Mehanički sistem koji se sastoji od materijalne tačke (tijela) koja visi na nerastavljivoj bestežinskoj niti (njegova masa je zanemarljiva u odnosu na težinu tijela) u jednoličnom gravitacijskom polju naziva se matematičko klatno (drugi naziv je oscilator). Postoje i druge vrste ovog uređaja. Umjesto konca može se koristiti bestežinski štap. Matematičko klatno može jasno otkriti suštinu mnogih zanimljivih pojava. Uz malu amplitudu oscilacije, njegovo kretanje se naziva harmonično.
Pregled mehaničkog sistema
Formulu za period oscilovanja ovog klatna izveo je holandski naučnik Huygens (1629-1695). Ovaj savremenik I. Newtona veoma je voleo ovaj mehanički sistem. 1656. godine stvorio je prvi sat sa klatnom. Vrijeme su mjerili izuzetnoza ta vremena tačnost. Ovaj izum je postao glavna prekretnica u razvoju fizičkih eksperimenata i praktičnih aktivnosti.
Ako je klatno u ravnoteži (visi okomito), tada će sila gravitacije biti uravnotežena silom napetosti niti. Ravno klatno na nerastavljivoj niti je sistem sa dva stepena slobode sa vezom. Kada promijenite samo jednu komponentu, mijenjaju se karakteristike svih njenih dijelova. Dakle, ako se navoj zamijeni šipkom, onda će ovaj mehanički sistem imati samo 1 stepen slobode. Koja su svojstva matematičkog klatna? U ovom najjednostavnijem sistemu, haos nastaje pod uticajem periodične perturbacije. U slučaju kada se tačka vešanja ne kreće, već osciluje, klatno ima novi ravnotežni položaj. Sa brzim oscilacijama gore-dole, ovaj mehanički sistem dobija stabilan položaj naopako. Ona takođe ima svoje ime. Zove se Kapicino klatno.
Svojstva klatna
Matematičko klatno ima veoma interesantna svojstva. Svi oni su potvrđeni poznatim fizičkim zakonima. Period oscilovanja bilo kog drugog klatna zavisi od različitih okolnosti, kao što su veličina i oblik tela, rastojanje između tačke vešanja i centra gravitacije, raspodela mase u odnosu na ovu tačku. Zato je određivanje perioda visećeg tijela prilično težak zadatak. Mnogo je lakše izračunati period matematičkog klatna, čija će formula biti data u nastavku. Kao rezultat zapažanja sličnihmehanički sistemi mogu uspostaviti sljedeće obrasce:
• Ako, zadržavajući istu dužinu klatna, objesimo različite težine, tada će period njihovih oscilacija biti isti, iako će njihove mase jako varirati. Dakle, period takvog klatna ne zavisi od mase tereta.
• Prilikom pokretanja sistema, ako se klatno odbije za ne prevelike, ali za različite uglove, ono će početi da osciluje sa istim periodom, ali sa različitim amplitudama. Sve dok odstupanja od centra ravnoteže nisu prevelika, oscilacije će po svom obliku biti prilično bliske harmonijskim. Period takvog klatna ni na koji način ne zavisi od amplitude oscilovanja. Ovo svojstvo ovog mehaničkog sistema naziva se izohronizam (prevedeno sa grčkog "chronos" - vrijeme, "isos" - jednak).
Period matematičkog klatna
Ovaj indikator predstavlja period prirodnih oscilacija. Uprkos složenim formulacijama, sam proces je vrlo jednostavan. Ako je dužina niti matematičkog klatna L, a ubrzanje slobodnog pada g, onda je ova vrijednost:
T=2π√L/g
Period malih prirodnih oscilacija ni na koji način ne zavisi od mase klatna i amplitude oscilacija. U ovom slučaju, klatno se kreće poput matematičkog klatna sa smanjenom dužinom.
Ljuljačke matematičkog klatna
Matematičko klatno oscilira, što se može opisati jednostavnom diferencijalnom jednačinom:
x + ω2 sin x=0, gdje je x (t) nepoznata funkcija (ovo je ugao odstupanja od donjegravnotežni položaj u vremenu t, izražen u radijanima); ω je pozitivna konstanta, koja se određuje iz parametara klatna (ω=√g/L, gdje je g ubrzanje slobodnog pada, a L dužina matematičkog klatna (ovjesa).
Jednačina malih fluktuacija u blizini položaja ravnoteže (harmonična jednačina) izgleda ovako:
x + ω2 sin x=0
Oscilatorna kretanja klatna
Matematičko klatno koje stvara male oscilacije kreće se duž sinusoide. Diferencijalna jednačina drugog reda ispunjava sve zahtjeve i parametre takvog kretanja. Da biste odredili putanju, morate specificirati brzinu i koordinate, iz kojih se zatim određuju nezavisne konstante:
x=grijeh (θ0 + ωt), gde je θ0 početna faza, A je amplituda oscilovanja, ω je ciklička frekvencija određena iz jednačine kretanja.
