Leonhard Euler (1707-1783) - poznati švajcarski i ruski matematičar, član Sankt Peterburgske akademije nauka, proveo je veći deo svog života u Rusiji. Najpoznatiji u matematičkoj analizi, statistici, informatici i logici je Ojlerov krug (Euler-Venn dijagram), koji se koristi za označavanje opsega koncepata i skupova elemenata.
John Venn (1834-1923) - engleski filozof i logičar, koautor Euler-Venn dijagrama.
Kompatibilni i nekompatibilni koncepti
Pod pojmom u logici podrazumijeva se oblik mišljenja koji odražava bitne karakteristike klase homogenih objekata. Označavaju se jednom ili grupom riječi: “mapa svijeta”, “dominantni kvintni-sedmini akord”, “ponedjeljak” itd.
U slučaju kada elementi opsega jednog pojma u potpunosti ili djelimično pripadaju opsegu drugog, govori se o kompatibilnim konceptima. Ako, međutim, nijedan element opsega određenog koncepta ne pripada opsegu drugog, imamo nekompatibilne koncepte.
Zauzvrat, svaki tip koncepta ima svoj skup mogućih odnosa. Za kompatibilne koncepte, to su:
- identitet (ekvivalentnost) volumena;
- prelazak (djelomično podudaranje)količine;
- subordinacija (subordinacija).
Za nekompatibilno:
- subordinacija (koordinacija);
- suprotno (kontraralnost);
- kontradikcija (kontradikcija).
Šematski, odnosi između koncepata u logici se obično označavaju Ojler-Vennovim krugovima.
Ekvivalentni odnosi
U ovom slučaju, pojmovi znače isti predmet. Shodno tome, obim ovih koncepata je potpuno isti. Na primjer:
A - Sigmund Freud;
B je osnivač psihoanalize.
Ili:
A je kvadrat;
B je jednakostranični pravougaonik;
C je jednakougaoni romb.
Potpuno podudarni Eulerovi krugovi se koriste za označavanje.
Raskrsnica (djelimično podudaranje)
Ova kategorija uključuje koncepte koji imaju zajedničke elemente koji se odnose na ukrštanje. To jest, volumen jednog od koncepata je djelimično uključen u volumen drugog:
A - učitelj;
B je ljubitelj muzike.
Kao što se može vidjeti iz ovog primjera, obim koncepata se djelimično poklapa: određena grupa nastavnika može se pokazati kao ljubitelji muzike, i obrnuto - među ljubiteljima muzike mogu biti i predstavnici nastavničke profesije. Sličan stav će biti iu slučaju kada je koncept A, na primjer, „građanin“, a B „vozač“.
Subordinacija (subordinacija)
Šematski označeno kao Ojlerovi krugovi različitih razmjera. Odnosiizmeđu pojmova u ovom slučaju karakterizira činjenica da je podređeni pojam (manji po obimu) u potpunosti uključen u podređeni (veći po obimu). U isto vrijeme, podređeni koncept ne iscrpljuje u potpunosti podređeni.
Na primjer:
A - drvo;
B - bor.
Koncept B će biti podređen konceptu A. Pošto bor pripada drveću, koncept A u ovom primjeru postaje podređen, "apsorbirajući" opseg koncepta B.
Koordinacija (koordinacija)
Odnos karakterizira dva ili više pojmova koji se međusobno isključuju, ali pripadaju određenom zajedničkom generičkom krugu. Na primjer:
A – klarinet;
B - gitara;
C - violina;
D je muzički instrument.
Koncepti A, B, C se međusobno ne ukrštaju, ali svi pripadaju kategoriji muzičkih instrumenata (koncept D).
Suprotno (suprotno)
Suprotni odnosi između pojmova impliciraju da ovi koncepti pripadaju istom rodu. Istovremeno, jedan od koncepata ima određena svojstva (obilježja), dok ih drugi negira, zamjenjujući ih suprotnim u prirodi. Dakle, imamo posla sa antonimima. Na primjer:
A je patuljak;
B je div.
Ojlerov krug sa suprotnim odnosima između pojmovapodijeljen je na tri segmenta, od kojih prvi odgovara konceptu A, drugi konceptu B, a treći svim ostalim mogućim konceptima.
