Da bismo pronašli funkcije raspodjele slučajnih varijabli i njihovih varijabli, potrebno je proučiti sve karakteristike ove oblasti znanja. Postoji nekoliko različitih metoda za pronalaženje dotičnih vrijednosti, uključujući promjenu varijable i generiranje trenutka. Distribucija je koncept zasnovan na elementima kao što su disperzija, varijacije. Međutim, oni karakterišu samo stepen amplitude raspršenja.
Važnije funkcije slučajnih varijabli su one koje su povezane i nezavisne, i jednako raspoređene. Na primjer, ako je X1 težina nasumično odabrane osobe iz muške populacije, X2 je težina druge, …, a Xn je težina još jedne osobe iz muške populacije, onda moramo znati kako nasumična funkcija X je distribuiran. U ovom slučaju se primjenjuje klasična teorema koja se zove središnja granična teorema. Omogućava vam da pokažete da za veliko n funkcija slijedi standardne distribucije.
Funkcije jedne slučajne varijable
Centralna granična teorema služi za aproksimaciju diskretnih vrijednosti koje se razmatraju kao što su binom i Poisson. Funkcije distribucije slučajnih varijabli razmatraju se, prije svega, na jednostavnim vrijednostima jedne varijable. Na primjer, ako je X kontinuirana slučajna varijabla koja ima vlastitu distribuciju vjerovatnoće. U ovom slučaju istražujemo kako pronaći funkciju gustoće Y koristeći dva različita pristupa, odnosno metodu funkcije distribucije i promjenu varijable. Prvo, uzimaju se u obzir samo vrijednosti jedan na jedan. Zatim morate modifikovati tehniku promene varijable da biste pronašli njenu verovatnoću. Konačno, moramo naučiti kako funkcija inverzne kumulativne distribucije može pomoći modeliranju slučajnih brojeva koji slijede određene sekvencijalne obrasce.
Metoda distribucije razmatranih vrijednosti
Metoda funkcije raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable je primjenjiva da bi se pronašla njena gustina. Kada se koristi ova metoda, izračunava se kumulativna vrijednost. Zatim, diferenciranjem, možete dobiti gustinu vjerovatnoće. Sada kada imamo metodu funkcije distribucije, možemo pogledati još nekoliko primjera. Neka je X kontinuirana slučajna varijabla sa određenom gustinom vjerovatnoće.
Koja je funkcija gustoće vjerovatnoće od x2? Ako pogledate ili nacrtate funkciju (gore i desno) y=x2, možete primijetiti da se radi o rastućem X i 0 <y<1. Sada morate koristiti razmatranu metodu da pronađete Y. Prvo, pronađena je kumulativna funkcija distribucije, samo trebate razlikovati da biste dobili gustinu vjerovatnoće. Na taj način dobijamo: 0<y<1. Metoda distribucije je uspješno implementirana da se pronađe Y kada je Y rastuća funkcija od X. Usput, f(y) se integrira u 1 preko y.
U posljednjem primjeru, velika pažnja je korištena da se indeksiraju kumulativne funkcije i gustina vjerovatnoće sa X ili Y da bi se naznačilo kojoj slučajnoj varijabli pripadaju. Na primjer, prilikom pronalaženja kumulativne funkcije distribucije Y, dobili smo X. Ako trebate pronaći slučajnu varijablu X i njenu gustinu, onda je samo trebate razlikovati.
Tehnika varijabilne promjene
Neka je X kontinuirana slučajna varijabla data funkcijom distribucije sa zajedničkim nazivnikom f (x). U ovom slučaju, ako stavite vrijednost y u X=v (Y), onda ćete dobiti vrijednost x, na primjer v (y). Sada trebamo dobiti funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable Y. Gdje se prva i druga jednakost odvijaju iz definicije kumulativnog Y. Treća jednakost vrijedi jer je dio funkcije za koji je u (X) ≦ y takođe je tačno da je X ≦ v (Y). I posljednji je urađen da se odredi vjerovatnoća u kontinuiranoj slučajnoj varijabli X. Sada trebamo uzeti derivat FY (y), kumulativnu funkciju distribucije Y, da dobijemo gustinu vjerovatnoće Y.
Generalizacija za funkciju smanjenja
Neka je X kontinuirana slučajna varijabla sa zajedničkim f (x) definiranim preko c1<x<c2. I neka je Y=u (X) opadajuća funkcija od X sa inverznim X=v (Y). Pošto je funkcija kontinuirana i opadajuća, postoji inverzna funkcija X=v (Y).
