Izvod sinusa ugla jednak je kosinusu istog ugla

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Data je najjednostavnija trigonometrijska funkcija y=Sin(x), diferencibilna je u svakoj od svojih tačaka iz cijelog domena definicije. Potrebno je dokazati da je derivacija sinusa bilo kojeg argumenta jednaka kosinsu istog ugla, odnosno y'=Cos(x).

Dokaz se zasniva na definiciji derivacije funkcije

Postavite x (proizvoljno) u nekoj maloj okolini Δx određene tačke x₀. Pokažimo vrijednost funkcije na njoj i u tački x da bismo pronašli prirast date funkcije. Ako je Δh prirast argumenta, tada je novi argument x₀+Δx=x, vrijednost ove funkcije za datu vrijednost argumenta y(x) je Sin(h ₀ +Δx), vrijednost funkcije u određenoj tački y(x_{0) je također poznata.}

Sada imamo Δu=Sin(h₀+Δh)-Sin(h_{0) je rezultujući prirast funkcije.}

Prema formuli sinusa zbira dva nejednaka ugla, transformisaćemo razliku Δu.

Δy=Sin(x₀) Cos(Δx)+Cos(x₀) Sin(Δx) minus Sin (x 0_{)=(Cos(Δx)-1) Sin(x}0_)+Cos(x0 _{) Sin(Δh).}

Izvršena permutacijatermini, grupirani prvi sa trećim Sin(x₀), stavite zajednički faktor - sinus - izvan zagrada. Dobili smo razliku Cos(Δh)-1 u izrazu. Ostaje promijeniti znak ispred zagrade iu zagradama. Znajući koliko je jednako 1-Cos(Δh), napravićemo zamjenu i dobiti pojednostavljeni izraz Δu, koji ćemo zatim podijeliti sa Δh.

Δu/Δh će izgledati: Cos(h 0 _{) Sin(Δh)/Δh-2 Sin}2^{(0, 5 Δh) Sin(h}0_{) /Δh. Ovo je omjer prirasta funkcije i dozvoljenog prirasta argumenta.}

Ostaje pronaći granicu omjera lim koji smo mi dobili na Δh koja teži nuli.

Poznato je da je granica Sin(Δh)/Δx jednaka 1, pod ovim uslovom. A izraz 2 Sin²(0, 5 Δh)/Δh u rezultujućem količniku bit će sumiran transformacijama u proizvod koji sadrži prvu izuzetnu granicu kao množitelj: dijelimo brojilac i nazivnik razlomka za 2, kvadrat zamjenjujemo sinus sa proizvodom. Ovako:

(Sin(0, 5 Δx)/(0, 5 Δx)) Sin(Δx/2).

Granica ovog izraza kako Δx teži nuli biće jednaka nuli (1 puta 0). Ispostavilo se da je granica omjera Δy/Δh jednaka Cos(h₀) 1-0, ovo je Cos(h_{0), izraz, koji ne zavisi od Δx koji teži 0. Iz ovoga slijedi zaključak: derivacija sinusa bilo kojeg ugla x jednaka je kosinsu x, pišemo je ovako: y'=Cos(x).}

Rezultirajuća formula je navedena u dobro poznatoj tabeli derivata, gdje su sakupljene sve elementarne funkcije

Prilikom rješavanja zadataka gdje se javlja derivacija sinusa, možete koristiti pravila diferencijacije i gotove formule iz tabele. Na primjer: pronađite izvod najjednostavnije funkcije y=3·Sin(x)-15. Koristimo se elementarnim pravilima diferencijacije, uzimajući brojčani faktor iz predznaka derivacije i izračunajmo izvod konstantnog broja (jednaka je nuli). Primjenjujemo tabelarnu vrijednost derivacije sinusa ugla x, jednakog Cos (x). Dobijamo odgovor: y'=3·Cos(x)-O. Ovaj izvod je, zauzvrat, takođe elementarna funkcija y=3 Cos(x).

Izvod sinusa na kvadrat bilo kojeg argumenta

Prilikom izračunavanja ovog izraza (Sin²(x))', morate zapamtiti kako se kompleksna funkcija razlikuje. Dakle, y=Sin²(x) je funkcija stepena, pošto je sinus na kvadrat. Njegov argument je također trigonometrijska funkcija, ^{kompleksni argument. Rezultat je u ovom slučaju jednak proizvodu, čiji je prvi faktor derivacija kvadrata datog kompleksnog argumenta, a drugi derivacija sinusa. Ovako izgleda pravilo za razlikovanje funkcije od funkcije: (u(v(x)))' jednako (u(v(x)))'·(v(x))'. Izraz v(x) je složen argument (unutrašnja funkcija). Ako je data funkcija "y je jednaka sinusnom kvadratu x", onda će derivacija ove kompleksne funkcije biti y'=2·Sin(x)·Cos(x). U proizvodu, prvi udvojeni faktor je izvod poznate funkcije stepena, a Cos(x) je derivacija sinusa, argumenta kompleksne kvadratne funkcije. Konačni rezultat se može pretvoriti,koristeći trigonometrijsku formulu za sinus dvostrukog ugla. Odgovor: derivacija je Sin(2 x). Ova formula se lako pamti i često se koristi kao tabelarna formula.}