U ovom članku, metoda se razmatra kao način rješavanja sistema linearnih jednačina (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućava vam da napišete opći algoritam rješenja, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, prilikom rješavanja sistema linearnih jednadžbi pomoću Gaussove metode možete raditi i sa onima koje imaju beskonačno mnogo rješenja. Ili ga uopće nemate.
Šta znači riješiti Gaussovom metodom?
Prvo, moramo zapisati naš sistem jednačina kao matricu. To izgleda ovako. Sistem je preuzet:
Koeficijenti se upisuju u obliku tabele, a desno u posebnoj koloni - slobodni članovi. Stub sa slobodnim elementima odvojen je radi praktičnosti okomitom trakom. Matrica koja uključuje ovu kolonu naziva se proširena.
Dalje, glavna matrica sa koeficijentima se mora svesti na gornji trouglasti oblik. Ovo je glavna poenta rješavanja sistema Gaussovom metodom. Jednostavno rečeno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati ovako, tako da u njenom donjem lijevom dijelu postoje samo nule:
Zatim, ako novu matricu ponovo napišete kao sistem jednačina, primijetit ćete da posljednji red već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje u gornju jednačinu, nalazi se drugi korijen, i tako dalje.
Ovo je opis Gaussovog rješenja u najopštijim terminima. A šta se dešava ako sistem odjednom nema rešenje? Ili ih ima beskonačan broj? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je posebno razmotriti sve elemente korištene u rješenju Gaussovom metodom.
Matrice, njihova svojstva
Nema skrivenog značenja u matrici. To je samo zgodan način za snimanje podataka za kasnije operacije. Čak ni školarci ne bi ih se trebali bojati.
Matrica je uvek pravougaona jer je tako praktičnija. Čak i kod Gaussove metode, gdje se sve svodi na pravljenje trouglaste matrice, u unosu se pojavljuje pravougaonik, samo sa nulama na mjestu gdje nema brojeva. Nule se mogu izostaviti, ali se podrazumijevaju.
Matrix ima veličinu. Njegova "širina" je broj redova (m), njegova "dužina" je broj kolona (n). Tada će se veličina matrice A (za njihovo označavanje obično koriste velika latinična slova) biti označena kao Am×n. Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna im=n - njegov red. Prema tome, bilo koji element matrice A može se označiti brojem njegovog reda i stupca: axy; x - broj reda, promjena [1, m], y - broj kolone, promjena [1, n].
U Gausovoj metodi, matrice nisu glavna poenta rješenja. U principu, sve operacije se mogu izvoditi direktno sa samim jednadžbama, međutim, notacija će biti mnogo glomaznija i bit će mnogo lakše zabuniti se u njoj.
Kvalifikator
Matrica takođe ima determinantu. Ovo je veoma važna karakteristika. Sada se ne isplati saznati njegovo značenje, možete jednostavno pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice određuje. Najlakši način za pronalaženje determinante je dijagonala. Imaginarne dijagonale su nacrtane u matrici; elementi koji se nalaze na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju dobijeni proizvodi: dijagonale sa nagibom udesno - sa znakom "plus", sa nagibom ulijevo - sa znakom "minus".
Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravougaonu matricu možete učiniti sljedeće: odabrati najmanji od broja redova i broja stupaca (neka bude k), a zatim nasumično označiti k kolona i k redova u matrici. Elementi koji se nalaze na sjecištu odabranih stupaca i redova formirat će novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, tada će se zvati osnovnim minorom originalne pravokutne matrice.
Prijekako započeti rješavanje sistema jednačina Gaussovom metodom, ne škodi izračunavanje determinante. Ako se pokaže da je nula, onda možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja, ili ih uopće nema. U ovako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.
Klasifikacija sistema
Postoji takva stvar kao rang matrice. Ovo je maksimalni red njene determinante koja nije nula (sjetimo se baznog minora, možemo reći da je rang matrice red baznog minora).
Kako stvari stoje sa rangom, SLOW se može podijeliti na:
- Joint. Za zajedničke sisteme, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se sa rangom proširene (sa kolonom slobodnih pojmova). Takvi sistemi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, stoga se zglobni sistemi dodatno dijele na:
- - definitivno - ima jedinstveno rješenje. U određenim sistemima, rang matrice i broj nepoznatih su jednaki (ili broj kolona, što je ista stvar);
- - neodređeno - sa beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica u takvim sistemima je manji od broja nepoznatih.