Matematičko klatno (formule za velike amplitude)
Ovaj mehanički sistem, koji čini svoje oscilacije sa značajnom amplitudom, poštuje složenije zakone kretanja. Za takvo klatno, oni se izračunavaju po formuli:
sin x/2=usn(ωt/u), gdje je sn Jakobijev sinus, koji je za u < 1 periodična funkcija, a za malo u poklapa se sa jednostavnim trigonometrijskim sinusom. Vrijednost u je određena sljedećim izrazom:
u=(ε + ω2)/2ω2, gde je ε=E/mL2 (mL2 je energija klatna).
Određivanje perioda oscilovanja nelinearnog klatnaizvedeno prema formuli:
T=2π/Ω, gde je Ω=π/2ω/2K(u), K je eliptički integral, π - 3, 14.
Kretanje klatna duž separatrice
Separatrisa je putanja dinamičkog sistema sa dvodimenzionalnim faznim prostorom. Matematičko klatno se kreće duž njega neperiodično. U beskonačno udaljenom trenutku, pada iz krajnje gornje pozicije na stranu sa nultom brzinom, a zatim ga postepeno podiže. Na kraju se zaustavlja, vraćajući se u prvobitni položaj.
Ako se amplituda oscilacija klatna približi broju π, to ukazuje da se kretanje na faznoj ravni približava separatrici. U ovom slučaju, pod dejstvom male pogonske periodične sile, mehanički sistem pokazuje haotično ponašanje.
Kada matematičko klatno odstupi od ravnotežnog položaja pod određenim uglom φ, javlja se tangencijalna sila gravitacije Fτ=–mg sin φ. Znak minus znači da je ta tangencijalna komponenta usmjerena u suprotnom smjeru od otklona klatna. Kada se pomak klatna duž luka kružnice poluprečnika L označi sa x, njegov ugaoni pomak je jednak φ=x/L. Drugi zakon Isaaca Newtona, dizajniran za projekcije vektora ubrzanja i sile, dat će željenu vrijednost:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Na osnovu ovog omjera, jasno je da je ovo klatno nelinearan sistem, jer sila koja teži da se vratito ravnotežnom položaju, uvijek je proporcionalno ne pomaku x, već sin x/L.
Samo kada matematičko klatno pravi male oscilacije, ono je harmonijski oscilator. Drugim riječima, postaje mehanički sistem sposoban da izvodi harmonijske vibracije. Ova aproksimacija praktički vrijedi za uglove od 15-20°. Oscilacije klatna sa velikim amplitudama nisu harmonične.
Njutnov zakon za male oscilacije klatna
Ako ovaj mehanički sistem izvodi male vibracije, Newtonov 2. zakon će izgledati ovako:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Na osnovu ovoga možemo zaključiti da je tangencijalno ubrzanje matematičkog klatna proporcionalno njegovom pomaku sa predznakom minus. Ovo je uslov zbog kojeg sistem postaje harmonijski oscilator. Modul proporcionalnog dobitka između pomaka i ubrzanja jednak je kvadratu kružne frekvencije:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Ova formula odražava prirodnu frekvenciju malih oscilacija ove vrste klatna. Na osnovu ovoga, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Proračuni zasnovani na zakonu održanja energije
Svojstva oscilatornog kretanja klatna se također mogu opisati korištenjem zakona održanja energije. U ovom slučaju treba uzeti u obzir da je potencijalna energija klatna u gravitacionom polju:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Ukupna mehanička energijajednako kinetičkom ili maksimalnom potencijalu: Epmax=Ekmsx=E
Nakon što je napisan zakon održanja energije, uzmite izvod desne i lijeve strane jednačine:
Ep + Ek=const
Pošto je derivacija konstantnih vrijednosti 0, tada je (Ep + Ek)'=0. Izvod sume je jednak zbiru izvoda:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, odakle:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Na osnovu zadnje formule nalazimo: α=- g/Lx.
Praktična primjena matematičkog klatna
Ubrzanje slobodnog pada varira u zavisnosti od geografske širine, pošto gustina zemljine kore na celoj planeti nije ista. Tamo gdje se pojavljuju stijene veće gustine, ona će biti nešto veća. Ubrzanje matematičkog klatna se često koristi za geološka istraživanja. Koristi se za traženje raznih minerala. Jednostavnim prebrojavanjem broja zamaha klatna, možete pronaći ugalj ili rudu u utrobi Zemlje. To je zbog činjenice da takvi fosili imaju gustinu i masu veću od labavih stijena koje leže ispod njih.
Matematičko klatno koristili su istaknuti naučnici kao što su Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih su vjerovali da ovaj mehanički sistem može utjecati na sudbinu i život osobe. Arhimed je u svojim proračunima koristio matematičko klatno. U današnje vrijeme mnogi okultisti i vidovnjacikoriste ovaj mehanički sistem da ispune njihova proročanstva ili traže nestale ljude.
Čuveni francuski astronom i prirodnjak K. Flammarion je takođe koristio matematičko klatno za svoja istraživanja. Tvrdio je da je uz njegovu pomoć mogao predvidjeti otkriće nove planete, pojavu meteorita Tunguska i druge važne događaje. Za vrijeme Drugog svjetskog rata u Njemačkoj (Berlin) radio je specijalizovani Institut za klatno. Danas se sličnim istraživanjima bavi Minhenski institut za parapsihologiju. Zaposleni u ovoj ustanovi svoj rad sa klatnom nazivaju radiestezijom.
