Matematika je u suštini apstraktna nauka, ako se odmaknemo od elementarnih pojmova. Dakle, na nekoliko jabuka možete vizualno prikazati osnovne operacije koje su u osnovi matematike, ali čim se ravan aktivnosti proširi, ti objekti postaju nedovoljni. Da li je neko pokušao da prikaže operacije na beskonačnim skupovima na jabukama? U tome je stvar, ne. Što su koncepti s kojima matematika operiše u svojim sudovima bili složeniji, to je njihov vizuelni izraz, koji bi bio osmišljen da olakša razumijevanje, izgledao problematičnijim. Međutim, za sreću i modernih studenata i nauke općenito, izvedeni su Ojlerovi krugovi čije ćemo primjere i mogućnosti razmotriti u nastavku.
Malo istorije
Dana 17. aprila 1707. godine, svijet je dao nauci Leonharda Eulera, izvanrednog naučnika čiji se doprinos matematici, fizici, brodogradnji, pa čak i muzičkoj teoriji, ne može precijeniti.
Njegova djela su do danas priznata i tražena u cijelom svijetu, uprkos činjenici da nauka ne miruje. Posebno je zanimljiva činjenica da je gospodin Ojler direktno učestvovao u formiranju ruske škole više matematike, tim pre što se, voljom sudbine, dva puta vraćao u našu državu. Naučnik je imao jedinstvenu sposobnost da izgradi algoritme koji su bili transparentni u svojoj logici, odsecajući sve suvišno i prebacujući se od opšteg ka posebnom u najkraćem mogućem roku. Nećemo navoditi sve njegove zasluge, jer će za to trebati dosta vremena, a mi ćemo se obratiti direktno na temu članka. On je bio taj koji je predložio korištenje grafičkog prikaza operacija na skupovima. Ojlerovi krugovi su u stanju da vizualiziraju rješenje bilo kojeg, čak i najkompleksnijeg problema.
Koja je poenta?
U praksi, Ojlerovi krugovi, čija je šema prikazana u nastavku, mogu se koristiti ne samo u matematici, budući da je koncept "skupa" svojstven ne samo ovoj disciplini. Dakle, uspješno se primjenjuju u menadžmentu.
Granji dijagram prikazuje odnose skupova A (iracionalni brojevi), B (racionalni brojevi) i C (prirodni brojevi). Krugovi pokazuju da je skup C uključen u skup B, dok se skup A ni na koji način s njima ne siječe. Primjer je najjednostavniji, ali jasno objašnjava specifičnosti "odnosa skupova", koji su previše apstraktni za pravo poređenje, makar samo zbog svoje beskonačnosti.
Algebra logike
Ovo područjematematička logika operiše sa izjavama koje mogu biti i istinite i netačne. Na primjer, od elementarnog: broj 625 je djeljiv sa 25, broj 625 je djeljiv sa 5, broj 625 je prost. Prva i druga tvrdnja su tačne, dok je poslednja netačna. Naravno, u praksi je sve komplikovanije, ali suština je jasno prikazana. I, naravno, Ojlerovi krugovi su opet uključeni u rješenje, primjeri s njihovom upotrebom su previše zgodni i vizualni da bi se zanemarili.
Malo teorije:
- Neka postoje skupovi A i B i nisu prazni, tada su za njih definirane sljedeće operacije presjeka, unije i negacije.
- Presjek skupova A i B sastoji se od elemenata koji istovremeno pripadaju i skupu A i skupu B.
- Unija skupova A i B se sastoji od elemenata koji pripadaju skupu A ili skupu B.
- Negacija skupa A je skup koji se sastoji od elemenata koji ne pripadaju skupu A.
Sve ovo opet oslikavaju Ojlerovi krugovi u logici, jer uz njihovu pomoć svaki zadatak, bez obzira na stepen složenosti, postaje očigledan i vizuelan.
Aksiomi algebre logike
Pretpostavimo da 1 i 0 postoje i da su definisani u skupu A, tada:
- negacija negacije skupa A je skup A;
- unija skupa A sa not_A je 1;
- unija skupa A sa 1 je 1;
- unija skupa A sa samim sobom je skup A;
- unija skupa Asa 0 postoji skup A;
- presek skupa A sa not_A je 0;
- presjek skupa A sa samim sobom je skup A;
- presek skupa A sa 0 je 0;
- presjek skupa A sa 1 je skup A.
Osnovna svojstva algebre logike
Neka postoje skupovi A i B i nisu prazni, tada:
- za presek i uniju skupova A i B, primenjuje se komutativni zakon;
- zakon kombinacije se primjenjuje na presjek i uniju skupova A i B;
- distributivni zakon primjenjuje se na sjecište i uniju skupova A i B;
- negacija preseka skupova A i B je presek negacija skupova A i B;
- negacija unije skupova A i B je unija negacija skupova A i B.
U nastavku su prikazani Ojlerovi krugovi, primjeri sjecišta i ujedinjenja skupova A, B i C.
Prospekti
Radovi Leonharda Ojlera se opravdano smatraju osnovom moderne matematike, ali sada se uspešno koriste u oblastima ljudske aktivnosti koje su se pojavile relativno nedavno, uzmimo na primer korporativno upravljanje: Ojlerovi krugovi, primeri i grafikoni opisuju mehanizme razvojni modeli, bilo da se radi o ruskoj ili englesko-američkoj verziji.
