Godine 1900, jedan od najvećih naučnika prošlog veka, David Hilbert, sastavio je listu od 23 nerešena problema u matematici. Rad na njima imao je ogroman uticaj na razvoj ove oblasti ljudskog znanja. 100 godina kasnije, Clay Mathematical Institute predstavio je listu od 7 problema poznatih kao Milenijumski problemi. Svakom od njih je ponuđena nagrada od milion dolara.
Jedini problem koji se pojavio među obje liste zagonetki koje progone naučnike više od jednog stoljeća bila je Riemannova hipoteza. Ona još uvijek čeka svoju odluku.
Kratka biografska bilješka
Georg Friedrich Bernhard Riemann rođen je 1826. godine u Hanoveru, u velikoj porodici siromašnog pastora, i živio je samo 39 godina. Uspio je objaviti 10 radova. Međutim, Riemann se već za života smatrao nasljednikom svog učitelja Johanna Gaussa. U dobi od 25 godina, mladi naučnik odbranio je disertaciju "Osnove teorije funkcija kompleksne varijable". Kasnije je formulisaonjegova poznata hipoteza.
Osnovni brojevi
Matematika se pojavila kada je čovjek naučio da broji. Istovremeno su se pojavile i prve ideje o brojevima, koje su kasnije pokušali klasificirati. Uočeno je da neki od njih imaju zajednička svojstva. Konkretno, među prirodnim brojevima, odnosno onima koji su se koristili za brojanje (numeraciju) ili označavanje broja objekata, izdvajala se grupa koja je bila djeljiva samo s jednim i samim sobom. Zovu se jednostavni. Elegantan dokaz teoreme o beskonačnosti skupa takvih brojeva dao je Euklid u svojim Elementima. Trenutno se njihova potraga nastavlja. Konkretno, najveći već poznati broj je 274 207 281 – 1.
Eulerova formula
Zajedno sa konceptom beskonačnosti skupa prostih brojeva, Euklid je odredio i drugu teoremu o jedinoj mogućoj dekompoziciji na proste faktore. Prema njemu, svaki pozitivan cijeli broj je proizvod samo jednog skupa prostih brojeva. Godine 1737., veliki njemački matematičar Leonhard Euler izrazio je Euklidovu prvu teoremu o beskonačnosti kao formulu ispod.
Zove se zeta funkcija, gdje je s konstanta, a p uzima sve proste vrijednosti. Euklidova izjava o jedinstvenosti proširenja direktno slijedi iz nje.
Riemann Zeta funkcija
Eulerova formula, kada se bolje pogleda, je u potpunostiiznenađujuće jer definira odnos između prostih i cijelih brojeva. Na kraju krajeva, beskonačno mnogo izraza koji zavise samo od prostih brojeva množe se na njegovoj lijevoj strani, a zbir pridružen svim pozitivnim cijelim brojevima nalazi se na desnoj.
Riemann je otišao dalje od Eulera. Kako bi pronašao ključ za problem distribucije brojeva, predložio je definiranje formule za realne i kompleksne varijable. Ona je kasnije dobila ime Riemannove zeta funkcije. Naučnik je 1859. objavio članak pod naslovom "O broju prostih brojeva koji ne prelaze datu vrijednost", gdje je sumirao sve svoje ideje.
Riemann je predložio korištenje Eulerove serije, koja konvergira za bilo koji pravi s>1. Ako se ista formula koristi za kompleks s, tada će niz konvergirati za bilo koju vrijednost ove varijable sa realnim dijelom većim od 1. Riemann je primijenio analitičku proceduru nastavka, proširujući definiciju zeta(a) na sve kompleksne brojeve, ali "izbacio" jedinicu. To je isključeno jer se pri s=1 zeta funkcija povećava do beskonačnosti.
Praktični smisao
Postavlja se logično pitanje: zašto je zeta funkcija, koja je ključna u Riemannovom radu na nultoj hipotezi, zanimljiva i važna? Kao što znate, u ovom trenutku nije identificiran jednostavan obrazac koji bi opisao distribuciju prostih brojeva među prirodnim brojevima. Riemann je uspio otkriti da je broj pi(x) prostih brojeva koji ne prelaze x izražen u terminima distribucije netrivijalnih nula zeta funkcije. Štaviše, Riemannova hipoteza jeneophodan uslov za dokazivanje procjena vremena za rad nekih kriptografskih algoritama.
Riemann hipoteza
Jedna od prvih formulacija ovog matematičkog problema, koja do danas nije dokazana, zvuči ovako: netrivijalne 0 zeta funkcije su kompleksni brojevi sa realnim dijelom jednakim ½. Drugim riječima, nalaze se na pravoj Re s=½.
Postoji i generalizovana Riemannova hipoteza, koja je ista izjava, ali za generalizacije zeta funkcija, koje se obično nazivaju Dirichletove L-funkcije (vidi sliku ispod).
U formuli χ(n) - neki numerički znak (modulo k).
Rimanova izjava se smatra takozvanom nultom hipotezom, jer je testirana na konzistentnost sa postojećim podacima uzorka.