- Nekompatibilno. Za takve sisteme, rangovi glavne i proširene matrice se ne podudaraju. Nekompatibilni sistemi nemaju rješenja.
Gaussova metoda je dobra jer vam omogućava da dobijete ili nedvosmislen dokaz nekonzistentnosti sistema (bez izračunavanja determinanti velikih matrica) ili opšte rešenje za sistem sa beskonačnim brojem rešenja.
Elementarne transformacije
Prijekako preći direktno na rješenje sistema, možete ga učiniti manje glomaznim i pogodnijim za proračune. To se postiže elementarnim transformacijama - tako da njihova implementacija ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od navedenih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice čiji je izvor bio upravo SLAE. Evo liste ovih transformacija:
- Promijenite žice. Očigledno je da ako promijenimo redoslijed jednačina u zapisu sistema, to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Stoga je moguće i zamijeniti redove u matrici ovog sistema, ne zaboravljajući, naravno, na kolonu slobodnih članova.
- Množenje svih elemenata niza nekim faktorom. Veoma korisno! Pomoću njega možete smanjiti velike brojeve u matrici ili ukloniti nule. Skup rješenja, kao i obično, neće se mijenjati, a postat će prikladnije obavljati daljnje operacije. Glavna stvar je da koeficijent ne bi trebao biti jednak nuli.
- Brisanje linija sa proporcionalnim koeficijentima. Ovo djelimično proizilazi iz prethodnog stava. Ako dva ili više redaka u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada se pri množenju / dijeljenju jednog od reda s koeficijentom proporcionalnosti dobivaju dva (ili, opet, više) apsolutno identična reda, a možete ukloniti dodatne, ostavljajući samo jedan.
- Brisanje nulte linije. Ako se u toku transformacije negdje dobije niz u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni član, jednaki nuli, onda se takav niz može nazvati nulom i izbaciti iz matrice.
- Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (premaodgovarajuće kolone) pomnoženo nekim koeficijentom. Najnejasnija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati na tome.
Dodavanje niza pomnoženog sa faktorom
Za lakše razumevanje, vredi rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva reda su uzeta iz matrice:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Recimo da drugom treba dodati prvi pomnožen sa koeficijentom "-2".
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Tada se drugi red u matrici zamjenjuje novim, dok prvi ostaje nepromijenjen.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Treba napomenuti da se faktor množenja može odabrati na način da, kao rezultat sabiranja dva niza, jedan od elemenata novog niza bude jednak nuli. Stoga je moguće dobiti jednačinu u sistemu, gdje će biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, onda se operacija može ponoviti i dobiti jednačinu koja će već sadržavati dvije manje nepoznanice. A ako svaki put okrenemo nulu jedan koeficijent za sve redove koji su niži od originalnog, onda se možemo, poput koraka, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznatom. Ovo se zoveriješi sistem koristeći Gaussov metod.
Općenito
Neka postoji sistem. Ima m jednačina i n nepoznatih korijena. Možete to napisati ovako:
Glavna matrica je sastavljena od koeficijenata sistema. Kolona slobodnih članova je dodana proširenoj matrici i odvojena trakom radi pogodnosti.
Sljedeće:
- prvi red matrice se množi sa koeficijentom k=(-a21/a11);
- prvi modificirani red i drugi red matrice se dodaju;
- umjesto drugog reda, rezultat dodavanja iz prethodnog pasusa se ubacuje u matricu;
- sada je prvi koeficijent u novom drugom redu a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Sada se izvodi ista serija transformacija, samo prvi i treći red su uključeni. Shodno tome, u svakom koraku algoritma, element a21 se zamjenjuje sa a31. Tada se sve ponavlja za a41, … am1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u redovima [2, m] jednak nuli. Sada morate zaboraviti na red broj jedan i izvesti isti algoritam počevši od drugog reda:
- k koeficijent=(-a32/a22);
- drugi izmijenjeni red se dodaje u "trenutni" red;
- rezultat sabiranja se zamjenjuje u treći, četvrti i tako redom, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
- u redovima [3, m] matrice, prva dva elementa su već jednaka nuli.
Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k=(-am, m-1/amm). To znači da je algoritam posljednji put pokrenut samo za nižu jednačinu. Sada matrica izgleda kao trokut, ili ima stepenasti oblik. Donji red sadrži jednačinu amn × x =bm. Koeficijent i slobodni termin su poznati, a korijen se izražava kroz njih: x =bm/amn. Dobijeni korijen se zamjenjuje u gornji red da se pronađe xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. I tako dalje po analogiji: u svakom sljedećem redu nalazi se novi korijen i, kada se dođe do "vrha" sistema, može se pronaći skup rješenja [x1, … x ]. To će biti jedini.
Kada nema rješenja
Ako su u jednom od redova matrice svi elementi, osim slobodnog člana, jednaki nuli, tada jednačina koja odgovara ovom redu izgleda kao 0=b. Nema rješenja. A pošto je takva jednačina uključena u sistem, onda je skup rješenja cijelog sistema prazan, odnosno degeneriran.
Kada postoji beskonačan broj rješenja
Može se ispostaviti da u reduciranoj trouglastoj matrici nema reda sa jednim elementom - koeficijentom jednačine, i jednim - slobodnim članom. Postoje samo nizovi koji bi, kada se ponovo napišu, izgledali kao jednadžba sa dvije ili više varijabli. To znači da sistem ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, odgovor se može dati u obliku generalnog rješenja. Kako to učiniti?
Svevarijable u matrici se dijele na osnovne i slobodne. Osnovni - to su oni koji stoje "na rubu" redova u stepenastoj matrici. Ostalo je besplatno. U opštem rješenju, osnovne varijable su zapisane u terminima slobodnih.
Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje nazad u sistem jednačina. Zatim u posljednjoj od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. Ovo se radi za svaku jednačinu sa jednom osnovnom varijablom. Zatim se u ostalim jednačinama, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable, zamjenjuje dobijeni izraz za nju. Ako je rezultat opet izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, odatle se ponovo izražava, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne zapiše kao izraz sa slobodnim varijablama. Ovo je generalno rješenje SLAE.
Možete pronaći i osnovno rješenje sistema - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim izračunajte vrijednosti osnovnih varijabli za ovaj konkretni slučaj. Postoji beskonačno mnogo konkretnih rješenja.
Rješenje sa konkretnim primjerima
Ovde je sistem jednačina.
Radi praktičnosti, bolje je odmah napraviti njegovu matricu
Poznato je da će pri rješavanju Gaussovom metodom jednačina koja odgovara prvom redu ostati nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada prvi elementiostali redovi nakon operacije će se pretvoriti u nulu. To znači da će u kompajliranoj matrici biti korisno staviti drugi red na mjesto prvog.
Dalje, trebate promijeniti drugi i treći red tako da prvi elementi postanu nula. Da biste to učinili, dodajte ih prvom, pomnoženim s koeficijentom:
drugi red: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
treći red: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Sada, da se ne biste zbunili, morate napisati matricu sa međurezultatima transformacija.
Očigledno, ovakva matrica može biti čitljivija uz pomoć nekih operacija. Na primjer, možete ukloniti sve "minuse" iz drugog reda množenjem svakog elementa sa "-1".
Takođe je vrijedno napomenuti da su u trećem redu svi elementi višestruki od tri. Onda možešizrežite niz ovim brojem, množeći svaki element sa "-1/3" (minus - u isto vrijeme da uklonite negativne vrijednosti).
Izgleda mnogo ljepše. Sada moramo ostaviti na miru prvu liniju i raditi sa drugom i trećom. Zadatak je dodati drugi red trećem redu, pomnožen sa takvim faktorom da element a32 postane nula.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (ako tokom nekih transformacija u slučaju da se ispostavilo da odgovor nije cijeli broj, preporučuje se da ga ostavite „kao što jeste“, u obliku običnog razlomka, a tek onda, kada se dobiju odgovori, odlučite hoćete li zaokružiti i pretvoriti u drugi oblik notacija)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matrica je ponovo upisana sa novim vrijednostima.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kao što vidite, rezultujuća matrica već ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne dalje transformacije sistema Gaussovom metodom. Ono što se ovdje može učiniti je ukloniti ukupni koeficijent "-1/7" iz trećeg reda.
