Steinerova teorema ili teorema paralelnih osa za izračunavanje momenta inercije

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

U matematičkom opisu rotacionog kretanja važno je znati moment inercije sistema oko ose. U opštem slučaju, postupak za pronalaženje ove veličine uključuje implementaciju procesa integracije. Takozvana Steinerova teorema olakšava izračunavanje. Razmotrimo to detaljnije u članku.

Šta je moment inercije?

Prije davanja formulacije Steinerove teoreme, potrebno je pozabaviti se samim konceptom momenta inercije. Pretpostavimo da postoji neko tijelo određene mase i proizvoljnog oblika. Ovo tijelo može biti ili materijalna tačka ili bilo koji dvodimenzionalni ili trodimenzionalni objekt (šip, cilindar, lopta, itd.). Ako predmetni predmet vrši kružno kretanje oko neke ose sa konstantnim ugaonim ubrzanjem α, tada se može napisati sljedeća jednačina:

M=Iα

Ovdje vrijednost M predstavlja ukupan moment sila, koji daje ubrzanje α cijelom sistemu. Koeficijent proporcionalnosti između njih - I, naziva semoment inercije. Ova fizička veličina se izračunava koristeći sljedeću opštu formulu:

I=∫_m (r²dm)

Ovdje je r udaljenost između elementa mase dm i ose rotacije. Ovaj izraz znači da je potrebno pronaći zbir proizvoda kvadrata udaljenosti r² i elementarne mase dm. Odnosno, moment inercije nije čista karakteristika tijela, što ga razlikuje od linearne inercije. Zavisi od raspodjele mase u objektu koji rotira, kao i od udaljenosti do ose i od orijentacije tijela u odnosu na nju. Na primjer, štap će imati drugačije I ako se rotira oko centra mase i oko kraja.

Moment inercije i Steinerova teorema

Čuveni švajcarski matematičar, Jakob Steiner, dokazao je teoremu o paralelnim osovinama i momentu inercije, koja sada nosi njegovo ime. Ova teorema postulira da je moment inercije za apsolutno bilo koje kruto tijelo proizvoljne geometrije u odnosu na neku os rotacije jednak zbroju momenta inercije oko ose koja siječe centar mase tijela i paralelna je s prvom, i proizvod tjelesne mase pomnožen kvadrata udaljenosti između ovih osa. Matematički, ova formulacija je napisana na sljedeći način:

I_Z=I_O + ml²

I_Z i I_O - momenti inercije oko Z-ose i O-ose paralelne sa njom, koja prolazi kroz centar mase tijela, l - rastojanje između pravih Z i O.

Teorema dozvoljava, znajući vrijednost I_O, izračunatibilo koji drugi trenutak I_Z oko ose koja je paralelna sa O.

Dokaz teoreme

Formulu Steinerova teorema možete lako dobiti sami. Da biste to učinili, razmotrite proizvoljno tijelo na xy ravni. Neka ishodište koordinata prolazi kroz centar mase ovog tijela. Izračunajmo moment inercije I_O koji prolazi kroz ishodište okomito na ravan xy. Budući da je udaljenost do bilo koje tačke tijela izražena formulom r=√ (x² + y²), dobijamo integral:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Sada pomaknimo os paralelno duž x-ose za udaljenost l, na primjer, u pozitivnom smjeru, tada će proračun za novu os momenta inercije izgledati ovako:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Proširite ceo kvadrat u zagradama i podelite integrande, dobijamo:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Prvi od ovih pojmova je vrijednost I_O, treći pojam, nakon integracije, daje pojam l²m, a ovdje je drugi član nula. Nuliranje navedenog integrala je zbog činjenice da se uzima iz proizvoda x i masenih elemenata dm, koji uprosjek daje nulu, pošto je centar mase u početku. Kao rezultat, dobija se formula Steinerove teoreme.

Razmatrani slučaj na ravni može se generalizirati na trodimenzionalno tijelo.

Provjera Steinerove formule na primjeru štapa

Dajmo jednostavan primjer da demonstriramo kako koristiti gornju teoremu.

Poznato je da je za štap dužine L i mase m, moment inercije I_O (osa prolazi kroz centar mase) jednak m L² /12, a trenutak I_Z (os prolazi kroz kraj štapa) jednak je mL 2^{/3. Provjerimo ove podatke pomoću Steinerove teoreme. Pošto je rastojanje između dve osovine L/2, dobijamo trenutak I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

To jest, provjerili smo Steinerovu formulu i dobili istu vrijednost za I_Z kao u izvoru.

Slični proračuni se mogu izvršiti i za druga tijela (cilindar, kugla, disk), uz dobijanje potrebnih momenata inercije, i bez vršenja integracije.

Moment inercije i okomite ose

Razmatrana teorema se odnosi na paralelne ose. Za potpunost informacija, također je korisno dati teoremu za okomite ose. Formulira se na sljedeći način: za ravan objekt proizvoljnog oblika, moment inercije oko osi okomite na njega bit će jednak zbroju dva momenta inercije oko dva međusobno okomita i ležećih momenata.u ravni objekta osi, pri čemu sve tri ose prolaze kroz istu tačku. Matematički, ovo se piše na sljedeći način:

I_z=I_x + I_y

Ovdje su z, x, y tri međusobno okomite ose rotacije.

Suštinska razlika između ove teoreme i Steinerove teoreme je u tome što je ona primjenjiva samo na ravne (dvodimenzionalne) čvrste objekte. Ipak, u praksi se široko koristi, mentalno seče telo na zasebne slojeve, a zatim se dodaju dobijeni momenti inercije.