Da biste riješili ovaj problem, možete prikupiti kvantitativne podatke i koristiti empirijsku kumulativnu funkciju distribucije. Sa ovim informacijama i privlačnim za njih, morate kombinirati uzorke sredstava, standardne devijacije, medijske podatke i tako dalje.
Slično, čak i prilično jednostavan probabilistički model može imati ogroman broj rezultata. Na primjer, ako bacite novčić 332 puta. Tada je broj rezultata dobijenih okretanjem veći od google (10100) - broj, ali ne manje od 100 kvintiliona puta veći od elementarnih čestica u poznatom svemiru. Ne zanima me analiza koja daje odgovor na svaki mogući ishod. Potreban bi bio jednostavniji koncept, kao što je broj glava ili najduži potez repa. Da bi se fokusirali na pitanja od interesa, prihvata se određeni rezultat. Definicija u ovom slučaju je sljedeća: slučajna varijabla je realna funkcija sa prostorom vjerovatnoće.
Opseg S slučajne varijable ponekad se naziva prostor stanja. Dakle, ako je X vrijednost o kojoj je riječ, onda je N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, i tako dalje. Posljednji od njih, zaokružujući X na najbliži cijeli broj, naziva se funkcija poda.
Funkcije distribucije
Kada se odredi funkcija distribucije od interesa za slučajnu varijablu x, obično se postavlja pitanje: "Koje su šanse da X padne u neki podskup B vrijednosti?". Na primjer, B={neparni brojevi}, B={veći od 1}, ili B={između 2 i 7} za označavanje onih rezultata koji imaju X, vrijednostslučajna varijabla, u podskupu A. Dakle, u gornjem primjeru, možete opisati događaje na sljedeći način.
{X je neparan broj}, {X je veći od 1}={X> 1}, {X je između 2 i 7}={2 <X <7} da odgovara tri gore navedene opcije za podskup B. Mnoga svojstva nasumičnih veličina nisu povezana sa određenim X. Umjesto toga, zavise od toga kako X dodjeljuje svoje vrijednosti. Ovo dovodi do definicije koja zvuči ovako: funkcija distribucije slučajne varijable x je kumulativna i određena je kvantitativnim zapažanjima.
Slučajne varijable i funkcije distribucije
Dakle, možete izračunati vjerovatnoću da će funkcija distribucije slučajne varijable x uzeti vrijednosti u intervalu oduzimanjem. Razmislite o uključivanju ili isključivanju krajnjih tačaka.
Slučajnu varijablu ćemo nazvati diskretnom ako ima konačan ili prebrojivo beskonačan prostor stanja. Dakle, X je broj glava na tri nezavisna bacanja pristrasnog novčića koji raste sa vjerovatnoćom p. Moramo pronaći kumulativnu funkciju raspodjele diskretne slučajne varijable FX za X. Neka je X broj vrhova u kolekciji od tri karte. Tada je Y=X3 preko FX. FX počinje na 0, završava na 1 i ne smanjuje se kako se x vrijednosti povećavaju. Kumulativna funkcija FX distribucije diskretne slučajne varijable X je konstantna, osim za skokove. Prilikom skakanja FX je kontinuiran. Dokažite tvrdnju o ispravnostikontinuitet funkcije distribucije iz svojstva vjerovatnoće je moguć korištenjem definicije. Zvuči ovako: konstantna slučajna varijabla ima kumulativni FX koji se može razlikovati.
Da pokažemo kako se to može dogoditi, možemo dati primjer: meta sa jediničnim radijusom. Pretpostavljam. strelica je ravnomjerno raspoređena po navedenom području. Za neke λ> 0. Dakle, funkcije distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli raste glatko. FX ima svojstva funkcije distribucije.
Čovjek čeka na autobuskoj stanici dok autobus ne stigne. Odlučivši za sebe da će odbiti kada čekanje dostigne 20 minuta. Ovdje je potrebno pronaći kumulativnu funkciju raspodjele za T. Vrijeme kada će osoba i dalje biti na autobuskoj stanici ili neće otići. Unatoč činjenici da je kumulativna funkcija distribucije definirana za svaku slučajnu varijablu. Ipak, druge karakteristike će se često koristiti: masa za diskretnu varijablu i funkcija gustine raspodjele slučajne varijable. Obično se vrijednost izlazi kroz jednu od ove dvije vrijednosti.
