Sistemi brojeva - šta je to? Čak i ne znajući odgovor na ovo pitanje, svako od nas nehotice koristi brojevne sisteme u svom životu i ne sumnja u to. Tako je, množina! Odnosno, ne jedan, već nekoliko. Prije nego što damo primjere nepozicionih brojevnih sistema, hajde da razumijemo ovo pitanje, hajde da pričamo i o pozicionim sistemima.
Potrebna faktura
Ljudi su od davnina imali potrebu za brojanjem, odnosno intuitivno su shvatili da treba na neki način izraziti kvantitativnu viziju stvari i događaja. Mozak je sugerirao da je potrebno koristiti predmete za brojanje. Prsti su uvijek bili najzgodniji, i to je razumljivo, jer su uvijek dostupni (sa rijetkim izuzecima).
Tako da su drevni predstavnici ljudske rase morali savijati prste u doslovnom smislu - da naznače broj ubijenih mamuta, na primjer. Takvi elementi računa još nisu imali nazive, već samo vizuelnu sliku, poređenje.
Moderni pozicioni sistemi brojeva
Brojni sistem je metoda (način) predstavljanja kvantitativnih vrijednosti i količina pomoću određenih znakova (simbola ili slova).
Neophodno je razumjeti šta je poziciono, a šta nepoziciono u brojanju prije nego što damo primjere nepozicionih brojevnih sistema. Postoji mnogo pozicionih brojevnih sistema. Sada se u raznim oblastima znanja koriste sljedeće: binarni (sadrži samo dva značajna elementa: 0 i 1), heksadecimalni (broj znakova - 6), oktalni (znakova - 8), duodecimalni (dvanaest znakova), heksadecimalni (uključuje šesnaest znakova). znakova). Štaviše, svaki red znakova u sistemima počinje od nule. Savremene kompjuterske tehnologije zasnovane su na upotrebi binarnih kodova - binarnog pozicionog brojevnog sistema.
Decimalni brojevni sistem
Pozicionalnost je prisustvo značajnih pozicija u različitom stepenu, na kojima se nalaze znaci broja. To se najbolje može pokazati na primjeru decimalnog brojevnog sistema. Uostalom, navikli smo da ga koristimo od djetinjstva. U ovom sistemu postoji deset znakova: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Uzmite broj 327. Ima tri znaka: 3, 2, 7. Svaki od njih se nalazi u svoju poziciju (mesto). Sedmica zauzima poziciju rezerviranu za pojedinačne vrijednosti (jedinice), dvije - desetice, a tri - stotine. Pošto je broj trocifreni, u njemu postoje samo tri pozicije.
Na osnovu gore navedenog, ovotrocifreni decimalni broj može se opisati na sljedeći način: tri stotine, dvije desetice i sedam jedinica. Štaviše, značaj (važnost) pozicija se broji s lijeva na desno, od slabe pozicije (jedne) do jače (stotine).
Osjećamo se vrlo ugodno u decimalnom pozicionom brojevnom sistemu. Imamo deset prstiju na rukama, isto toliko i na nogama. Pet plus pet - pa, zahvaljujući prstima, lako zamišljamo desetak iz djetinjstva. Zato je djeci lako naučiti tablice množenja za pet i deset. A takođe je tako lako naučiti kako se broji novčanice, koje su najčešće višestruke (tj. podijeljene bez ostatka) sa pet i deset.
Drugi pozicioni sistemi brojeva
Na iznenađenje mnogih, treba reći da je naš mozak ne samo u sistemu decimalnog brojanja naviknut na neke proračune. Do sada, čovječanstvo je koristilo šest i duodecimalni sistem brojeva. To jest, u takvom sistemu postoji samo šest znakova (u heksadecimali): 0, 1, 2, 3, 4, 5. U duodecimalnom ih ima dvanaest: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, gdje A - označava broj 10, B - broj 11 (pošto znak mora biti jedan).
Prosudite sami. Brojimo vrijeme u šesticama, zar ne? Jedan sat je šezdeset minuta (šest desetica), jedan dan je dvadeset četiri sata (dva puta dvanaest), godina je dvanaest meseci, itd… Svi vremenski intervali lako se uklapaju u šesto- i duodecimalne serije. Ali toliko smo navikli na to da ni ne razmišljamo o tome kada brojimo vrijeme.
Nepozicioni brojevni sistemi. Unary
Potrebno je definisati šta je to - nepozicioni brojevni sistem. Ovo je takav znakovni sistem u kojem nema pozicija za predznake broja, ili princip "čitanja" broja ne zavisi od pozicije. Takođe ima svoja pravila za pisanje ili računanje.
Dajmo primjere nepozicionih brojevnih sistema. Vratimo se u antiku. Ljudima je bio potreban račun i smislili su najjednostavniji izum - čvorove. Nepozicioni brojevni sistem je nodularan. Jedan predmet (vreća pirinča, bik, plast sijena, itd.) se računao, na primjer, prilikom kupovine ili prodaje, i vezao čvor na konopcu.
Kao rezultat, onoliko čvorova je napravljeno na užetu koliko je kupljeno vreća pirinča (kao primjer). Ali to mogu biti i zarezi na drvenom štapu, na kamenoj ploči, itd. Takav sistem brojeva postao je poznat kao nodularni. Ona ima drugo ime - jednostruko ili singl ("uno" na latinskom znači "jedan").
