Neki matematički problemi zahtijevaju sposobnost izračunavanja kvadratnog korijena. Ovi problemi uključuju rješavanje jednačina drugog reda. U ovom članku predstavljamo efikasnu metodu za izračunavanje kvadratnih korijena i koristimo je kada radite sa formulama za korijene kvadratne jednadžbe.
Šta je kvadratni korijen?
U matematici, ovaj koncept odgovara simbolu √. Istorijski podaci govore da je prvi put počeo da se koristi oko prve polovine 16. veka u Nemačkoj (prvo nemačko delo o algebri Kristofa Rudolfa). Naučnici veruju da je ovaj simbol transformisano latinično slovo r (radiks znači "koren" na latinskom).
Korijen bilo kojeg broja jednak je takvoj vrijednosti, čiji kvadrat odgovara korijenskom izrazu. Na jeziku matematike, ova definicija će izgledati ovako: √x=y ako je y2=x.
Korijen pozitivnog broja (x > 0) je takođerpozitivan broj (y > 0), ali ako se korijen uzme iz negativnog broja (x < 0), tada će njegov rezultat već biti kompleksan broj, uključujući imaginarnu jedinicu i.
Evo dva jednostavna primjera:
√9=3 jer 32 =9; √(-9)=3i jer i2=-1.
Heronova iterativna formula za pronalaženje kvadratnih korijena
Gore navedeni primjeri su vrlo jednostavni, a izračunavanje korijena u njima nije teško. Poteškoće se počinju pojavljivati već pri pronalaženju korijenskih vrijednosti za bilo koju vrijednost koja se ne može predstaviti kao kvadrat prirodnog broja, na primjer √10, √11, √12, √13, a da ne spominjemo činjenicu da se u praksi potrebno je pronaći korijene za necijele brojeve: na primjer √(12, 15), √(8, 5) i tako dalje.
U svim gore navedenim slučajevima treba koristiti posebnu metodu izračunavanja kvadratnog korijena. Trenutno je poznato nekoliko takvih metoda: na primjer, proširenje u Taylorov niz, podjela po stupcu i neke druge. Od svih poznatih metoda, možda je najjednostavnija i najefikasnija upotreba Heronove iterativne formule, koja je također poznata kao babilonska metoda za određivanje kvadratnih korijena (postoje dokazi da su je stari Babilonci koristili u svojim praktičnim proračunima).
Neka je potrebno odrediti vrijednost √x. Formula za pronalaženje kvadratnog korijena je sljedeća:
an+1=1/2(a+x/a), pri čemu je limn->∞(a)=> x.
Dešifrirajte ovu matematičku notaciju. Da biste izračunali √x, trebali biste uzeti neki broj a0 (može biti proizvoljan, ali za brzi rezultat, trebate ga odabrati tako da (a0) 2 je bilo što je moguće bliže x, a zatim ga zamenite u specificiranu formulu kvadratnog korijena i dobijete novi broj a1, koji će već biti bliže željenoj vrijednosti potrebno je zamijeniti a1 u izraz i dobiti 2 Ovu proceduru treba ponavljati dok se ne postigne tražena tačnost.
Primjer primjene Heronove iterativne formule
Gore opisani algoritam za dobivanje kvadratnog korijena nekog datog broja može za mnoge zvučati prilično komplicirano i zbunjujuće, ali u stvarnosti se sve ispostavi da je mnogo jednostavnije, jer se ova formula vrlo brzo konvergira (posebno ako je sretan broj je izabran a0).
Uzmimo jednostavan primjer: trebamo izračunati √11. Biramo a0=3, pošto je 32=9, što je bliže 11 nego 42=16. Zamjenom u formulu dobijamo:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nema smisla nastavljati s proračunima, pošto smo dobili da a2 i a3 počinju da se razlikuju samo u 5. decimali mjesto. Dakle, bilo je dovoljno primijeniti samo 2 puta formulu naizračunaj √11 na 0,0001.
