Teorija vjerovatnoće je posebna grana matematike koju izučavaju samo studenti visokoškolskih ustanova. Volite li kalkulacije i formule? Ne plašite li se mogućnosti upoznavanja normalne distribucije, entropije ansambla, matematičkog očekivanja i varijanse diskretne slučajne varijable? Onda će vam ova tema biti od velikog interesa. Hajde da se upoznamo sa nekim od najvažnijih osnovnih koncepata ovog odeljka nauke.
Prisjetite se osnova
Čak i ako se sjećate najjednostavnijih koncepata teorije vjerovatnoće, nemojte zanemariti prve paragrafe članka. Činjenica je da bez jasnog razumijevanja osnova nećete moći raditi sa formulama o kojima se govori u nastavku.
Dakle, postoji neki slučajni događaj, neki eksperiment. Kao rezultat izvršenih radnji možemo dobiti nekoliko ishoda - neki su češći, drugi rjeđi. Vjerovatnoća događaja je omjer broja stvarno primljenih ishoda jedne vrste i ukupnog broja mogućih ishoda. Samo poznavajući klasičnu definiciju ovog koncepta, možete početi proučavati matematičko očekivanje i varijansu kontinuiranogslučajne varijable.
Aritmetička sredina
Još u školi, na časovima matematike, počeli ste da radite sa aritmetičkom sredinom. Ovaj koncept se široko koristi u teoriji vjerovatnoće i stoga se ne može zanemariti. Najvažnije za nas u ovom trenutku je da ćemo ga susresti u formulama za matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable.
Imamo niz brojeva i želimo da pronađemo aritmetičku sredinu. Sve što se od nas traži je da zbrojimo sve dostupno i podijelimo sa brojem elemenata u nizu. Neka imamo brojeve od 1 do 9. Zbir elemenata će biti 45, a mi ćemo ovu vrijednost podijeliti sa 9. Odgovor: - 5.
Disperzija
Naučno govoreći, varijansa je srednji kvadrat odstupanja dobijenih vrijednosti karakteristika od aritmetičke sredine. Jedan je označen velikim latiničnim slovom D. Šta je potrebno da se izračuna? Za svaki element niza izračunavamo razliku između dostupnog broja i aritmetičke sredine i kvadriramo je. Bit će tačno onoliko vrijednosti koliko može biti ishoda za događaj koji razmatramo. Zatim sumiramo sve primljeno i podijelimo s brojem elemenata u nizu. Ako imamo pet mogućih ishoda, onda podijelite sa pet.
Disperzija također ima svojstva koja morate zapamtiti da biste je primijenili prilikom rješavanja problema. Na primjer, ako se slučajna varijabla poveća za X puta, varijansa se povećava za X puta kvadrat (tj. XX). Nikada nije manji od nule i ne zavisi odpomicanje vrijednosti za jednaku vrijednost gore ili dolje. Takođe, za nezavisna ispitivanja, varijansa sume je jednaka zbiru varijansi.
Sada definitivno moramo razmotriti primjere varijanse diskretne slučajne varijable i matematičkog očekivanja.
Pretpostavimo da smo izvršili 21 eksperiment i dobili 7 različitih ishoda. Svaki od njih smo posmatrali 1, 2, 2, 3, 4, 4 i 5 puta. Kolika će biti varijansa?
Prvo, izračunajmo aritmetičku sredinu: zbir elemenata je, naravno, 21. Podijelite ga sa 7 i dobijete 3. Sada oduzmite 3 od svakog broja u originalnom nizu, kvadrirajte svaku vrijednost i dodajte rezultate zajedno. Ispada 12. Sada nam ostaje da podijelimo broj sa brojem elemenata, i, čini se, to je sve. Ali postoji kvaka! Hajde da razgovaramo o tome.
Zavisnost od broja eksperimenata
Ispostavilo se da prilikom izračunavanja varijanse imenilac može biti jedan od dva broja: ili N ili N-1. Ovdje je N broj izvedenih eksperimenata ili broj elemenata u nizu (koji je, u stvari, isti). Od čega zavisi?
Ako se broj testova mjeri u stotinama, onda u nazivnik moramo staviti N. Ako je u jedinicama, onda N-1. Naučnici su odlučili da granicu povuku sasvim simbolično: danas ona ide duž broja 30. Ako smo izvršili manje od 30 eksperimenata, tada ćemo količinu podijeliti sa N-1, a ako više, onda sa N.
Zadatak
Vratimo se na naš primjer rješavanja problema varijanse i očekivanja. Midobio je srednji broj od 12, koji je morao biti podijeljen sa N ili N-1. S obzirom da smo izveli 21 eksperiment, što je manje od 30, izabraćemo drugu opciju. Dakle, odgovor je: varijansa je 12 / 2=2.
Očekivanje
Pređimo na drugi koncept, koji moramo razmotriti u ovom članku. Matematičko očekivanje je rezultat zbrajanja svih mogućih ishoda pomnoženih odgovarajućim vjerovatnoćama. Važno je shvatiti da se rezultujuća vrijednost, kao i rezultat izračunavanja varijanse, dobija samo jednom za cijeli zadatak, bez obzira na to koliko ishoda uzima u obzir.