Postaje očigledno da ovaj brojevni sistem nije pozicionalan. Uostalom, o kakvim pozicijama možemo govoriti kada je (pozicija) samo jedna! Čudno je da je u nekim dijelovima Zemlje unarni nepozicioni sistem brojeva još uvijek u upotrebi.
Takođe, nepozicioni sistemi brojeva uključuju:
- rimski (slova se koriste za pisanje brojeva - latinični znakovi);
- drevni egipatski (slično rimskom, simboli su također korišteni);
- abecedno (korišćena su slova abecede);
- babilonski (klinopis - koristi se direktno iobrnuti "klin");
- grčki (također se naziva abecednim).
rimski numerički sistem
Drevno Rimsko Carstvo, kao i njegova nauka, bila je veoma progresivna. Rimljani su svijetu dali mnoge korisne izume nauke i umjetnosti, uključujući njihov sistem brojanja. Prije dvije stotine godina korišteni su rimski brojevi za označavanje iznosa u poslovnim dokumentima (na taj način je izbjegnuto krivotvorenje).
Rimska numeracija je primjer nepozicionog brojevnog sistema, sada ga znamo. Također, rimski sistem se aktivno koristi, ali ne za matematičke proračune, već za usko fokusirane radnje. Na primjer, uz pomoć rimskih brojeva uobičajeno je označavati istorijske datume, stoljeća, brojeve tomova, odjeljaka i poglavlja u publikacijama knjiga. Rimski znakovi se često koriste za ukrašavanje brojčanika satova. I također rimska numeracija je primjer nepozicionog brojevnog sistema.
Rimljani su označavali brojeve latiničnim slovima. Štaviše, zapisivali su brojeve prema određenim pravilima. Postoji lista ključnih simbola u rimskom numeričkom sistemu, uz pomoć kojih su svi brojevi ispisani bez izuzetka.
| Broj (decimalni) | Rimski broj (slovo latinice) |
| 1 | ja |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Pravila za sastavljanje brojeva
Traženi broj dobijen je dodavanjem znakova (latinica) i izračunavanjem njihove sume. Razmotrimo kako su znakovi simbolički napisani u rimskom sistemu i kako ih treba "čitati". Hajde da navedemo glavne zakone formiranja brojeva u rimskom nepozicionom brojevnom sistemu.
- Broj četiri - IV, sastoji se od dva znaka (I, V - jedan i pet). Dobiva se oduzimanjem manjeg predznaka od većeg ako je lijevo. Kada se manji znak nalazi na desnoj strani, potrebno je dodati, tada dobijate broj šest - VI.
- Potrebno je dodati dva identična znaka jedan pored drugog. Na primjer: SS je 200 (C je 100), ili XX je 20.
- Ako je prvi znak broja manji od drugog, onda treći znak u ovom redu može biti znak čija je vrijednost čak i manja od prvog. Da biste izbjegli zabunu, evo primjera: CDX - 410 (u decimalnom obliku).
- Neki veliki brojevi mogu biti predstavljeni na različite načine, što je jedan od nedostataka rimskog sistema brojanja. Evo nekoliko primjera: MVM (rimski)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimalno) ili MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. I to nije sve.
Aritmetički trikovi
Nepozicioni sistem brojeva je ponekad složen skup pravila za formiranje brojeva, njihovu obradu (radnje na njih). Aritmetičke operacije u nepozicionim brojevnim sistemima nisu lakeza moderne ljude. Ne zavidimo starorimskim matematičarima!
Primjer sabiranja. Pokušajmo sabrati dva broja: XIX + XXVI=XXXV, ovaj zadatak se izvodi u dva koraka:
- Prvo - uzmite i dodajte manje razlomke brojeva: IX + VI=XV (I nakon V i I prije X "uništavaju" jedno drugo).
- Drugi - dodajte velike razlomke dva broja: X + XX=XXX.
Oduzimanje je nešto komplikovanije. Broj koji se smanjuje mora se podijeliti na njegove sastavne elemente, a zatim se udvostručeni znakovi umanjiti u broju koji se smanjuje i oduzima. Oduzmi 263 od 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Množenje rimskih brojeva. Inače, potrebno je napomenuti da Rimljani nisu imali znakove aritmetičkih operacija, već su ih jednostavno označavali riječima.
Višestruki broj je morao biti pomnožen sa svakim pojedinačnim simbolom množitelja, što je rezultiralo nekoliko proizvoda koje je trebalo dodati. Ovako se množe polinomi.
Što se tiče podjele, ovaj proces u rimskom numeričkom sistemu bio je i ostao najteži. Ovdje je korišten starorimski abakus. Za rad s njim, ljudi su bili posebno obučeni (i nije svaka osoba uspjela savladati takvu nauku).
O nedostacima nepozicionih sistema
Kao što je gore pomenuto, nepozicioni sistemi brojeva imaju svoje nedostatke, neprijatnosti u upotrebi. Unary je dovoljno jednostavan za jednostavno brojanje, ali za aritmetiku i složena izračunavanja nijedovoljno dobro.
U rimskom ne postoje jednoobrazna pravila za formiranje velikih brojeva i nastaje zabuna, a takođe je veoma teško izvršiti proračune u njemu. Takođe, najveći broj koji su stari Rimljani mogli zapisati svojom metodom bio je 100.000.