Funkcije mase
Ove vrijednosti se smatraju sljedećim svojstvima, koja imaju opći (masovni) karakter. Prvi se zasniva na činjenici da vjerovatnoće nisu negativne. Drugi slijedi iz zapažanja da skup za sve x=2S, prostor stanja za X, čini particiju vjerovatnoće slobode X. Primjer: bacanje pristrasnog novčića čiji su rezultati nezavisni. Možeš nastaviti da radišodređene radnje dok ne dobijete rolu glava. Neka X označava slučajnu varijablu koja daje broj repova ispred prve glave. I p označava vjerovatnoću u bilo kojoj radnji.
Dakle, funkcija vjerovatnoće mase ima sljedeće karakteristične karakteristike. Pošto termini formiraju numerički niz, X se naziva geometrijska slučajna varijabla. Geometrijska shema c, cr, cr2,.,,, crn ima zbroj. I, prema tome, sn ima granicu kao n 1. U ovom slučaju, beskonačni zbir je granica.
Funkcija mase iznad formira geometrijski niz s omjerom. Dakle, prirodni brojevi a i b. Razlika u vrijednostima funkcije distribucije jednaka je vrijednosti funkcije mase.
Vrijednosti gustoće koje se razmatraju imaju definiciju: X je slučajna varijabla čija FX distribucija ima derivat. FX koji zadovoljava Z xFX (x)=fX (t) dt-1 naziva se funkcija gustoće vjerovatnoće. A X se naziva kontinuirana slučajna varijabla. U osnovnoj teoremi računa, funkcija gustoće je derivacija distribucije. Možete izračunati vjerovatnoće izračunavanjem definitivnih integrala.
Budući da se podaci prikupljaju iz višestrukih opservacija, mora se uzeti u obzir više od jedne slučajne varijable istovremeno za modeliranje eksperimentalnih procedura. Dakle, skup ovih vrijednosti i njihova zajednička distribucija za dvije varijable X1 i X2 znači gledanje događaja. Za diskretne slučajne varijable, definirane su zajedničke probabilističke funkcije mase. Za kontinualne, razmatraju se fX1, X2, gdjegustina zajedničke vjerovatnoće je zadovoljena.
Nezavisne slučajne varijable
Dvije slučajne varijable X1 i X2 su nezavisne ako su bilo koja dva događaja povezana s njima ista. Riječima, vjerovatnoća da se dva događaja {X1 2 B1} i {X2 2 B2} dogode u isto vrijeme, y, jednaka je proizvodu gornjih varijabli, da se svaki od njih dogodi pojedinačno. Za nezavisne diskretne slučajne varijable postoji zajednička probabilistička funkcija mase, koja je proizvod graničnog volumena jona. Za kontinuirane slučajne varijable koje su nezavisne, zajednička funkcija gustoće vjerovatnoće je proizvod vrijednosti granične gustoće. Konačno, razmatramo n nezavisnih opažanja x1, x2,.,,, xn koji proizlazi iz nepoznate funkcije gustine ili mase f. Na primjer, nepoznati parametar u funkcijama za eksponencijalnu slučajnu varijablu koja opisuje vrijeme čekanja sabirnice.
Imitacija slučajnih varijabli
Glavni cilj ove teorijske oblasti je da obezbedi alate potrebne za razvoj postupaka zaključivanja zasnovanih na zdravim principima statističke nauke. Dakle, jedan vrlo važan slučaj upotrebe softvera je sposobnost generiranja pseudo podataka koji oponašaju stvarne informacije. Ovo omogućava testiranje i poboljšanje metoda analize prije nego što se moraju koristiti u stvarnim bazama podataka. Ovo je potrebno kako bi se istražila svojstva podatakamodeliranje. Za mnoge najčešće korišćene porodice slučajnih varijabli, R obezbeđuje komande za njihovo generisanje. Za druge okolnosti, biće potrebne metode za modeliranje niza nezavisnih slučajnih varijabli koje imaju zajedničku distribuciju.