Kao što je Riemann tvrdio
Primedba nemačkog matematičara prvobitno je bila sročena prilično ležerno. Činjenica je da je u to vrijeme naučnik trebao dokazati teoremu o raspodjeli prostih brojeva, iu tom kontekstu ova hipoteza nije bila od posebne važnosti. Međutim, njegova uloga u rješavanju mnogih drugih pitanja je ogromna. Zbog toga je Riemannova pretpostavka sada prepoznata od strane mnogih naučnika kao najvažniji od nedokazanih matematičkih problema.
Kao što je već spomenuto, puna Riemannova hipoteza nije potrebna za dokazivanje teoreme distribucije, a dovoljno je da se logički opravda da je realni dio bilo koje netrivijalne nule zeta funkcije uizmeđu 0 i 1. Iz ovog svojstva slijedi da je zbir svih nula zeta funkcije koji se pojavljuje u tačnoj formuli iznad konačna konstanta. Za velike vrijednosti x, može se potpuno izgubiti. Jedini član formule koji ostaje isti čak i za vrlo veliki x je sam x. Preostali kompleksni članovi nestaju asimptotski u poređenju s njim. Dakle, ponderisani zbir teži x. Ova se okolnost može smatrati potvrdom istinitosti teoreme o raspodjeli prostih brojeva. Dakle, nule Riemannove zeta funkcije imaju posebnu ulogu. Sastoji se u dokazivanju da takve vrijednosti ne mogu dati značajan doprinos formuli dekompozicije.
Riemannovi sljedbenici
Tragična smrt od tuberkuloze nije dozvolila ovom naučniku da svoj program dovede do svog logičnog kraja. Međutim, Sh-Zh ga je preuzeo. de la Vallée Poussin i Jacques Adamard. Nezavisno jedni od drugih, izveli su teoremu o raspodjeli prostih brojeva. Hadamard i Poussin su uspjeli dokazati da su sve netrivijalne 0 zeta funkcije unutar kritičnog pojasa.
Zahvaljujući radu ovih naučnika pojavio se novi pravac u matematici - analitička teorija brojeva. Kasnije su drugi istraživači dobili nekoliko primitivnijih dokaza teoreme na kojoj je radio Riemann. Konkretno, Pal Erdős i Atle Selberg su čak otkrili vrlo složen logički lanac koji to potvrđuje, a koji nije zahtijevao korištenje složene analize. Međutim, do ovog trenutka, nekoliko važnihteoreme, uključujući aproksimacije mnogih funkcija teorije brojeva. U tom smislu, novi rad Erdősa i Atlea Selberga praktično nije uticao ni na šta.
Jedan od najjednostavnijih i najljepših dokaza problema pronašao je 1980. Donald Newman. Zasnovan je na poznatoj Cauchy teoremi.
Da li Rimanova hipoteza ugrožava temelje moderne kriptografije
Ekripcija podataka nastala je zajedno s pojavom hijeroglifa, tačnije, oni se sami mogu smatrati prvim kodovima. Trenutno postoji čitava oblast digitalne kriptografije koja razvija algoritme za šifrovanje.
Prosti i "poluprosti" brojevi, tj. oni koji su djeljivi samo sa 2 druga broja iz iste klase, čine osnovu sistema javnog ključa poznatog kao RSA. Ima najširu primjenu. Posebno se koristi prilikom generiranja elektronskog potpisa. Govoreći terminima dostupnim lutkama, Riemannova hipoteza potvrđuje postojanje sistema u distribuciji prostih brojeva. Time je snaga kriptografskih ključeva, od kojih zavisi sigurnost onlajn transakcija u oblasti e-trgovine, značajno smanjena.
Drugi neriješeni matematički problemi
Vrijedi završiti članak posvetivši nekoliko riječi drugim milenijumskim ciljevima. Ovo uključuje:
- Jednakost klasa P i NP. Problem je formuliran na sljedeći način: ako se pozitivan odgovor na određeno pitanje provjeri u polinomskom vremenu, onda je tačno da je sam odgovor na ovo pitanjemože se brzo pronaći?
- Hodgeova pretpostavka. Jednostavnim riječima, može se formulirati na sljedeći način: za neke tipove projektivnih algebarskih varijeteta (prostora), Hodgeovi ciklusi su kombinacije objekata koji imaju geometrijsku interpretaciju, tj. algebarski ciklusi.
- Poincaréova pretpostavka. Ovo je jedini milenijumski izazov koji je do sada dokazan. Prema njemu, svaki trodimenzionalni objekat koji ima specifična svojstva trodimenzionalne sfere mora biti sfera, do deformacije.
- Afirmacija kvantne teorije Yang - Mills. Potrebno je dokazati da kvantna teorija koju su iznijeli ovi naučnici za prostor R 4 postoji i ima 0-ti defekt mase za bilo koju jednostavnu kompaktnu mjernu grupu G.
- Birch-Swinnerton-Dyer hipoteza. Ovo je još jedno pitanje vezano za kriptografiju. Dotiče eliptičke krivulje.
- Problem postojanja i glatkoće rješenja Navier-Stokesovih jednačina.
Sada znate Riemannovu hipotezu. Jednostavno rečeno, formulisali smo neke od drugih milenijumskih izazova. Da će biti riješeni ili će se dokazati da nemaju rješenja, pitanje je vremena. Štaviše, malo je vjerovatno da će ovo morati predugo čekati, budući da matematika sve više koristi računarske mogućnosti računara. Međutim, nije sve podložno tehnologiji, a prije svega, intuicija i kreativnost su potrebne za rješavanje naučnih problema.
