. Danas možete koristiti online kalkulatore kada radite domaći zadatak. Za rješavanje sistema linearnih jednačina, traženje inverznih matrica, napisani su programi koji demonstriraju ne samo tačne odgovore, već pokazuju i napredak rješavanja određenog problema.

Postoji mnogo resursa na Internetu sa ugrađenim online kalkulatorima. Gausove matrice, sisteme jednačina ovi programi rješavaju za nekoliko sekundi. Učenici samo trebaju specificirati tražene parametre (na primjer, broj jednačina,broj varijabli).