Sada svilijepo. Poenta je mala - ponovo napišite matricu u obliku sistema jednačina i izračunajte korijene
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritam po kojem će se korijeni sada pronaći naziva se obrnuti potez u Gauss metodi. Jednačina (3) sadrži vrijednost z:
z=61/9
Dalje, vratite se na drugu jednačinu:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
I prva jednadžba vam omogućava da pronađete x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Takav sistem imamo pravo nazvati zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno jedinstvenim rješenjem. Odgovor je napisan u sljedećem obliku:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Primjer neodređenog sistema
Analizirana je varijanta rješavanja određenog sistema Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj da li je sistem neodređen, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Sam oblik sistema je već alarmantan, jer je broj nepoznanica n=5, a rang sistemske matrice je već tačno manji od ovog broja, jer je broj redova m=4, odnosno najveći red kvadratne determinante je 4. Dakle,Postoji beskonačan broj rješenja i moramo tražiti njegov opći oblik. Gaussova metoda za linearne jednačine vam omogućava da to učinite.
Prvo, kao i obično, kompajlira se proširena matrica.
Drugi red: koeficijent k=(-a21/a11)=-3. U trećem redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ništa dirati, morate ostaviti kako jeste. Četvrti red: k=(-a41/a11)=-5
Množenjem elemenata prvog reda svakim od njihovih koeficijenata redom i dodavanjem traženih redova, dobijamo matricu sljedećeg oblika:
Kao što vidite, drugi, treći i četvrti red se sastoje od elemenata proporcionalnih jedan drugom. Drugi i četvrti su uglavnom isti, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a ostatak pomnožiti sa koeficijentom "-1" i dobiti red broj 3. I opet, ostaviti jedan od dva identična reda.
Rezultat je takva matrica. Sistem još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - stojeći na koeficijentima a11=1 i a22=1, i besplatno - sve ostalo.
Postoji samo jedna osnovna varijabla u drugoj jednačini - x2. Dakle, odatle se može izraziti pisanjem kroz varijable x3, x4, x5, što su besplatni.
Zamijenite rezultirajući izraz u prvu jednačinu.
Ispostavila se jednačina u kojojjedina osnovna varijabla je x1. Uradimo isto sa njim kao sa x2.
Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su u terminima tri slobodne varijable, sada možete napisati odgovor u opštem obliku.
Možete odrediti i jedno od posebnih rješenja sistema. U takvim slučajevima, u pravilu, nule se biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada će odgovor biti:
-16, 23, 0, 0, 0.
Primjer nekonzistentnog sistema
Rješenje nekonzistentnih sistema jednačina Gaussovom metodom je najbrže. Završava se čim se u jednoj od faza dobije jednačina koja nema rješenja. Odnosno, faza sa izračunavanjem korijena, koja je prilično duga i turobna, nestaje. Razmatra se sljedeći sistem:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Kao i obično, matrica se kompajlira:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
I svedeno na stepenasti oblik:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Nakon prve transformacije, treći red sadrži jednačinu oblika
0=7, bez rješenja. Dakle, sistemje nedosljedan, a odgovor je prazan skup.
Prednosti i nedostaci metode
Ako odaberete metodu za rješavanje SLAE na papiru olovkom, onda će metoda koja je razmatrana u ovom članku izgledati najatraktivnije. U elementarnim transformacijama mnogo je teže doći do zabune nego ako morate ručno tražiti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, proračunske tablice, onda se ispostavlja da takvi programi već sadrže algoritme za izračunavanje glavnih parametara matrica - determinante, minore, inverzne i transponirane matrice itd.. A ako ste sigurni da će mašina sama izračunati ove vrijednosti i da neće pogriješiti, svrsishodnije je koristiti matričnu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena počinje i završava izračunavanjem determinanti i inverznih matrica.
Prijava
Pošto je Gausovo rješenje algoritam, a matrica je, u stvari, dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. Ali budući da se članak pozicionira kao vodič "za lutke", treba reći da je najlakše mjesto za postavljanje metode proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE unesen u tabelu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoji mnogo lijepih naredbi: zbrajanje (možete dodati samo matrice iste veličine!), Množenje brojem, množenje matrice (također saodređena ograničenja), pronalaženje inverzne i transponovane matrice i, što je najvažnije, izračunavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, mnogo je brže odrediti rang matrice i stoga utvrditi njenu kompatibilnost ili nedosljednost.
