Formula za određivanje zapremine konusa. Primjer rješenja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

Svaki učenik na studiju stereometrije u srednjoj školi naišao je na konus. Dvije važne karakteristike ove prostorne figure su površina i zapremina. U ovom članku ćemo pokazati kako pronaći volumen okruglog konusa.

Okrugli konus kao figura rotacije pravokutnog trokuta

Prije direktnog prelaska na temu članka, potrebno je opisati konus sa geometrijske tačke gledišta.

Neka postoji neki pravougli trougao. Ako ga rotirate oko bilo koje noge, onda će rezultat ove akcije biti željena figura, prikazana na slici ispod.

Ovdje je krak AB dio ose konusa, a njegova dužina odgovara visini figure. Drugi krak (segment CA) će biti radijus konusa. Tokom rotacije, opisat će krug koji ograničava bazu figure. Hipotenuza BC se naziva generatrisa figure ili njena generatrisa. Tačka B je jedini vrh konusa.

S obzirom na svojstva trougla ABC, možemo napisati odnos između generatrike g, poluprečnika r i visine h na sljedeći načinjednakost:

g²=h²+ r²

Ova formula je korisna u rješavanju mnogih geometrijskih problema sa dotičnom figurom.

Formula zapremine konusa

Zapremina bilo koje prostorne figure je površina prostora koja je ograničena površinama ove figure. Postoje dvije takve površine za konus:

1. Bočni ili konusni. Formiran je od svih generatrisa.
2. Fondacija. U ovom slučaju, to je krug.

Nabavite formulu za određivanje zapremine konusa. Da bismo to učinili, mentalno ga izrežemo na mnogo slojeva paralelnih s bazom. Svaki od slojeva ima debljinu dx, koja teži nuli. Površina S_x sloja na udaljenosti x od vrha slike jednaka je sljedećem izrazu:

S_x=pir²x²/h ²

Valjanost ovog izraza može se intuitivno provjeriti zamjenom vrijednosti x=0 i x=h. U prvom slučaju dobićemo površinu jednaku nuli, u drugom slučaju ona će biti jednaka površini okrugle baze.

Da biste odredili zapreminu konusa, potrebno je da saberete male "zapremine" svakog sloja, odnosno koristite integralni račun:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Izračunavajući ovaj integral, dolazimo do konačne formule za okrugli konus:

V=1/3pir²h

Zanimljivo je napomenuti da je ova formula potpuno slična onoj koja se koristi za izračunavanje zapremine proizvoljne piramide. Ova koincidencija nije slučajna, jer svaka piramida postaje konus kada se broj njenih ivica poveća na beskonačnost.

Problem izračunavanja zapremine

Korisno je dati primjer rješavanja problema, koji će pokazati upotrebu izvedene formule za volumen V.

Dat je okrugli konus čija je površina osnove 37 cm², a generator figure je tri puta veći od poluprečnika. Koliki je volumen konusa?

Imamo pravo da koristimo formulu zapremine ako poznajemo dve veličine: visinu h i poluprečnik r. Nađimo formule koje ih određuju u skladu sa uslovom problema.

Radijus r se može izračunati znajući površinu kružnice S_o, imamo:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Koristeći uslov zadatka, pišemo jednakost za generator g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Poznavajući formule za r i g, izračunajte visinu h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Pronašli smo sve potrebne parametre. Sada je vrijeme da ih uključite u formulu za V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Ostalo je za zamjenuosnovna površina S_o i izračunajte vrijednost zapremine: V=119,75 cm³.