Šta su iracionalni brojevi? Zašto se tako zovu? Gdje se koriste i šta su? Malo ko može bez oklijevanja odgovoriti na ova pitanja. Ali u stvari, odgovori na njih su prilično jednostavni, iako nisu potrebni svima iu vrlo rijetkim situacijama
Suština i oznaka
Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični decimalni razlomci. Potreba za uvođenjem ovog koncepta proizilazi iz činjenice da ranije postojeći koncepti realnih ili realnih, cijelih, prirodnih i racionalnih brojeva više nisu bili dovoljni za rješavanje novih problema koji se pojavljuju. Na primjer, da biste izračunali koliko je kvadrat od 2, trebate koristiti beskonačne decimale koje se ne ponavljaju. Osim toga, mnoge od najjednostavnijih jednačina također nemaju rješenja bez uvođenja koncepta iracionalnog broja.
Ovaj skup je označen kao I. I, kao što je već jasno, ove vrijednosti se ne mogu predstaviti kao prosti razlomak, u čijem će brojiocu biti cijeli broj, a u nazivniku - prirodan broj.
Prvi put ikadainače, indijski matematičari su se susreli sa ovim fenomenom u 7. veku pre nove ere, kada je otkriveno da se kvadratni koreni nekih veličina ne mogu eksplicitno naznačiti. A prvi dokaz postojanja takvih brojeva pripisuje se pitagorejskom Hipasu, koji je to učinio u procesu proučavanja jednakokračnog pravokutnog trokuta. Ozbiljan doprinos proučavanju ovog skupa dali su i neki drugi naučnici koji su živjeli prije naše ere. Uvođenje koncepta iracionalnih brojeva dovelo je do revizije postojećeg matematičkog sistema, zbog čega su oni toliko važni.
Porijeklo imena
Ako ratio na latinskom znači "razlomak", "razmjer", onda prefiks "ir"
daje ovoj riječi suprotno značenje. Dakle, naziv skupa ovih brojeva ukazuje na to da se oni ne mogu povezati s cijelim ili razlomkom, oni imaju posebno mjesto. To proizilazi iz njihove suštine.
Mesto u ukupnoj klasifikaciji
Iracionalni brojevi, zajedno sa racionalnim brojevima, pripadaju grupi realnih ili realnih brojeva, koji zauzvrat pripadaju kompleksnim brojevima. Ne postoje podskupovi, međutim, postoje algebarski i transcendentalni varijeteti, o čemu će biti riječi u nastavku.
Properties
Pošto su iracionalni brojevi dio skupa realnih brojeva, sva njihova svojstva koja se proučavaju u aritmetici (oni se također nazivaju osnovnim algebarskim zakonima) primjenjuju se na njih.
a + b=b + a (komutativnost);
(a + b) + c=a + (b + c)(asocijativnost);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (postojanje suprotnog broja);
ab=ba (zakon pomaka);
(ab)c=a(bc) (distributivnost);
a(b+c)=ab + ac (distributivni zakon);
a x 1=a
a x 1/a=1 (postojanje inverznog broja);
Poređenje se takođe vrši u skladu sa opštim zakonima i principima:
Ako je a > b i b > c, onda je > c (tranzitivnost omjera) i. itd.
Naravno, svi iracionalni brojevi se mogu pretvoriti koristeći osnovnu aritmetiku. Za ovo ne postoje posebna pravila.
Pored toga, Arhimedov aksiom se odnosi na iracionalne brojeve. Kaže da je za bilo koje dvije veličine a i b tačna izjava da ako uzmete a kao termin dovoljno puta, možete nadmašiti b.
Koristite
Uprkos činjenici da u običnom životu ne morate često imati posla s njima, iracionalni brojevi se ne mogu prebrojati. Ima ih puno, ali su gotovo nevidljivi. Okruženi smo iracionalnim brojevima svuda. Svima poznati primjeri su broj pi, jednak 3, 1415926 …, ili e, koji je u suštini osnova prirodnog logaritma, 2, 718281828 … U algebri, trigonometriji i geometriji, moraju se stalno koristiti. Inače, čuvena vrijednost "zlatnog presjeka", odnosno omjera većeg dijela prema manjem i obrnuto, također je
pripada ovom skupu. Manje poznato "srebro" - također.
Nalaze se vrlo gusto na brojevnoj pravoj, tako da između bilo koje dvije vrijednosti koje se odnose na skup racionalnih, sigurno će se pojaviti iracionalna.
Još ima dosta neriješenih problema vezanih za ovaj set. Postoje kriterijumi kao što su mera iracionalnosti i normalnost broja. Matematičari nastavljaju da istražuju najznačajnije primjere njihove pripadnosti jednoj ili drugoj grupi. Na primjer, vjeruje se da je e normalan broj, odnosno da je vjerovatnoća pojavljivanja različitih cifara u njegovom zapisu ista. Što se tiče pi, istraživanja su još u toku. Mjera iracionalnosti naziva se i vrijednost koja pokazuje koliko dobro se ovaj ili onaj broj može aproksimirati racionalnim brojevima.
Algebarski i transcendentalni
Kao što je već spomenuto, iracionalni brojevi se uslovno dijele na algebarske i transcendentalne. Uslovno, pošto se, strogo govoreći, ova klasifikacija koristi za podelu skupa C.
Ova oznaka skriva kompleksne brojeve, koji uključuju realne ili realne brojeve.
Dakle, algebarska vrijednost je vrijednost koja je korijen polinoma koji nije identično jednak nuli. Na primjer, kvadratni korijen od 2 bi bio u ovoj kategoriji jer je rješenje jednadžbe x2 - 2=0.
Svi ostali realni brojevi koji ne zadovoljavaju ovaj uslov nazivaju se transcendentnim. Za ovu sortuuključuju najpoznatije i već spomenute primjere - broj pi i bazu prirodnog logaritma e.
Zanimljivo je da matematičari nisu izvorno zaključili ni jedno ni drugo u ovom svojstvu, njihova iracionalnost i transcendentnost dokazani su mnogo godina nakon njihovog otkrića. Za pi, dokaz je dat 1882. i pojednostavljen 1894., čime je stavljena tačka na 2.500-godišnju kontroverzu o problemu kvadrature kruga. Još uvijek nije u potpunosti shvaćeno, pa moderni matematičari imaju na čemu raditi. Inače, prvi dovoljno tačan proračun ove vrijednosti izvršio je Arhimed. Prije njega, svi proračuni su bili previše približni.
Za e (Euler ili Napier brojevi), dokaz njegove transcendentnosti pronađen je 1873. Koristi se u rješavanju logaritamskih jednačina.
Drugi primjeri uključuju sinusne, kosinusne i tangentne vrijednosti za bilo koje algebarske vrijednosti različite od nule.
