Čak iu školi, svako od nas je učio jednačine i, sigurno, sisteme jednačina. Ali malo ljudi zna da postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje. Danas ćemo detaljno analizirati sve metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, koje se sastoje od više od dvije jednakosti.
Historija
Danas je poznato da je umjetnost rješavanja jednačina i njihovih sistema nastala u starom Babilonu i Egiptu. Međutim, jednakosti u svom uobičajenom obliku pojavile su se nakon pojave znaka jednakosti "=", koji je 1556. godine uveo engleski matematičar Record. Inače, ovaj znak je izabran s razlogom: označava dva paralelna jednaka segmenta. Zaista, nema boljeg primjera jednakosti.
Osnivač modernih slovnih oznaka nepoznanica i znakova stupnjeva je francuski matematičar Francois Viet. Međutim, njegove oznake značajno su se razlikovale od današnjih. Na primjer, kvadrat nepoznatog broja je označio slovom Q (lat. "quadratus"), a kocku slovom C (lat. "cubus"). Ove oznake sada izgledaju nezgodno, ali tadato je bio najrazumljiviji način za pisanje sistema linearnih algebarskih jednačina.
Međutim, nedostatak tadašnjih metoda rješenja bio je u tome što su matematičari smatrali samo pozitivne korijene. Možda je to zbog činjenice da negativne vrijednosti nisu imale praktičnu upotrebu. Na ovaj ili onaj način, italijanski matematičari Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Rafael Bombelli bili su ti koji su prvi razmotrili negativne korijene u 16. vijeku. A moderan izgled, glavna metoda za rješavanje kvadratnih jednačina (kroz diskriminanta) nastala je tek u 17. vijeku zahvaljujući radu Descartesa i Newtona.
Sredinom 18. veka, švajcarski matematičar Gabriel Cramer pronašao je novi način da olakša rešavanje sistema linearnih jednačina. Ova metoda je naknadno dobila ime po njemu i do danas je koristimo. Ali o Cramer metodi ćemo govoriti malo kasnije, ali za sada ćemo raspravljati o linearnim jednadžbama i metodama za njihovo rješavanje odvojeno od sistema.
Linearne jednačine
Linearne jednačine su najjednostavnije jednakosti sa varijablama. Oni su klasifikovani kao algebarski. Linearne jednačine se pišu u opštem obliku na sljedeći način: 2+…a x =b. Njihova reprezentacija će nam biti potrebna u ovom obliku prilikom daljeg kompajliranja sistema i matrica.
Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi
Definicija ovog pojma je sljedeća: to je skup jednačina koje imaju zajedničke nepoznanice i zajedničko rješenje. Po pravilu, u školi je sve odlučivalo sistemsa dve ili čak tri jednačine. Ali postoje sistemi sa četiri ili više komponenti. Hajde da prvo shvatimo kako ih zapisati tako da ih kasnije bude zgodno riješiti. Prvo, sistemi linearnih algebarskih jednadžbi će izgledati bolje ako su sve varijable zapisane kao x sa odgovarajućim indeksom: 1, 2, 3, itd. Drugo, sve jednačine treba svesti na kanonski oblik: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Nakon svih ovih koraka, možemo početi razgovarati o tome kako pronaći rješenje za sisteme linearnih jednačina. Matrice će biti vrlo korisne za ovo.
Matrice
Matrica je tabela koja se sastoji od redova i kolona, a njeni elementi se nalaze na njihovom presjeku. To mogu biti određene vrijednosti ili varijable. Najčešće, za označavanje elemenata, ispod njih se stavljaju indeksi (na primjer, a11 ili a23). Prvi indeks označava broj reda, a drugi broj kolone. Na matricama, kao i na bilo kojem drugom matematičkom elementu, možete izvoditi razne operacije. Tako da možete:
1) Oduzmite i dodajte tabele iste veličine.
2) Pomnožite matricu nekim brojem ili vektorom.
3) Transponiranje: Pretvorite redove matrice u stupce i stupce u redove.
4) Pomnožite matrice ako je broj redova jedne od njih jednak broju kolona druge.
O svim ovim tehnikama ćemo razgovarati detaljnije, jer će nam biti od koristi u budućnosti. Oduzimanje i sabiranje matrica je vrlo jednostavno. Daklekako uzimamo matrice iste veličine, tada svaki element jedne tablice odgovara svakom elementu druge. Dakle, dodajemo (oduzimamo) ova dva elementa (važno je da se nalaze na istim mjestima u svojim matricama). Kada množite matricu brojem ili vektorom, jednostavno trebate pomnožiti svaki element matrice tim brojem (ili vektorom). Transpozicija je veoma interesantan proces. Vrlo je zanimljivo ponekad to vidjeti u stvarnom životu, na primjer, kada promijenite orijentaciju tableta ili telefona. Ikone na radnoj površini su matrica, a kada promijenite poziciju, ona se transponira i postaje šira, ali se smanjuje u visini.