Trenutno se kalkulatori i kompjuteri široko koriste za izračunavanje korijena, međutim, korisno je zapamtiti označenu formulu kako biste mogli ručno izračunati njihovu tačnu vrijednost.
jednačine drugog reda
Razumijevanje šta je kvadratni korijen i sposobnost njegovog izračunavanja koristi se prilikom rješavanja kvadratnih jednačina. Ove jednačine su jednakosti sa jednom nepoznatom, čiji je opšti oblik prikazan na slici ispod.
Ovdje su c, b i a neki brojevi, a a ne smije biti jednako nuli, a vrijednosti c i b mogu biti potpuno proizvoljne, uključujući nulu.
Sve vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost prikazanu na slici nazivaju se korijenima (ovaj koncept ne treba brkati s kvadratnim korijenom √). Pošto jednačina koja se razmatra ima 2. red (x2), onda ne može biti više od dva broja za njene korijene. Pogledajmo kako pronaći ove korijene kasnije u članku.
Pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe (formule)
Ova metoda rješavanja razmatrane vrste jednakosti naziva se i univerzalna, ili metoda kroz diskriminantu. Može se primijeniti na bilo koje kvadratne jednadžbe. Formula za diskriminant i korijene kvadratne jednadžbe je sljedeća:
Pokazuje da korijeni zavise od vrijednosti svakog od tri koeficijenta jednačine. Štaviše, kalkulacijax1 razlikuje se od izračuna x2 samo znakom ispred kvadratnog korijena. Radikalni izraz, koji je jednak b2 - 4ac, nije ništa drugo do diskriminanta razmatrane jednakosti. Diskriminant u formuli za korijene kvadratne jednadžbe igra važnu ulogu jer određuje broj i vrstu rješenja. Dakle, ako je nula, onda će postojati samo jedno rješenje, ako je pozitivno, onda jednačina ima dva realna korijena, konačno, negativna diskriminanta vodi do dva kompleksna korijena x1 i x 2.
Vietina teorema ili neka svojstva korijena jednadžbi drugog reda
Krajem 16. veka, jedan od osnivača moderne algebre, Francuz Francois Viet, proučavajući jednačine drugog reda, uspeo je da dobije svojstva njenih korena. Matematički se mogu napisati ovako:
x1 + x2=-b / a i x1 x 2=c / a.
Obje jednakosti može lako dobiti bilo ko, za to je potrebno samo izvršiti odgovarajuće matematičke operacije sa korijenima dobijenim preko formule sa diskriminantom.
Kombinacija ova dva izraza se s pravom može nazvati drugom formulom korijena kvadratne jednadžbe, koja omogućava da se njena rješenja pogode bez upotrebe diskriminanta. Ovdje treba napomenuti da iako su oba izraza uvijek važeća, zgodno ih je koristiti za rješavanje jednačine samo ako se može rastaviti na faktore.
Zadatak konsolidacije stečenog znanja
Rešimo matematički problem u kojem ćemo demonstrirati sve tehnike o kojima se govori u članku. Uslovi zadatka su sljedeći: potrebno je pronaći dva broja za koja je proizvod -13, a zbir je 4.
Ovaj uslov odmah podsjeća na Vietin teorem, primjenjujući formule za zbir kvadratnih korijena i njihov proizvod, pišemo:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Pod pretpostavkom da je a=1, zatim b=-4 i c=-13. Ovi koeficijenti nam omogućavaju da napišemo jednačinu drugog reda:
x2 - 4x - 13=0.
Koristimo formulu sa diskriminantom, dobićemo sljedeće korijene:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Odnosno, zadatak se sveo na pronalaženje broja √68. Imajte na umu da je 68=417, a zatim koristeći svojstvo kvadratnog korijena, dobijamo: √68=2√17.
Sada koristimo razmatranu formulu kvadratnog korijena: a0=4, zatim:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Nema potrebe izračunavati a3 jer se pronađene vrijednosti razlikuju samo za 0,02. Dakle, √68=8,246. Zamjenjujući ga u formulu za x 1, 2, dobijamo:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 i x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Kao što vidite, zbir pronađenih brojeva je zaista 4, ali ako pronađete njihov proizvod, bit će jednak -12,999, što zadovoljava uslov problema sa tačnošću od 0,001.
