Dio fizike koji proučava karakteristike kretanja tečnih medija naziva se hidrodinamika. Jedan od glavnih matematičkih izraza hidrodinamike je Bernoullijeva jednačina za idealni fluid. Članak je posvećen ovoj temi.
Šta je idealna tečnost?
Mnogi ljudi znaju da je tečna supstanca takvo agregatno stanje materije koje zadržava volumen pod stalnim vanjskim uvjetima, ali mijenja svoj oblik pri najmanjem udaru na nju. Idealan fluid je fluidna supstanca koja nema viskoznost i nestišljiva. Ovo su dva glavna svojstva koja ga razlikuju od pravih tečnosti.
Imajte na umu da se skoro sve prave tečnosti mogu smatrati nestišljivim, jer mala promena njihove zapremine zahteva ogroman spoljni pritisak. Na primjer, ako stvorite pritisak od 5 atmosfera (500 kPa), tada će voda povećati svoju gustoću za samo 0,024%. Što se tiče pitanja viskoznosti, za niz praktičnih problema, kada se voda posmatra kao radni fluid, može se zanemariti. Radi kompletnosti, napominjemo dadinamički viskozitet vode pri 20 oC je 0,001 Pas2, što je skromno u poređenju sa ovom vrijednošću za med (>2000) vrijednost.
Važno je ne brkati koncepte idealnog fluida i idealnog gasa, pošto je potonji lako kompresibilan.
Jednačina kontinuiteta
U hidrodinamici, kretanje idealnog fluida počinje da se razmatra iz proučavanja jednačine kontinuiteta njegovog toka. Da biste razumjeli suštinu problema, potrebno je razmotriti kretanje tekućine kroz cijev. Zamislite da na ulazu cijev ima površinu presjeka A1, a na izlazu A2.
Sad pretpostavimo da tečnost teče na početku cijevi brzinom v1, to znači da u vremenu t kroz dionicu A1zapremina protoka V1=A1v1t. Pošto je tečnost idealna, odnosno nestišljiva, potpuno ista zapremina vode mora izaći iz kraja cevi u vremenu t, dobijamo: V2=A2 v2t. Iz jednakosti volumena V1 i V2 , slijedi jednačina za kontinuitet protoka idealnog fluida:
A1v1=A2v2.
Iz rezultirajuće jednačine slijedi da ako A1>A2, tada v1 treba biti manji od v2. Drugim riječima, smanjenjem poprečnog presjeka cijevi povećavamo brzinu protoka fluida koji iz nje izlazi. Očigledno, ovaj efekat je primijetila svaka osoba u svom životu koja je barem jednom zalijevala cvjetne gredice crijevom ilibaštu, tako da prstom prekrivši rupu na crijevu, možete gledati kako mlaz vode koji iz njega curi postaje jači.
Jednačina kontinuiteta za razgranatu cijev
Zanimljivo je razmotriti slučaj kretanja idealnog fluida kroz cijev koja ima ne jedan, već dva ili više izlaza, odnosno razgranata. Na primjer, površina poprečnog presjeka cijevi na ulazu je A1, a prema izlazu se grana na dvije cijevi sa presjecima A2i A3. Odredimo protok v2 i v3, ako je poznato da voda ulazi u ulaz brzinom v 1.
Upotrebom jednačine kontinuiteta dobijamo izraz: A1v1=A2 v 2 + A3v3. Da biste riješili ovu jednačinu za nepoznate brzine, morate shvatiti da se na izlazu, u kojoj god cijevi da je protok, on se kreće istom brzinom, odnosno v2=v3. Ova činjenica se može razumjeti intuitivno. Ako je izlazna cijev nekom pregradom podijeljena na dva dijela, brzina protoka se neće promijeniti. S obzirom na ovu činjenicu, dobijamo rješenje: v2=v3 =A1v1/(A2 + A3).
Bernoullijeva jednačina za idealnu tekućinu
Daniil Bernoulli, švajcarski fizičar i matematičar holandskog porekla, u svom delu "Hidrodinamika" (1734) predstavio je jednačinu za idealnu tečnost koja opisuje njeno kretanje. Piše se u sljedećem obliku:
P+ ρv2/2 + ρgh=konst.
Ovaj izraz odražava zakon održanja energije u slučaju protoka fluida. Dakle, prvi član (P) je pritisak usmeren duž vektora pomeranja fluida, koji opisuje rad toka, drugi član (ρv2/2) je kinetički energija fluidne supstance, a treći pojam (ρgh) je njena potencijalna energija.
Podsjetimo da ova jednadžba vrijedi za idealnu tekućinu. U stvarnosti, uvijek postoji trenje fluidne supstance o zidove cijevi i unutar njenog volumena, stoga se u gornju Bernoullijevu jednačinu uvodi dodatni termin koji opisuje ove gubitke energije.
Upotreba Bernoullijeve jednadžbe
Zanimljivo je navesti neke izume koji koriste dedukcije iz Bernoullijeve jednadžbe:
- Dimnjak i nape. Iz jednačine proizlazi da što je veća brzina kretanja tečne supstance, to je njen pritisak manji. Brzina kretanja zraka na vrhu dimnjaka je veća nego na njegovom dnu, tako da tok dima uvijek teži prema gore zbog razlike u tlaku.
- Cijevi za vodu. Jednačina pomaže da se shvati kako će se promijeniti pritisak vode u cijevi ako se promijeni promjer cijevi.
- Avioni i Formula 1. Ugao krila aviona i F1 krila obezbeđuje razliku u vazdušnom pritisku iznad i ispod krila, što stvara silu podizanja i dole.
Načini protoka tečnosti
Bernoullijeva jednačina nijeuzima u obzir način kretanja fluida, koji može biti dva tipa: laminarni i turbulentni. Laminarni tok karakterizira miran tok, u kojem se slojevi fluida kreću po relativno glatkim putanjama i ne miješaju se jedni s drugima. Turbulentni način kretanja fluida karakterizira haotično kretanje svakog molekula koji čini tok. Karakteristika turbulentnog režima je prisustvo vrtloga.
U kom pravcu će tečnost teći zavisi od brojnih faktora (karakteristike sistema, na primer, prisustvo ili odsustvo hrapavosti na unutrašnjoj površini cevi, viskozitet supstance i brzina njenog kretanja pokret). Prijelaz između razmatranih načina kretanja opisan je Reynoldsovim brojevima.
Upečatljiv primjer laminarnog toka je sporo kretanje krvi kroz glatke krvne sudove. Primjer turbulentnog toka je jak pritisak vode iz slavine.
