Šta su varijable? Varijabilna u matematici

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Važnost varijabli u matematici je velika, jer su tokom njenog postojanja naučnici uspjeli napraviti mnoga otkrića u ovoj oblasti, a da bismo ukratko i jasno iznijeli ovu ili onu teoremu, koristimo varijable za pisanje odgovarajućih formula. Na primjer, Pitagorina teorema o pravokutnom trokutu: a² =b² + c^{2. Kako pisati svaki put kada rješavate problem: prema Pitagorinoj teoremi, kvadrat hipotenuze je jednak zbroju kvadrata kateta - to zapisujemo formulom i sve odmah postaje jasno.}

Dakle, ovaj članak će raspravljati o tome šta su varijable, njihove vrste i svojstva. Razmotriće se i različiti matematički izrazi: nejednačine, formule, sistemi i algoritmi za njihovo rješavanje.

Varijabilni koncept

Kao prvo, šta je varijabla? Ovo je numerička vrijednost koja može poprimiti mnoge vrijednosti. Ne može biti konstantan, jer u različitim problemima i jednačinama, radi pogodnosti, uzimamo rješenja kaovarijabilne različite brojeve, odnosno, na primjer, z je opšta oznaka za svaku od veličina za koje se uzima. Obično se označavaju slovima latinskog ili grčkog alfabeta (x, y, a, b i tako dalje).

Postoje različite vrste varijabli. Oni postavljaju i neke fizičke veličine - putanju (S), vrijeme (t) i jednostavno nepoznate vrijednosti u jednadžbama, funkcijama i drugim izrazima.

Na primjer, postoji formula: S=Vt. Ovdje varijable označavaju određene količine vezane za stvarni svijet - putanju, brzinu i vrijeme.

I postoji jednadžba oblika: 3x - 16=12x. Ovdje je x već uzet kao apstraktan broj koji ima smisla u ovoj notaciji.

Vrste količina

Količina označava nešto što izražava svojstva određenog predmeta, supstance ili fenomena. Na primjer, temperatura zraka, težina životinje, postotak vitamina u tableti - sve su to količine čije se numeričke vrijednosti mogu izračunati.

Svaka količina ima svoje mjerne jedinice, koje zajedno čine sistem. Zove se sistem brojeva (SI).

Šta su varijable i konstante? Razmotrite ih konkretnim primjerima.

Uzmimo pravolinijsko ravnomjerno kretanje. Tačka u prostoru se kreće istom brzinom svaki put. Odnosno, vrijeme i udaljenost se mijenjaju, ali brzina ostaje ista. U ovom primjeru, vrijeme i udaljenost su varijable, a brzina je konstantna.

Ili, na primjer, “pi”. Ovo je iracionalan broj koji se nastavlja bez ponavljanjaniz cifara i ne može se napisati u cijelosti, pa se u matematici izražava općeprihvaćenim simbolom koji uzima samo vrijednost datog beskonačnog razlomka. To jest, “pi” je konstantna vrijednost.

Historija

Historija notacije varijabli počinje u sedamnaestom veku sa naučnikom Renéom Descartesom.

Označio je poznate vrijednosti prvim slovima abecede: a, b i tako dalje, a za nepoznate je predložio korištenje zadnjih slova: x, y, z. Važno je napomenuti da je Descartes takve varijable smatrao nenegativnim brojevima, a kada se suočio s negativnim parametrima, stavljao je ispred varijable znak minus ili, ako se nije znalo koji je predznak broj, elipsu. Ali s vremenom su imena varijabli počela označavati brojeve bilo kojeg predznaka, a to je počelo s matematičarem Johannom Huddeom.

Sa varijablama, matematičke proračune je lakše riješiti, jer, na primjer, kako sada rješavamo bikvadratne jednačine? Unosimo varijablu. Na primjer:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Za x2 uzimamo neki k, i jednačina postaje jasna:

x2=k, za k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

To je ono što uvođenje varijabli donosi u matematiku.

Nejednakosti, primjeri rješenja

Nejednakost je zapis u kojem su dva matematička izraza ili dva broja povezana znakovima poređenja:, ≦, ≧. Oni su strogi i označeni su znakovima ili nestrogi znakovima ≦, ≧.

Po prvi put uvedeni ovi znakoviThomas Harriot. Nakon Thomasove smrti, objavljena je njegova knjiga sa ovim zapisima, matematičarima su se svidjele i vremenom su postale široko korištene u matematičkim proračunima.

Postoji nekoliko pravila kojih se treba pridržavati prilikom rješavanja nejednakosti jedne varijable:

Kada prenosite broj iz jednog dijela nejednačine u drugi, promijenite njegov predznak u suprotan.
Kada se množe ili dijele dijelovi nejednakosti negativnim brojem, njihovi predznaci su obrnuti.
Ako obje strane nejednakosti pomnožite ili podijelite pozitivnim brojem, dobićete nejednakost jednaku originalnoj.

Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje svih važećih vrijednosti za varijablu.

Primjer jedne varijable:

10x - 50 > 150

Rješavamo je kao normalnu linearnu jednačinu - pomjeramo članove sa promjenljivom ulijevo, bez varijable - udesno i dajemo slične pojmove:

10x > 200

Obje strane nejednakosti podijelimo sa 10 i dobijemo:

x > 20

Radi jasnoće, u primjeru rješavanja nejednakosti s jednom promjenljivom, nacrtajte brojevnu pravu, na njoj označite probijenu tačku 20, pošto je nejednakost stroga, a ovaj broj nije uključen u skup njegovih rješenja.

