Moment inercije materijalne tačke i krutog tijela: formule, Steinerova teorema, primjer rješavanja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Kvantitativno proučavanje dinamike i kinematike rotacionog kretanja zahteva poznavanje momenta inercije materijalne tačke i krutog tela u odnosu na osu rotacije. U članku ćemo razmotriti o kojem parametru je riječ, a također ćemo dati formulu za njegovo određivanje.

Opći podaci o fizičkoj količini

Prvo, hajde da definišemo moment inercije materijalne tačke i krutog tela, a zatim pokažemo kako ga treba koristiti u rešavanju praktičnih problema.

Pod naznačenom fizičkom karakteristikom za tačku mase m, koja rotira oko ose na udaljenosti r, podrazumijeva se sljedeća vrijednost:

I=mr².

Iz čega sledi da je jedinica mere proučavanog parametra kilogrami po kvadratnom metru (kgm²).

Ako se, umjesto tačke oko ose, rotira tijelo složenog oblika, koje ima proizvoljnu raspodjelu mase unutar sebe, tada je određen njegov moment inercijedakle:

I=∫_m(r²dm)=ρ∫_V(r²dV).

Gdje je ρ gustina tijela. Koristeći integralnu formulu, možete odrediti vrijednost I za apsolutno bilo koji sistem rotacije.

Moment inercije ima potpuno isto značenje za rotaciju kao masa za translatorno kretanje. Na primjer, svi znaju da je krpu za pod najlakše rotirati oko ose koja prolazi kroz njegovu ručku nego kroz okomitu. To je zbog činjenice da je moment inercije u prvom slučaju mnogo manji nego u drugom.

I vrijednost za tijela različitih oblika

Prilikom rješavanja zadataka iz fizike za rotaciju, često je potrebno znati moment inercije za tijelo određenog geometrijskog oblika, na primjer, za cilindar, loptu ili šipku. Ako primijenimo formulu napisanu gore za I, onda je lako dobiti odgovarajući izraz za sva označena tijela. Ispod su formule za neke od njih:

štap: I=1 / 12ML²;

cilindar: I=1 / 2MR²;

sfera: I=2 / 5MR².

Ovde je dat I za osu rotacije, koja prolazi kroz centar mase tela. U slučaju cilindra, os je paralelna sa generatorom figure. Moment inercije za druga geometrijska tijela i opcije za lokaciju osi rotacije mogu se naći u odgovarajućim tabelama. Imajte na umu da je za određivanje različitih figura dovoljno znati samo jedan geometrijski parametar i masu tijela.

Steinerova teorema i formula

Moment inercije se može odrediti ako se os rotacije nalazi na određenoj udaljenosti od tijela. Da biste to učinili, trebate znati dužinu ovog segmenta i vrijednost I_O tijela u odnosu na osu koja prolazi kroz centar njegove mase, a koja bi trebala biti paralelna s onom ispod razmatranje. Uspostavljanje veze između parametra I_O i nepoznate vrijednosti I je fiksirano u Steinerovoj teoremi. Moment inercije materijalne tačke i krutog tijela matematički se zapisuje na sljedeći način:

I=I_O+ Mh².

Ovdje je M masa tijela, h je udaljenost od centra mase do ose rotacije, u odnosu na koju je potrebno izračunati I. Ovaj izraz je lako dobiti sami ako koristite integralnu formulu za I i uzmite u obzir da su sve tačke tijela na udaljenostima r=r₀ + h.

Steinerova teorema uvelike pojednostavljuje definiciju I za mnoge praktične situacije. Na primjer, ako trebate pronaći I za štap dužine L i mase M u odnosu na osu koja prolazi kroz njegov kraj, tada primjena Steinerove teoreme omogućava vam da zapišete:

I=I_O+ M(L / 2)²=1 / 12ML ²+ ML² / 4=ML² / 3.

Možete pogledati odgovarajuću tabelu i vidjeti da ona sadrži upravo ovu formulu za tanki štap sa osom rotacije na svom kraju.

Momentna jednadžba

U fizici rotacije postoji formula koja se zove jednadžba momenata. To izgleda ovako:

M=Iα.

Ovdje je M moment sile, α je kutno ubrzanje. Kao što vidite, moment inercije materijalne tačke i krutog tijela i moment sile su linearno povezani jedan s drugim. Vrijednost M određuje mogućnost neke sile F da stvori rotacijsko kretanje s ubrzanjem α u sistemu. Za izračunavanje M koristite sljedeći jednostavan izraz:

M=Fd.

Gdje je d rame momenta, koje je jednako udaljenosti od vektora sile F do ose rotacije. Što je krak d manji, to će sila imati manju sposobnost da stvori rotaciju sistema.

Jednačina momenata u svom značenju je u potpunosti u skladu sa drugim Newtonovim zakonom. U ovom slučaju ja igram ulogu inercijalne mase.

Primjer rješavanja problema

Zamislimo sistem koji je cilindar fiksiran na vertikalnoj osi sa horizontalnom šipkom bez težine. Poznato je da su osa rotacije i glavna osa cilindra paralelne jedna s drugom, a razmak između njih je 30 cm. Masa cilindra je 1 kg, a poluprečnik mu je 5 cm. Sila od 10 cm N tangenta na putanju rotacije djeluje na figuru čiji vektor prolazi kroz glavnu osu cilindra. Potrebno je odrediti ugaono ubrzanje figure koje će ova sila uzrokovati.

Prvo, izračunajmo moment inercije I cilindra. Da biste to učinili, primijenite Steinerov teorem, imamo:

I=I_O+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².

Prije korištenja jednadžbe trenutka, morateodrediti moment sile M. U ovom slučaju imamo:

M=Fd=100, 3=3 Nm.

Sada možete odrediti ubrzanje:

α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².

Izračunato ugaono ubrzanje pokazuje da će se svake sekunde brzina cilindra povećavati za 5,2 okretaja u sekundi.