Protivurečnost (kontradikcija)
U ovom slučaju, oba koncepta su vrste istog roda. Kao iu prethodnom primjeru, jedan od koncepata ukazuje na određene kvalitete (osobine), dok ih drugi negira. Međutim, za razliku od odnosa suprotnosti, drugi, suprotni koncept ne zamjenjuje poricana svojstva drugim, alternativnim. Na primjer:
A je težak zadatak;
B je lak zadatak (ne-A).
Izražavajući obim pojmova ove vrste, Ojlerov krug je podeljen na dva dela - treća, posredna karika u ovom slučaju ne postoji. Dakle, pojmovi su također antonimi. Istovremeno, jedan od njih (A) postaje pozitivan (potvrđujući neku osobinu), a drugi (B ili ne-A) postaje negativan (negirajući odgovarajuću osobinu): „bijeli papir“- „ne bijeli papir“, „ nacionalna istorija” – “strana istorija” itd.
Dakle, odnos volumena koncepata u odnosu jedan na drugi je ključna karakteristika koja definira Ojlerove krugove.
Odnosi između skupova
Takođe je potrebno razlikovati koncepte elemenata i skupova, čiji je volumen prikazan Ojlerovim krugovima. Koncept skupa je posuđen iz matematičke nauke i ima prilično široko značenje. Primjeri u logici i matematici ga prikazuju kao određeni skup objekata. Sami objekti jesuelemenata ovog skupa. "Mnogi su mnogi mislili kao jedno" (Georg Kantor, osnivač teorije skupova).
Skupovi se označavaju velikim slovima: A, B, C, D… itd., elementi skupova se označavaju malim slovima: a, b, c, d… itd. Primjeri skupa mogu biti učenici koji nalaze se u jednoj učionici, knjige na određenoj polici (ili, na primjer, sve knjige u određenoj biblioteci), stranice u dnevniku, bobice na šumskoj čistini, itd.
Zauzvrat, ako određeni skup ne sadrži niti jedan element, onda se naziva praznim i označava znakom Ø. Na primjer, skup presječnih tačaka paralelnih pravih, skup rješenja jednačine x2=-5.
Rješavanje problema
Ojlerovi krugovi se aktivno koriste za rješavanje velikog broja problema. Primjeri u logici jasno pokazuju vezu između logičkih operacija i teorije skupova. U ovom slučaju koriste se tabele istinitosti pojmova. Na primjer, krug označen s A predstavlja područje istine. Dakle, područje izvan kruga će predstavljati lažno. Da biste odredili područje dijagrama za logičku operaciju, trebali biste zasjeniti područja koja definiraju Ojlerov krug, u kojem će njegove vrijednosti za elemente A i B biti istinite.
Upotreba Ojlerovih krugova našla je široku praktičnu primenu u raznim industrijama. Na primjer, u situaciji s profesionalnim izborom. Ako je subjekt zabrinut oko izbora budućeg zanimanja, može se voditi sljedećim kriterijima:
W – šta ja volim da radim?
D – šta radim?
P– kako mogu dobro zaraditi?
Nacrtajmo ovo kao dijagram: Ojlerovi krugovi (primjeri u logici - relacija presjeka):
Rezultat će biti one profesije koje će biti na raskrsnici sva tri kruga.
Euler-Venn krugovi zauzimaju posebno mjesto u matematici (teoriji skupova) kada se računaju kombinacije i svojstva. Ojlerovi krugovi skupa elemenata zatvoreni su u sliku pravougaonika koji označava univerzalni skup (U). Umjesto krugova mogu se koristiti i druge zatvorene figure, ali se suština toga ne mijenja. Brojke se sijeku jedna s drugom, u skladu sa uslovima problema (u najopštijem slučaju). Takođe, ove brojke treba da budu označene na odgovarajući način. Elementi skupova koji se razmatraju mogu biti tačke koje se nalaze unutar različitih segmenata dijagrama. Na osnovu toga možete zasjeniti određena područja, označavajući tako novoformirane setove.
Sa ovim skupovima moguće je izvoditi osnovne matematičke operacije: sabiranje (zbir skupova elemenata), oduzimanje (razlika), množenje (proizvod). Osim toga, zahvaljujući Euler-Venn dijagramima, moguće je upoređivati skupove po broju elemenata koji su u njima uključeni, ne računajući ih.
