Rješavanje jednadžbi u matematici ima posebno mjesto. Ovom procesu prethodi mnogo sati učenja teorije, tokom kojih student uči kako rješavati jednačine, odrediti njihov oblik i dovesti vještinu do punog automatizma. Međutim, potraga za korijenima nema uvijek smisla, jer oni možda jednostavno ne postoje. Postoje posebne metode za pronalaženje korijena. U ovom članku ćemo analizirati glavne funkcije, njihov opseg, kao i slučajeve u kojima njihovi korijeni izostaju.
Koja jednačina nema korijen?
Jednačina nema korijen ako ne postoje takvi realni argumenti x za koje je jednačina identično istinita. Za nespecijaliste, ova formulacija, kao i većina matematičkih teorema i formula, izgleda vrlo nejasno i apstraktno, ali to je u teoriji. U praksi sve postaje krajnje jednostavno. Na primjer: jednadžba 0x=-53 nema rješenja, jer ne postoji takav broj x, čiji bi proizvod sa nulom dao nešto drugo osim nule.
Sada ćemo pogledati najosnovnije tipove jednadžbi.
1. Linearna jednačina
Jednačina se naziva linearnom ako su njeni desni i lijevi dijelovi predstavljeni kao linearne funkcije: ax + b=cx + d ili u generaliziranom obliku kx + b=0. Gdje su a, b, c, d poznati brojevi, a x je nepoznata veličina. Koja jednačina nema korijen? Primjeri linearnih jednadžbi prikazani su na donjoj ilustraciji.
U osnovi, linearne jednačine se rješavaju jednostavnim pomicanjem dijela broja u jedan dio, a sadržaja x u drugi. Ispada jednadžba oblika mx \u003d n, gdje su m i n brojevi, a x je nepoznanica. Da biste pronašli x, dovoljno je oba dijela podijeliti sa m. Tada je x=n/m. U osnovi, linearne jednadžbe imaju samo jedan korijen, ali postoje slučajevi kada postoji ili beskonačno mnogo korijena ili ih nema uopće. Sa m=0 i n=0, jednačina ima oblik 0x=0. Apsolutno bilo koji broj će biti rješenje takve jednačine.
Ali koja jednačina nema korijen?
Kada je m=0 i n=0, jednadžba nema korijen iz skupa realnih brojeva. 0x=-1; 0x=200 - ove jednačine nemaju korijena.
2. Kvadratna jednadžba
Kvadratna jednadžba je jednačina oblika ax2 + bx + c=0 za a=0. Najčešći način rješavanja kvadratne jednačine je da se ona riješi preko diskriminatora. Formula za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednačine: D=b2 - 4ac. Zatim postoje dva korijena x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Kada je D > 0 jednačina ima dva korijena, kada je D=0 - jedan korijen. Ali koja kvadratna jednadžba nema korijen?Najlakši način za promatranje broja korijena kvadratne jednadžbe je na grafu funkcije, koji je parabola. Na > 0 grane su usmjerene prema gore, na < 0 grane su spuštene prema dolje. Ako je diskriminanta negativna, takva kvadratna jednadžba nema korijen u skupu realnih brojeva.
Možete i vizualno odrediti broj korijena bez izračunavanja diskriminanta. Da biste to učinili, morate pronaći vrh parabole i odrediti u kojem su smjeru grane usmjerene. Možete odrediti x-koordinatu vrha koristeći formulu: x0 =-b / 2a. U ovom slučaju, y-koordinata vrha se nalazi jednostavnom zamjenom vrijednosti x0 u originalnu jednačinu.
Kvadratna jednadžba x2 – 8x + 72=0 nema korijena jer ima negativan diskriminant D=(–8)2 - 4172=-224. To znači da parabola ne dodiruje x-osu i funkcija nikada ne uzima vrijednost 0, stoga jednadžba nema pravi korijen.
3. Trigonometrijske jednadžbe
Trigonometrijske funkcije se razmatraju na trigonometrijskom krugu, ali mogu biti predstavljene i u kartezijanskom koordinatnom sistemu. U ovom članku ćemo pogledati dvije osnovne trigonometrijske funkcije i njihove jednadžbe: sinx i cosx. Pošto ove funkcije formiraju trigonometrijski krug poluprečnika 1, |sinx| i |cosx| ne može biti veći od 1. Dakle, koja sinx jednačina nema korijen? Razmotrite graf sinx funkcije prikazan na sliciispod.
Vidimo da je funkcija simetrična i da ima period ponavljanja od 2pi. Na osnovu ovoga možemo reći da maksimalna vrijednost ove funkcije može biti 1, a minimalna -1. Na primjer, izraz cosx=5 neće imati korijen, jer je njegov modul veći od jedan.
Ovo je najjednostavniji primjer trigonometrijskih jednačina. Zapravo, njihovo rješenje može potrajati mnogo stranica, na čijem kraju shvatite da ste koristili pogrešnu formulu i morate početi ispočetka. Ponekad, čak i uz ispravan pronalazak korijena, možete zaboraviti uzeti u obzir ograničenja ODZ-a, zbog čega se u odgovoru pojavljuje dodatni korijen ili interval, a cijeli odgovor se pretvara u pogrešan. Stoga se striktno pridržavajte svih ograničenja, jer se svi korijeni ne uklapaju u obim zadatka.
4. Sistemi jednadžbi
Sistem jednačina je skup jednačina u kombinaciji sa kovrčavim ili uglastim zagradama. Vitičaste zagrade označavaju zajedničko izvršavanje svih jednačina. To jest, ako barem jedna od jednačina nema korijen ili je u suprotnosti s drugom, cijeli sistem nema rješenje. Uglaste zagrade označavaju riječ "ili". To znači da ako barem jedna od jednačina sistema ima rješenje, onda cijeli sistem ima rješenje.
Odgovor sistema sa uglastim zagradama je ukupnost svih korijena pojedinačnih jednačina. A sistemi sa vitičastim zagradama imaju samo zajedničke korijene. Sistemi jednačina mogu uključivati apsolutno različite funkcije, tako da ova složenost nijeomogućava vam da odmah kažete koja jednačina nema korijen.
Uopštavanje i savjeti za pronalaženje korijena jednadžbe
U problemskim knjigama i udžbenicima postoje različite vrste jednačina: one koje imaju korijene i one koje ih nemaju. Prije svega, ako ne možete pronaći korijene, nemojte misliti da oni uopće ne postoje. Možda ste negdje pogriješili, onda samo još jednom provjerite svoje rješenje.
Pokrili smo najosnovnije jednadžbe i njihove vrste. Sada možete reći koja jednačina nema korijen. U većini slučajeva to uopće nije teško učiniti. Za postizanje uspjeha u rješavanju jednačina potrebni su samo pažnja i koncentracija. Vježbajte više, to će vam pomoći da se lakše i brže snalazite u materijalu.
Dakle, jednadžba nema korijen ako:
- u linearnoj jednačini mx=n vrijednost m=0 i n=0;
- u kvadratnoj jednadžbi ako je diskriminanta manja od nule;
- u trigonometrijskoj jednadžbi oblika cosx=m / sinx=n, ako je |m| > 0, |n| > 0;
- u sistemu jednačina sa vitičastim zagradama ako barem jedna jednačina nema korijena, i sa uglastim zagradama ako sve jednačine nemaju korijena.