Formula očekivanja je prilično jednostavna: uzmemo ishod, pomnožimo ga njegovom vjerovatnoćom, dodamo isto za drugi, treći rezultat, itd. Sve što je vezano za ovaj koncept je lako izračunati. Na primjer, zbir matematičkih očekivanja jednak je matematičkom očekivanju sume. Isto važi i za rad. Ne dozvoljava svaka veličina u teoriji vjerovatnoće izvođenje tako jednostavnih operacija. Uzmimo zadatak i izračunajmo vrijednost dva pojma koja smo proučavali odjednom. Osim toga, skrenula nam je pozornost teorija - vrijeme je za praksu.
Još jedan primjer
Proveli smo 50 pokušaja i dobili 10 vrsta ishoda - brojeva od 0 do 9 - koji se pojavljuju u različitim procentima. To su, respektivno: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Podsjetimo da da biste dobili vjerovatnoće, trebate podijeliti procentualne vrijednosti sa 100. Dakle, dobijamo 0,02; 0, 1 itd. Hajde da predstavimo za varijansu slučajnogprimjer vrijednosti i matematičkog očekivanja rješavanja problema.
Izračunajte aritmetičku sredinu koristeći formulu koju pamtimo iz osnovne škole: 50/10=5.
Sada prevedemo vjerovatnoće u broj ishoda "u komadima" da bismo lakše brojali. Dobijamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od svake dobijene vrijednosti oduzmimo aritmetičku sredinu, nakon čega svaki dobijeni rezultat kvadriramo. Pogledajte kako to učiniti koristeći prvi element kao primjer: 1 - 5=(-4). Dalje: (-4)(-4)=16. Za ostale vrijednosti, izvršite ove operacije sami. Ako ste sve uradili kako treba, onda ćete nakon dodavanja svih međurezultata dobiti 90.
Nastavite računati varijansu i srednju vrijednost dijeleći 90 sa N. Zašto biramo N, a ne N-1? Tako je, jer broj izvedenih eksperimenata prelazi 30. Dakle: 90/10=9. Dobili smo disperziju. Ako dobijete drugi broj, ne očajavajte. Najvjerovatnije ste napravili banalnu grešku u proračunima. Provjerite šta ste napisali i sigurno će sve doći na svoje mjesto.
Na kraju, prisjetimo se formule očekivanja. Nećemo dati sve izračune, samo ćemo napisati odgovor sa kojim možete provjeriti nakon završetka svih potrebnih procedura. Očekivanje će biti jednako 5, 48. Prisjećamo se samo kako izvoditi operacije, koristeći primjer prvih elemenata: 00, 02 + 10, 1… i tako dalje. Kao što vidite, jednostavno množimo vrijednost ishoda njegovom vjerovatnoćom.
Odstupanje
Još jedan koncept usko povezan s varijansom i očekivanom vrijednošću jestandardna devijacija. Označava se ili latiničnim slovima sd, ili grčkim malim slovima "sigma". Ovaj koncept pokazuje kako, u prosjeku, vrijednosti odstupaju od središnje karakteristike. Da biste pronašli njegovu vrijednost, morate izračunati kvadratni korijen varijanse.
Ako napravite graf normalne distribucije i želite da vidite vrijednost standardne devijacije direktno na njemu, to se može učiniti u nekoliko faza. Uzmite polovinu slike lijevo ili desno od moda (centralna vrijednost), nacrtajte okomicu na horizontalnu os tako da su površine rezultirajućih figura jednake. Vrijednost segmenta između sredine distribucije i rezultirajuće projekcije na horizontalnu osu bit će standardna devijacija.
Softver
Kao što možete vidjeti iz opisa formula i prikazanih primjera, izračunavanje varijanse i matematičkog očekivanja nije najlakši postupak sa aritmetičke tačke gledišta. Kako ne biste gubili vrijeme, ima smisla koristiti program koji se koristi u visokom obrazovanju - zove se "R". Ima funkcije koje vam omogućavaju da izračunate vrijednosti za mnoge koncepte iz statistike i teorije vjerovatnoće.
Na primjer, definirate vektor vrijednosti. To se radi na sljedeći način: vektor <-c(1, 5, 2…). Sada, kada trebate izračunati neke vrijednosti za ovaj vektor, pišete funkciju i dajete je kao argument. Da biste pronašli varijansu, morat ćete koristiti var. Njen primjerupotreba: var(vektor). Zatim samo pritisnete "enter" i dobijete rezultat.
U zaključku
Varijanca i matematičko očekivanje su osnovni koncepti teorije vjerovatnoće, bez kojih je teško bilo šta izračunati u budućnosti. U glavnom kursu predavanja na univerzitetima oni se razmatraju već u prvim mjesecima izučavanja predmeta. Upravo zbog nerazumijevanja ovih jednostavnih pojmova i nemogućnosti njihovog izračunavanja mnogi studenti odmah počinju zaostajati u programu i kasnije dobijaju loše ocjene na kraju sesije, što ih lišava stipendija.
Vježbajte najmanje jednu sedmicu po pola sata dnevno, rješavajući probleme slične onima predstavljenim u ovom članku. Tada ćete se na bilo kojem testu teorije vjerovatnoće nositi s primjerima bez suvišnih savjeta i varalica.