Diskretne slučajne varijable i naredbeni obrazac. Naredba sample se koristi za kreiranje jednostavnih i stratificiranih nasumičnih uzoraka. Kao rezultat, ako je unesena sekvenca x, sample(x, 40) bira 40 zapisa od x tako da svi izbori veličine 40 imaju istu vjerovatnoću. Ovo koristi zadanu R naredbu za preuzimanje bez zamjene. Može se koristiti i za modeliranje diskretnih slučajnih varijabli. Da biste to učinili, morate osigurati prostor stanja u vektoru x i funkciju mase f. Poziv zamjene=TRUE označava da se uzorkovanje događa zamjenom. Zatim, da bi se dao uzorak od n nezavisnih slučajnih varijabli koje imaju zajedničku funkciju mase f, koristi se uzorak (x, n, zamijeni=TRUE, prob=f).
Određeno da je 1 najmanja predstavljena vrijednost, a 4 najveća od svih. Ako je naredba prob=f izostavljena, tada će uzorak ravnomjerno uzorkovati iz vrijednosti u vektoru x. Možete provjeriti simulaciju u odnosu na funkciju mase koja je generirala podatke gledajući dvostruki znak jednakosti,==. I ponovno izračunavanje zapažanja koja uzimaju svaku moguću vrijednost za x. Možete napraviti sto. Ponovite ovo za 1000 i uporedite simulaciju sa odgovarajućom funkcijom mase.
Ilustracija transformacije vjerovatnoće
Prvisimulirati homogene funkcije raspodjele slučajnih varijabli u1, u2,.,,, un na intervalu [0, 1]. Oko 10% brojeva treba da bude unutar [0, 3, 0, 4]. Ovo odgovara 10% simulacija u intervalu [0, 28, 0, 38] za slučajnu varijablu s prikazanom funkcijom FX distribucije. Slično, oko 10% slučajnih brojeva bi trebalo da bude u intervalu [0, 7, 0, 8]. Ovo odgovara simulaciji od 10% na intervalu [0, 96, 1, 51] slučajne varijable sa funkcijom distribucije FX. Ove vrijednosti na x osi mogu se dobiti uzimanjem inverznog od FX-a. Ako je X kontinuirana slučajna varijabla s gustinom fX pozitivnom svuda u svom domenu, tada je funkcija distribucije striktno rastuća. U ovom slučaju, FX ima inverznu FX-1 funkciju poznatu kao kvantilna funkcija. FX (x) u samo kada je x FX-1 (u). Transformacija vjerovatnoće slijedi iz analize slučajne varijable U=FX (X).
FX ima raspon od 0 do 1. Ne može biti ispod 0 ili iznad 1. Za vrijednosti u između 0 i 1. Ako se U može simulirati, onda se mora koristiti slučajna varijabla sa FX distribucijom simulirano putem kvantilne funkcije. Uzmimo izvod da vidimo da gustina u varira unutar 1. Pošto slučajna varijabla U ima konstantnu gustinu u intervalu svojih mogućih vrijednosti, naziva se uniformnom na intervalu [0, 1]. Modeliran je u R sa naredbom runif. Identitet se naziva probabilistička transformacija. Možete vidjeti kako to funkcionira u primjeru daske za pikado. X između 0 i 1, funkcijadistribucija u=FX (x)=x2, a otuda i kvantilna funkcija x=FX-1 (u). Moguće je modelirati nezavisna opažanja udaljenosti od centra strelice, i na taj način kreirati uniformne slučajne varijable U1, U2,.,, Un. Funkcija distribucije i empirijska funkcija zasnovane su na 100 simulacija distribucije daske za pikado. Za eksponencijalnu slučajnu varijablu, vjerovatno u=FX (x)=1 - exp (- x), i stoga x=- 1 ln (1 - u). Ponekad se logika sastoji od ekvivalentnih iskaza. U ovom slučaju, morate spojiti dva dijela argumenta. Identitet presjeka je sličan za sva 2 {S i i} S, umjesto neke vrijednosti. Unija Ci je jednaka prostoru stanja S i svaki par se međusobno isključuje. Pošto je Bi - podijeljen na tri aksioma. Svaka provjera je zasnovana na odgovarajućoj vjerovatnoći P. Za bilo koji podskup. Korištenje identiteta kako bi se osiguralo da odgovor ne zavisi od toga da li su uključene krajnje tačke intervala.
Eksponencijalna funkcija i njene varijable
Za svaki ishod u svim događajima, na kraju se koristi drugo svojstvo kontinuiteta vjerovatnoća, koje se smatra aksiomatičnim. Zakon raspodjele funkcije slučajne varijable ovdje pokazuje da svaka ima svoje rješenje i odgovor.