Rješenje ove nejednakosti je interval (20; +∞).

Rješenje nestroge nejednakosti izvodi se na isti način kao i striktno:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Ali postoji jedan izuzetak. Zapis u obliku x ≧ 5 treba shvatiti na sljedeći način: x je veće ili jednako pet, što značibroj pet je uključen u skup svih rješenja nejednakosti, odnosno pri pisanju odgovora stavljamo uglastu zagradu ispred broja pet.

x ∈ [5; +∞)

Kvadratne nejednakosti

Ako uzmemo kvadratnu jednačinu oblika ax2 + bx +c=0 i promijenimo znak jednakosti u znak nejednakosti u njoj, tada ćemo prema tome dobiti kvadratna nejednakost.

Da biste riješili kvadratnu nejednačinu, morate biti u stanju riješiti kvadratne jednačine.

y=ax2 + bx + c je kvadratna funkcija. Možemo ga riješiti pomoću diskriminanta ili pomoću Vietine teoreme. Prisjetite se kako su ove jednadžbe riješene:

1) y=x2 + 12x + 11 - funkcija je parabola. Njegove grane su usmjerene prema gore, jer je predznak koeficijenta "a" pozitivan.

2) x2 + 12x + 11=0 - jednako nuli i riješi koristeći diskriminant.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 korijena

Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe, dobijamo:

x₁ =-1, x_2=-11

Ili biste mogli riješiti ovu jednačinu koristeći Vieta teorem:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Upotrebom metode odabira dobijamo iste korijene jednačine.

Parabola

Dakle, prvi način da se riješi kvadratna nejednakost je parabola. Algoritam za njegovo rješavanje je sljedeći:

1. Odredi gdje su usmjerene grane parabole.

2. Izjednačite funkciju sa nulom i pronađite korijene jednadžbe.

3. Izgradimo brojevnu pravu, označimo korijene na njoj, nacrtamo parabolu i pronađemo prazninu koja nam je potrebna, ovisno o znaku nejednakosti.

Riješi nejednačinu x2 + x - 12 > 0

Napiši kao funkciju:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, grana se gore.

Postavite na nulu.

2) x2 + x -12=0

Dalje, rješavamo kao kvadratnu jednačinu i nalazimo nule funkcije:

x₁ =3, x_2=-4

3) Nacrtajte brojevnu pravu sa tačkama 3 i -4 na njoj. Parabola će proći kroz njih, granati se i odgovor na nejednakost će biti skup pozitivnih vrijednosti, odnosno (-∞; -4), (3; +∞).

Metoda intervala

Drugi način je metoda razmaka. Algoritam za njegovo rješavanje:

1. Pronađite korijene jednadžbe za koju je nejednakost jednaka nuli.

2. Označavamo ih na brojevnoj pravoj. Dakle, podijeljen je na nekoliko intervala.

3. Odredi predznak bilo kojeg intervala.

4. Znakove postavljamo u preostalim intervalima, mijenjajući ih nakon jednog.

Riješi nejednačinu (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Nejednakosti nule: 4, 5 i -7.

2) Nacrtajte ih na brojevnoj liniji.

3) Odredite znakove intervala.

Odgovor: (-∞; -7]; [4; 5].

Riješi još jednu nejednačinu: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Nejednakosti nule: 0, 2, -2 i 1.

2. Označite ih na brojevnoj liniji.

3. Odredite znakove intervala.

Linija je podijeljena na intervale - od -2 do 0, od 0 do 1, od 1 do 2.

Uzmite vrijednost na prvom intervalu - (-1). Zamjena u nejednakosti. Sa ovom vrijednošću, nejednakost postaje pozitivna, što znači da će predznak na ovom intervalu biti +.

Dalje, počevši od prve praznine, sređujemo znakove, mijenjajući ih nakon jednog.

Nejednakost je veća od nule, odnosno potrebno je pronaći skup pozitivnih vrijednosti na liniji.

Odgovor: (-2; 0), (1; 2).

Sistemi jednadžbi

Sistem jednadžbi sa dvije varijable su dvije jednačine spojene vitičastim zagradama za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje.

Sistemi mogu biti ekvivalentni ako je opće rješenje jednog od njih rješenje drugog, ili oba nemaju rješenja.

Proučavat ćemo rješenja sistema jednačina sa dvije varijable. Postoje dva načina za njihovo rješavanje - metoda zamjene ili algebarska metoda.

Algebarska metoda

Da biste rešili sistem prikazan na slici ovom metodom, prvo morate pomnožiti jedan njegov deo sa takvim brojem, kako biste kasnije mogli međusobno da poništite jednu promenljivu iz oba dela jednačine. Ovdje množimo sa tri, crtamo liniju ispod sistema i sabiramo njegove dijelove. Kao rezultat, x postaju identični u modulu, ali suprotni po predznaku, i mi ih smanjujemo. Zatim dobijamo linearnu jednačinu sa jednom promenljivom i rešavamo je.

Pronašli smo Y, ali ne možemo stati na tome, jer još nismo pronašli X. ZamenaY na dio iz kojeg će biti zgodno povući X, na primjer:

-x + 5y=8, sa y=1

-x + 5=8

Riješi rezultirajuću jednačinu i pronađi x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Glavna stvar u rješenju sistema je da se odgovor tačno zapiše. Mnogi studenti griješe pišu:

Odgovor: -3, 1.

Ali ovo je pogrešan unos. Uostalom, kao što je već spomenuto, prilikom rješavanja sistema jednačina tražimo opće rješenje za njegove dijelove. Tačan odgovor bi bio:

(-3; 1)