Nerješivi problemi su 7 najzanimljivijih matematičkih problema. Svaki od njih su u jednom trenutku predložili poznati naučnici, po pravilu, u obliku hipoteza. Već dugi niz decenija matematičari širom sveta razbijaju mozak nad svojim rešenjem. Oni koji uspiju bit će nagrađeni sa milion američkih dolara koje nudi Clay Institute.
Pozadina
Godine 1900. veliki njemački matematičar David Hilbert predstavio je listu od 23 problema.
Istraživanja sprovedena da bi se oni rešili imala su ogroman uticaj na nauku 20. veka. Trenutno je većina njih prestala biti misterija. Među neriješenim ili djelimično riješenim su:
- problem konzistentnosti aritmetičkih aksioma;
- opći zakon reciprociteta na prostoru bilo kojeg polja broja;
- matematička studija fizičkih aksioma;
- proučavanje kvadratnih oblika za proizvoljne algebarske numeričkekvote;
- problem rigoroznog opravdanja računske geometrije Fjodora Šuberta;
- etc.
Neistraženi su: problem proširenja dobro poznate Kroneckerove teoreme na bilo koju algebarsku oblast racionalnosti i Riemannova hipoteza.
The Clay Institute
Ovo je naziv privatne neprofitne organizacije sa sjedištem u Cambridgeu, Massachusetts. Osnovali su ga 1998. godine matematičar sa Harvarda A. Jeffey i biznismen L. Clay. Cilj Instituta je popularizacija i razvoj matematičkih znanja. Da bi to postigla, organizacija dodjeljuje nagrade naučnicima i sponzorima obećavajućih istraživanja.
Početkom 21. veka, Institut za matematiku Kleja ponudio je nagradu onima koji rešavaju ono što je poznato kao najteži nerešivi problemi, nazivajući njihovu listu problemima Milenijumske nagrade. Samo je Riemannova hipoteza uključena u Hilbertovu listu.
Milenijumski izazovi
Lista Instituta za glinu prvobitno je uključivala:
- Hodgeov ciklus hipoteze;
- kvantne Yang-Millsove teorijske jednadžbe;
- Poincaré hipoteza;
- problem jednakosti klasa P i NP;
- Riemann hipoteza;
- Navier-Stokesove jednadžbe, o postojanju i glatkoći njenih rješenja;
- Birch-Swinnerton-Dyer problem.
Ovi otvoreni matematički problemi su od velikog interesa, jer mogu imati mnogo praktičnih implementacija.
Šta je Grigorij Perelman dokazao
Godine 1900., poznati filozof Henri Poincaré sugerirao je da je svaka jednostavno povezana kompaktna 3-mnogostrukost bez granica homeomorfna 3-dimenzionalnoj sferi. Njegov dokaz u opštem slučaju nije pronađen čitav vek. Tek 2002-2003. godine, peterburški matematičar G. Perelman objavio je niz članaka sa rješenjem Poincaréovog problema. Imali su efekat bombe koja je eksplodirala. Godine 2010. Poincaréova hipoteza je isključena sa liste "Neriješenih problema" Instituta Clay, a samom Perelmanu je ponuđeno da dobije znatnu naknadu zbog njega, što je ovaj odbio bez objašnjenja razloga za svoju odluku.
Najrazumljivije objašnjenje onoga što je ruski matematičar uspeo da dokaže može se dati tako što se zamisli da se gumeni disk navuče na krofnu (torus), a zatim pokušavaju da povuku ivice njegovog kruga u jednu tačku. Očigledno to nije moguće. Još jedna stvar, ako napravite ovaj eksperiment sa loptom. U ovom slučaju, naizgled trodimenzionalna sfera, nastala iz diska čiji je obim povučen do tačke hipotetičkom vrpcom, bila bi trodimenzionalna u razumijevanju obične osobe, ali dvodimenzionalna u smislu matematike.
Poincare je sugerirao da je trodimenzionalna sfera jedini trodimenzionalni "objekat" čija se površina može skupiti u jednu tačku, a Perelman je to uspio dokazati. Dakle, lista "Nerešivih problema" danas se sastoji od 6 problema.
Yang-Mills teorija
Ovaj matematički problem predložili su njegovi autori 1954. godine. Naučna formulacija teorije je sljedeća:za bilo koju jednostavnu kompaktnu mjernu grupu, kvantna prostorna teorija koju su kreirali Yang i Mills postoji, a istovremeno ima nulti defekt mase.
Govoreći jezikom razumljivim običnom čovjeku, interakcije između prirodnih objekata (čestica, tijela, valova, itd.) dijele se na 4 vrste: elektromagnetne, gravitacijske, slabe i jake. Dugi niz godina, fizičari pokušavaju stvoriti opću teoriju polja. Trebalo bi da postane alat za objašnjenje svih ovih interakcija. Yang-Millsova teorija je matematički jezik kojim je postalo moguće opisati 3 od 4 glavne sile prirode. Ne odnosi se na gravitaciju. Stoga se ne može smatrati da su Yang i Mills uspjeli stvoriti teoriju polja.
Osim toga, nelinearnost predloženih jednačina čini ih izuzetno teškim za rješavanje. Za male konstante sprezanja, one se mogu približno riješiti u obliku serije teorije perturbacije. Međutim, još nije jasno kako se ove jednačine mogu riješiti jakim spregom.