Hajde da još jednom pogledamo takav proces kao što je množenje matrice. Iako nam to neće biti od koristi, ipak će biti korisno znati to. Možete pomnožiti dvije matrice samo ako je broj stupaca u jednoj tablici jednak broju redova u drugoj. Sada uzmimo elemente reda jedne matrice i elemente odgovarajuće kolone druge. Množimo ih jedni s drugima, a zatim ih dodajemo (to je, na primjer, proizvod elemenata a11 i a12 sa b 12i b22 će biti jednako: a11b12 + a 12 b22). Tako se dobija jedan element tabele, koji se dalje popunjava na sličan način.
Sada možemo početi gledati kako se rješava sistem linearnih jednačina.
Gaussova metoda
Ova tema počinje da prolazi još u školi. Dobro poznajemo pojam "sistema dvije linearne jednačine" i znamo kako ih riješiti. Ali šta ako je broj jednačina veći od dvije? Gaussova metoda će nam pomoći u tome.
Naravno, ovaj metod je pogodan za korištenje ako napravite matricu od sistema. Ali ne možete ga transformirati i riješiti u njegovom najčistijem obliku.
Pa kako ova metoda rješava sistem linearnih Gausovih jednačina? Inače, iako je ova metoda nazvana po njemu, otkrivena je u davna vremena. Gauss predlaže sljedeće: izvršiti operacije s jednačinama kako bi se na kraju cijeli skup sveo na stepenasti oblik. Odnosno, potrebno je da se od vrha do dna (ako je pravilno postavljena) od prve do posljednje jednadžbe smanjuje jedna nepoznata. Drugim riječima, trebamo se pobrinuti da dobijemo, recimo, tri jednačine: u prvoj - tri nepoznate, u drugoj - dvije, u trećoj - jednu. Zatim iz posljednje jednačine nalazimo prvu nepoznatu, zamjenjujemo njenu vrijednost u drugu ili prvu jednačinu, a zatim pronalazimo preostale dvije varijable.
Cramer metoda
Da biste savladali ovu metodu, od vitalnog je značaja savladati veštine sabiranja, oduzimanja matrica, a takođe morate biti u stanju da pronađete determinante. Stoga, ako sve ovo radite loše ili uopće ne znate kako, morat ćete učiti i vježbati.
Šta je suština ove metode i kako je napraviti tako da se dobije sistem linearnih Cramerovih jednačina? Sve je vrlo jednostavno. Moramo konstruisati matricu iz numeričkih (skoro uvijek) koeficijenata sistema linearnih algebarskih jednačina. Da biste to učinili, jednostavno uzmite brojeve ispred nepoznatih i rasporedite ihtabelu po redosledu kojim su evidentirani u sistemu. Ako ispred broja stoji znak "-", upisujemo negativan koeficijent. Dakle, sastavili smo prvu matricu od koeficijenata nepoznatih, ne uključujući brojeve iza predznaka jednakosti (prirodno, jednačinu treba svesti na kanonski oblik, kada je samo broj na desnoj strani, a sve nepoznate sa koeficijenti na lijevoj strani). Zatim morate kreirati još nekoliko matrica - po jednu za svaku varijablu. Da bismo to učinili, svaki stupac s koeficijentima u prvoj matrici zamjenjujemo redom stupcem brojeva iza znaka jednakosti. Tako dobijamo nekoliko matrica, a zatim pronalazimo njihove determinante.
Nakon što smo pronašli determinante, stvar je mala. Imamo početnu matricu, a postoji nekoliko rezultirajućih matrica koje odgovaraju različitim varijablama. Da bismo dobili rješenja sistema, determinantu rezultirajuće tablice podijelimo determinantom početne tablice. Rezultirajući broj je vrijednost jedne od varijabli. Slično, nalazimo sve nepoznate.
Druge metode
Postoji još nekoliko metoda za dobivanje rješenja sistema linearnih jednačina. Na primjer, takozvana Gauss-Jordanova metoda, koja se koristi za pronalaženje rješenja za sistem kvadratnih jednačina i također je povezana s korištenjem matrica. Postoji i Jacobijeva metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina. Najlakše se prilagođava računaru i koristi se u računarstvu.
Teški slučajevi
Složenost se obično javlja kada je broj jednačina manji od broja varijabli. Tada možemo sa sigurnošću reći da je sistem ili nekonzistentan (tj. da nema korijena), ili da broj njegovih rješenja teži beskonačnosti. Ako imamo drugi slučaj, onda treba da zapišemo opšte rešenje sistema linearnih jednačina. Sadržat će najmanje jednu varijablu.
Zaključak
Evo dolazimo do kraja. Da rezimiramo: analizirali smo šta su sistem i matrica, naučili smo kako da pronađemo opšte rešenje za sistem linearnih jednačina. Osim toga, razmatrane su i druge opcije. Saznali smo kako se rješava sistem linearnih jednačina: Gaussova metoda i Cramerova metoda. Razgovarali smo o teškim slučajevima i drugim načinima za pronalaženje rješenja.
U stvari, ova tema je mnogo opsežnija, i ako želite da je bolje razumete, savetujemo vam da pročitate više specijalizovane literature.
