Pitagorina teorema: kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kateta na kvadrat

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Svaki učenik zna da je kvadrat hipotenuze uvijek jednak zbiru kateta od kojih je svaki na kvadrat. Ova izjava se zove Pitagorina teorema. To je jedna od najpoznatijih teorema u trigonometriji i matematici općenito. Razmotrite to detaljnije.

Koncept pravokutnog trougla

Pre nego što nastavimo sa razmatranjem Pitagorine teoreme, u kojoj je kvadrat hipotenuze jednak zbiru kateta koji su na kvadrat, treba da razmotrimo koncept i svojstva pravouglog trougla, za koji je teorema vrijedi.

Trougao je ravna figura sa tri ugla i tri strane. Pravougli trougao, kao što mu ime govori, ima jedan pravi ugao, odnosno ovaj ugao je 90o.

Iz opštih svojstava za sve trouglove, poznato je da je zbir sva tri ugla ove figure 180^o, što znači da je za pravougli trokut zbir dva ugla koji nisu pravi, je 180^o -90^o=90^o. Posljednja činjenica znači da će svaki ugao u pravokutnom trokutu koji nije pravi ugao uvijek biti manji od 90^o.

Strana koja leži nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza. Druge dvije strane su kraci trougla, mogu biti jednake jedna drugoj, a mogu se i razlikovati. Iz trigonometrije je poznato da što je veći ugao naspram kojeg stranica leži u trokutu, to je dužina ove stranice veća. To znači da će u pravokutnom trokutu hipotenuza (leži nasuprot kuta 90^o) uvijek biti veća od bilo koje katete (ležati nasuprot uglova < 90^o).

Matematička notacija Pitagorine teoreme

Ova teorema kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbiru kateta, od kojih je svaki prethodno kvadriran. Da biste matematički zapisali ovu formulaciju, razmotrite pravokutni trokut u kojem su stranice a, b i c dva kraka, odnosno hipotenuza. U ovom slučaju, teorema, koja se navodi kao kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta, može se predstaviti sljedećom formulom: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Odavde se mogu dobiti druge formule važne za praksu: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) i c=√(a}2 ^{+ b}2^).).

Zapazite da je u slučaju pravokutnog jednakostraničnog trougla, to jest, a=b, formulacija: kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kateta, od kojih je svakina kvadrat, matematički zapisano kao: c²=a² + b²=2a ^{2, što implicira jednakost: c=a√2.}

Historijska pozadina

Pitagorina teorema, koja kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbiru kateta, od kojih je svaki kvadrat, bila je poznata mnogo prije nego što je slavni grčki filozof obratio pažnju na nju. Mnogi papirusi starog Egipta, kao i glinene ploče Babilonaca, potvrđuju da su ovi narodi koristili zapaženo svojstvo stranica pravokutnog trokuta. Na primjer, jedna od prvih egipatskih piramida, Khafreova piramida, čija konstrukcija datira iz 26. vijeka prije nove ere (2000 godina prije Pitagorinog života), izgrađena je na osnovu poznavanja odnosa stranica u pravokutnom trouglu 3x4x5.

Zašto je onda teorema sada nazvana po Grku? Odgovor je jednostavan: Pitagora je prvi koji je matematički dokazao ovu teoremu. Preživjeli babilonski i egipatski spisi samo spominju njegovu upotrebu, ali ne pružaju nikakav matematički dokaz.

Vjeruje se da je Pitagora dokazao teoremu koja se razmatra korištenjem svojstava sličnih trouglova, koje je dobio povlačenjem visine u pravokutnom trokutu iz ugla 90o do hipotenuza.

Primjer korištenja Pitagorine teoreme

Razmotrimo jednostavan problem: potrebno je odrediti dužinu kosog stepeništa L, ako se zna da ono ima visinu H=3metara, a udaljenost od zida na koji se ljestve oslanjaju do podnožja je P=2,5 metara.

U ovom slučaju, H i P su katete, a L hipotenuza. Pošto je dužina hipotenuze jednaka zbiru kvadrata kateta, dobijamo: L²=H² + P 2^{, odakle je L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 metara ili 3 metra i 90.5 cm.}