Ako je linearno kretanje tijela opisano u klasičnoj mehanici korištenjem Newtonovih zakona, tada se karakteristike kretanja mehaničkih sistema duž kružnih putanja izračunavaju pomoću posebnog izraza, koji se zove jednadžba momenata. O kojim trenucima govorimo i šta je značenje ove jednačine? Ova i druga pitanja su otkrivena u članku.
Moment sile
Svi su svjesni Njutnove sile, koja, djelujući na tijelo, dovodi do davanja ubrzanja. Kada se takva sila primjenjuje na objekt koji je fiksiran na određenoj osi rotacije, tada se ova karakteristika obično naziva momentom sile. Jednačina momenta sile se može napisati na sljedeći način:
M¯=L¯F¯
Slika koja objašnjava ovaj izraz je prikazana ispod.
Ovde možete videti da je sila F¯ usmerena na vektor L¯ pod uglom Φ. Pretpostavlja se da je sam vektor L¯ usmjeren od ose rotacije (označene strelicom) do tačke primjeneF¯.
Gorenja formula je proizvod dva vektora, tako da je M¯ takođe usmeren. Gdje će se okrenuti moment sile M¯? Ovo se može odrediti pravilom desne ruke (četiri prsta su usmjerena duž putanje od kraja vektora L¯ do kraja F¯, a lijevi palac pokazuje smjer M¯).
Na gornjoj slici, izraz za moment sile u skalarnom obliku će imati oblik:
M=LFsin(Φ)
Ako pažljivo pogledate sliku, možete vidjeti da je Lsin(Φ)=d, tada imamo formulu:
M=dF
Vrijednost d je važna karakteristika u izračunavanju momenta sile, jer odražava efektivnost primijenjenog F na sistem. Ova vrijednost se zove poluga sile.
Fizičko značenje M leži u sposobnosti sile da rotira sistem. Ovu sposobnost svako može osjetiti ako otvori vrata za kvaku, gurnuvši ih blizu šarki, ili ako pokuša da odvrne maticu kratkim i dugim ključem.
Ravnoteža sistema
Koncept momenta sile je vrlo koristan kada se razmatra ravnoteža sistema na koji djeluju višestruke sile i koji ima os ili tačku rotacije. U takvim slučajevima, primijenite formulu:
∑iMi¯=0
To jest, sistem će biti u ravnoteži ako je zbir svih momenata sila primijenjenih na njega nula. Imajte na umu da u ovoj formuli postoji vektorski predznak nad trenutkom, odnosno pri rješavanju ne treba zaboraviti uzeti u obzir predznak ovogkoličine. Općenito prihvaćeno pravilo je da djelujuća sila koja rotira sistem u smjeru suprotnom od kazaljke na satu stvara pozitivno Mi¯.
Upečatljiv primjer problema ovog tipa su problemi sa ravnotežom Arhimedovih poluga.
Moment zamaha
Ovo je još jedna važna karakteristika kružnog kretanja. U fizici se opisuje kao proizvod zamaha i poluge. Jednačina momenta izgleda ovako:
T¯=r¯p¯
Ovdje p¯ je vektor momenta, r¯ je vektor koji povezuje rotirajuće materijalne tačke sa osom.
Slika ispod ilustruje ovaj izraz.
Ovdje ω je ugaona brzina, koja će se pojaviti dalje u jednadžbi trenutka. Imajte na umu da se smjer vektora T¯ nalazi po istom pravilu kao i M¯. Na gornjoj slici, T¯ u pravcu će se poklopiti sa vektorom ugaone brzine ω¯.
Fizičko značenje T¯ je isto kao i karakteristike p¯ u slučaju linearnog kretanja, tj. ugaoni moment opisuje količinu rotacionog kretanja (pohranjenu kinetičku energiju).
Moment inercije
Treća važna karakteristika, bez koje je nemoguće formulisati jednačinu kretanja rotirajućeg objekta, jeste moment inercije. Pojavljuje se u fizici kao rezultat matematičkih transformacija formule za ugaoni moment materijalne tačke. Hajde da vam pokažemo kako se to radi.
Zamislimo vrijednostT¯ kako slijedi:
T¯=r¯mv¯, gdje je p¯=mv¯
Koristeći odnos između ugaone i linearne brzine, možemo prepisati ovaj izraz na sljedeći način:
T¯=r¯mr¯ω¯, gdje je v¯=r¯ω¯
Napišite posljednji izraz na sljedeći način:
T¯=r2mω¯
Vrijednost r2m je moment inercije I za tačku mase m koja vrši kružno kretanje oko ose na udaljenosti r od nje. Ovaj poseban slučaj nam omogućava da uvedemo opću jednačinu momenta inercije za tijelo proizvoljnog oblika:
I=∫m (r2dm)
I je aditivna veličina, čije značenje leži u inerciji rotacionog sistema. Što je I veće, teže je okretati tijelo i potreban je znatan napor da se zaustavi.
Momentna jednadžba
Razmatrali smo tri količine, čiji naziv počinje riječju "trenutak". To je učinjeno namjerno, budući da su svi povezani u jedan izraz, koji se zove jednačina od 3 momenta. Hajde da ga izvadimo.
Razmotrite izraz za ugaoni moment T¯:
T¯=Iω¯
Pronađi kako se vrijednost T¯ mijenja u vremenu, imamo:
dT¯/dt=Idω¯/dt
S obzirom da je derivacija ugaone brzine jednaka onoj linearne brzine podeljene sa r, i proširivanjem vrednosti I, dolazimo do izraza:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, gdje je a¯=dv¯/dt linearno ubrzanje.
Primjetite da proizvod mase i ubrzanja nije ništa drugo do djelujuća vanjska sila F¯. Kao rezultat, dobijamo:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Došli smo do zanimljivog zaključka: promjena ugaonog momenta jednaka je momentu djelujuće vanjske sile. Ovaj izraz se obično piše u malo drugačijem obliku:
M¯=Iα¯, gdje je α¯=dω¯/dt - kutno ubrzanje.
Ova jednakost se zove jednadžba momenata. Omogućava vam da izračunate bilo koju karakteristiku rotirajućeg tijela, znajući parametre sistema i veličinu vanjskog utjecaja na njega.
Zakon o očuvanju T¯
Zaključak dobijen u prethodnom paragrafu pokazuje da ako je vanjski moment sila jednak nuli, tada se ugaoni moment neće promijeniti. U ovom slučaju pišemo izraz:
T¯=konst. ili I1ω1¯=I2ω2 ¯
Ova formula se zove zakon održanja T¯. To jest, bilo kakve promjene unutar sistema ne mijenjaju ukupni ugaoni moment.
Ovu činjenicu koriste umjetničke klizačice i balerine tokom svojih nastupa. Koristi se i ako je potrebno rotirati umjetni satelit koji se kreće u prostoru oko svoje ose.