Navier-Stokesove jednadžbe
Ovi izrazi opisuju procese kao što su strujanja vazduha, protok fluida i turbulencija. Za neke posebne slučajeve već su pronađena analitička rješenja Navier-Stokesove jednadžbe, ali to do sada nikome nije uspjelo za opći. Istovremeno, numeričke simulacije za određene vrijednosti brzine, gustine, pritiska, vremena i tako dalje mogu postići odlične rezultate. Ostaje za nadati se da će neko moći primijeniti Navier-Stokesove jednadžbe obrnutosmjer, tj. izračunati parametre koristeći ih, ili dokazati da ne postoji metoda rješenja.
Birch-Swinnerton-Dyer problem
Kategorija "Nerešeni problemi" takođe uključuje hipotezu koju su predložili britanski naučnici sa Univerziteta Kembridž. Još prije 2300 godina, starogrčki naučnik Euklid dao je potpuni opis rješenja jednačine x2 + y2=z2.
Ako za svaki prost broj izbrojimo broj tačaka na krivoj po modulu, dobićemo beskonačan skup cijelih brojeva. Ako je posebno “zalijepite” u 1 funkciju kompleksne varijable, tada ćete dobiti Hasse-Weil zeta funkciju za krivulju trećeg reda, označenu slovom L. Sadrži informacije o ponašanju po modulu svih prostih brojeva odjednom.
Brian Birch i Peter Swinnerton-Dyer su pretpostavili o eliptičnim krivuljama. Prema njemu, struktura i broj skupa njegovih racionalnih rješenja vezani su za ponašanje L-funkcije na identičnosti. Trenutno nedokazana Birch-Swinnerton-Dyerova pretpostavka zavisi od opisa algebarskih jednačina 3. stepena i jedini je relativno jednostavan opći način za izračunavanje ranga eliptičkih krivulja.
Da bismo razumjeli praktičnu važnost ovog zadatka, dovoljno je reći da se u modernoj kriptografiji čitava klasa asimetričnih sistema zasniva na eliptičnim krivuljama, a domaći standardi digitalnog potpisa zasnovani su na njihovoj primjeni..
Jednakost klasa p i np
Ako su ostali milenijumski izazovi čisto matematički, onda je ovajodnos prema stvarnoj teoriji algoritama. Problem koji se tiče jednakosti klasa p i np, poznat i kao Cooke-Levinov problem, može se formulisati razumljivim jezikom na sljedeći način. Pretpostavimo da se pozitivan odgovor na određeno pitanje može provjeriti dovoljno brzo, tj. u polinomskom vremenu (PT). Da li je onda tačna izjava da se odgovor na nju može naći prilično brzo? Još jednostavnije ovaj problem zvuči ovako: zar zaista nije teže provjeriti rješenje problema nego ga pronaći? Ako se ikada dokaže jednakost klasa p i np, onda se svi problemi selekcije mogu riješiti za PV. Trenutno mnogi stručnjaci sumnjaju u istinitost ove izjave, iako ne mogu dokazati suprotno.
Riemann hipoteza
Sve do 1859. godine nije pronađen nijedan obrazac koji bi opisao kako su prosti brojevi raspoređeni među prirodnim brojevima. Možda je to bilo zbog činjenice da se nauka bavila drugim pitanjima. Međutim, sredinom 19. vijeka situacija se promijenila i postali su jedan od najrelevantnijih kojima se matematika počela baviti.
Rimannova hipoteza, koja se pojavila tokom ovog perioda, je pretpostavka da postoji određeni obrazac u distribuciji prostih brojeva.
Danas mnogi moderni naučnici vjeruju da će, ako se to dokaže, onda biti potrebno revidirati mnoge fundamentalne principe moderne kriptografije, koji čine osnovu značajnog dijela mehanizama elektronske trgovine.
Prema Riemannovoj hipotezi, likdistribucija prostih brojeva može biti značajno drugačija od onoga što se trenutno pretpostavlja. Činjenica je da do sada nije otkriven sistem u raspodjeli prostih brojeva. Na primjer, postoji problem "blizanaca", razlika između kojih je 2. Ovi brojevi su 11 i 13, 29. Ostali prosti brojevi formiraju klastere. To su 101, 103, 107 itd. Naučnici su dugo sumnjali da takvi skupovi postoje među vrlo velikim prostim brojevima. Ako se nađu, onda će snaga modernih kripto ključeva biti upitna.
Hipoteza Hodgeovog ciklusa
Ovaj još uvijek neriješen problem formuliran je 1941. godine. Hodgeova hipoteza sugerira mogućnost aproksimacije oblika bilo kojeg objekta "lijepljenjem" jednostavnih tijela viših dimenzija. Ova metoda je poznata i uspješno korištena već duže vrijeme. Međutim, nije poznato u kojoj mjeri se može pojednostaviti.
Sada znate koji nerešivi problemi postoje u ovom trenutku. Predmet su istraživanja hiljada naučnika širom svijeta. Ostaje za nadati se da će oni biti riješeni u bliskoj budućnosti, a njihova praktična primjena pomoći će čovječanstvu da uđe u novi krug tehnološkog razvoja.
