Svi smo učili aritmetičke kvadratne korijene na času algebre u školi. Dešava se da ako se znanje ne osvježi, onda se brzo zaboravlja, isto i s korijenima. Ovaj članak će biti koristan osmacima koji žele da osvježe svoja znanja iz ove oblasti, ali i ostalim školarcima, jer radimo sa korijenima iz 9., 10. i 11. razreda.
Istorija korijena i stepena
Čak iu drevnim vremenima, a posebno u starom Egiptu, ljudima su bili potrebni diplomi za obavljanje operacija nad brojevima. Kada nije postojao takav koncept, Egipćani su zapisali proizvod istog broja dvadeset puta. Ali ubrzo je izmišljeno rešenje problema – u gornjem desnom uglu iznad njega počelo je da se piše koliko puta se taj broj mora pomnožiti, a ovaj oblik snimanja je opstao do danas.
I istorija kvadratnog korena počela je pre oko 500 godina. Označavano je na različite načine, a tek je u sedamnaestom veku Rene Descartes uveo takav znak, koji koristimo do danas.
Šta je kvadratni korijen
Počnimo objašnjavajući šta je kvadratni korijen. Kvadratni korijen nekog broja c je nenegativan broj koji će, kada se kvadrira, biti jednak c. U ovom slučaju, c je veće ili jednako nuli.
Da dovedemo broj pod korijen, kvadriramo ga i stavimo znak korijena preko njega:
32=9, 3=√9
Takođe, ne možemo dobiti vrijednost kvadratnog korijena negativnog broja, pošto je svaki broj u kvadratu pozitivan, odnosno:
c2 ≧ 0, ako je √c negativan broj, onda c2 < 0 - suprotno pravilu.
Da biste brzo izračunali kvadratni korijen, morate znati tablicu kvadrata brojeva.
Properties
Razmotrimo algebarska svojstva kvadratnog korijena.
1) Da biste izvukli kvadratni korijen proizvoda, trebate uzeti korijen svakog faktora. To jest, može se napisati kao proizvod korijena faktora:
√ac=√a × √c, na primjer:
√36=√4 × √9
2) Prilikom vađenja korijena iz razlomka potrebno je izdvojiti korijen odvojeno od brojnika i nazivnika, odnosno napisati ga kao količnik njihovih korijena.
3) Vrijednost dobivena uzimanjem kvadratnog korijena broja uvijek je jednaka modulu ovog broja, pošto modul može biti samo pozitivan:
√s2=∣s∣, ∣s∣ > 0.
4) Da podignemo korijen na bilo koji stepen, dižemo na njegaradikalni izraz:
(√s)4=√s4, na primjer:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Kvadrat aritmetičkog korijena od c jednak je samom ovom broju:
(√s)2=s.
Korijeni iracionalnih brojeva
Recimo da je korijen od šesnaest lak, ali kako uzeti korijen brojeva poput 7, 10, 11?
Broj čiji je korijen beskonačan neperiodični razlomak naziva se iracionalan. Ne možemo sami izvući korijen iz njega. Možemo ga uporediti samo sa drugim brojevima. Na primjer, uzmite korijen od 5 i uporedite ga sa √4 i √9. Jasno je da je √4 < √5 < √9, zatim 2 < √5 < 3. To znači da je vrijednost korijena iz pet negdje između dva i tri, ali između njih ima puno decimalnih razlomaka i biranje svake je sumnjiv način pronalaženja korijena.
Ovu operaciju možete obaviti na kalkulatoru - ovo je najlakši i najbrži način, ali u 8. razredu nikada nećete morati da izvlačite iracionalne brojeve iz aritmetičkog kvadratnog korijena. Trebate samo zapamtiti približne vrijednosti korijena dva i korijena tri:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Primjeri
Sada ćemo, na osnovu svojstava kvadratnog korijena, riješiti nekoliko primjera:
1) √172 - 82
Zapamti formulu za razliku kvadrata:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Poznajemo svojstvo kvadratnog aritmetičkog korijena - da biste izvukli korijen iz proizvoda, morate ga izdvojiti iz svakog faktora:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Primijenite još jedno svojstvo korijena - kvadrat aritmetičkog korijena broja jednak je samom ovom broju:
2 × 3 + 6=12
Važno! Često, kada počnu raditi i rješavati primjere s aritmetičkim kvadratnim korijenima, učenici prave sljedeću grešku:
√12 + 3=√12 + √3 - ne možete to učiniti!
Ne možemo uzeti korijen svakog pojma. Ne postoji takvo pravilo, ali se brka sa uzimanjem korijena svakog faktora. Da imamo ovaj unos:
√12 × 3, onda bi bilo pošteno napisati √12 × 3=√12 × √3.
I tako možemo pisati samo:
√12 + 3=√15
