Upisani četvorougao u krug. Četvorougao ABCD je upisan u krug

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Sa podjelom matematike na algebru i geometriju, nastavni materijal postaje sve teži. Pojavljuju se nove figure i njihovi posebni slučajevi. Da bi se materijal dobro razumio, potrebno je proučiti koncepte, svojstva objekata i povezane teoreme.

Opći koncepti

Četvorougao znači geometrijski lik. Sastoji se od 4 boda. Štaviše, 3 od njih se ne nalaze na istoj pravoj liniji. Postoje segmenti koji povezuju navedene tačke u seriju.

Svi četvorouglovi izučavani u školskom kursu geometrije prikazani su na sledećem dijagramu. Zaključak: bilo koji objekt sa prikazane slike ima svojstva prethodne figure.

Četvorokut može biti sljedećih tipova:

• Paralelogram. Paralelizam njegovih suprotnih strana je dokazan odgovarajućim teoremama.
• Trapez. Četvorougao sa paralelnim osnovama. Druge dvije strane nisu.
• Pravougaonik. Figura koja ima sva 4 ugla=90º.
• Rhombus. Figura sa svim stranama jednakim.
• Kvadrat. Kombinira svojstva posljednje dvije brojke. Ima sve strane jednake i svi uglovi su pravi.

Glavna definicija ove teme je četvorougao upisan u krug. Sastoji se u sljedećem. Ovo je figura oko koje je opisan krug. Mora proći kroz sve vrhove. Unutrašnji uglovi četvorougla upisanog u krug iznose 360º.

Ne može se upisati svaki četvorougao. To je zbog činjenice da se okomite simetrale 4 strane ne mogu sijeku u jednoj tački. Ovo će onemogućiti pronalaženje centra kruga koji opisuje 4-ugao.

Posebni slučajevi

Postoje izuzeci od svakog pravila. Dakle, u ovoj temi postoje i posebni slučajevi:

• Parelelogram, kao takav, ne može se upisati u krug. Samo njegov poseban slučaj. To je pravougaonik.
• Ako su svi vrhovi romba na kružnoj liniji, onda je to kvadrat.
• Svi vrhovi trapeza su na granici kružnice. U ovom slučaju govore o jednakokrakoj figuri.

Svojstva upisanog četvorougla u krug

Prije rješavanja jednostavnih i složenih zadataka na datu temu, potrebno je provjeriti svoje znanje. Bez proučavanja nastavnog materijala nemoguće je riješiti niti jedan primjer.

Teorema 1

Zbir suprotnih uglova četvorougla upisanog u krug je 180º.

Dokaz

Dato: četvorougao ABCD je upisan u krug. Njegov centar je tačka O. Moramo dokazati da je _<A + _<C=180º i _< B + _<D=180º.

Morate uzeti u obzir prikazane brojke.

1. _{<A je upisano u krug sa središtem u tački O. Mjeri se kroz ½ BCD (poluluka).}
2. _{<C je upisano u isti krug. Mjeri se kroz ½ BAD (polu-luka).}
3. BAD i BCD čine cijeli krug, tj. njihova veličina je 360º.
4. _<A + _{<C jednaki su polovini sume predstavljenih polulukova.}
5. Onda _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Na sličan način, dokaz za _<B i _{<D. Međutim, postoji i drugo rješenje problema.}

1. Poznato je da je zbir unutrašnjih uglova četvorougla 360º.
2. Zato što _<A + _<C=180º. Prema tome, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorema 2

(često se naziva inverznim) Ako je u četvorouglu _<A + _<C=180º i _{<B +} <_{D=180º (ako su suprotni), tada se oko takve figure može opisati krug.}

Dokaz

Dat je zbir suprotnih uglova četvorougla ABCD jednak 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Moramo dokazati da se krug može opisati oko ABCD.}

Iz kursa geometrije je poznato da se kroz 3 tačke četvorougla može povući kružnica. Na primjer, možete koristiti tačke A, B, C. Gdje će se nalaziti tačka D? Postoje 3 pogađanja:

1. Ona završava unutar kruga. U ovom slučaju, D ne dodiruje liniju.
2. Izvan kruga. Ona korača daleko izvan ocrtane linije.
3. Ispada u krug.

Trebalo bi pretpostaviti da je D unutar kruga. Mjesto navedenog vrha zauzima D´. Ispada četvorougao ABCD´.

Rezultat je:_<B + _<D´=2d.

Ako nastavimo AD´ do raskrsnice sa postojećom kružnicom sa centrom u tački E i spojimo E i C, dobićemo upisani četvorougao ABCE. Iz prve teoreme slijedi jednakost:

Prema zakonima geometrije, izraz ne vrijedi jer je _<D´ vanjski ugao trougla CD´E. Prema tome, trebalo bi da bude više od _{<E. Iz ovoga možemo zaključiti da D mora biti ili na krugu ili izvan njega.}

Slično, treća pretpostavka se može dokazati pogrešnom kada D´´ pređe granicu opisane figure.

Iz dvije hipoteze slijedi jedina ispravna. Vertex D se nalazi na liniji kružnice. Drugim riječima, D se poklapa sa E. Iz toga slijedi da se sve tačke četverokuta nalaze na opisanoj pravoj.

Od ovihdvije teoreme, slijedi sljedeće:

Bilo koji pravougaonik se može upisati u krug. Postoji još jedna posljedica. Krug se može opisati oko bilo kojeg pravougaonika

Trapez sa jednakim bokovima može se upisati u krug. Drugim riječima, zvuči ovako: krug se može opisati oko trapeza sa jednakim rubovima

Nekoliko primjera

Zadatak 1. Četvorougao ABCD je upisan u krug. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Treba pronaći _{<ABD. Odgovor mora biti napisan u stepenima.}

Odluka. U početku može izgledati teško pronaći odgovor.

1. Morate zapamtiti svojstva iz ove teme. Naime: zbir suprotnih uglova=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

U geometriji je bolje držati se principa: pronađi sve što možeš. Korisno kasnije.

2. Sljedeći korak: koristite teoremu o zbroju trougla.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 75º=70º}

_<ABD i _{<ACD su upisani. Po uslovu se oslanjaju na jedan luk. Prema tome, one imaju jednake vrijednosti:}

_<ABD=_<ACD=70º

Odgovor: _<ABD=70º.

Zadatak 2. BCDE je upisan četverougao u krug. _<B=69º, _<C=84º. Centar kruga je tačka E. Pronađite - _<E.

Odluka.

1. Treba pronaći _{<E prema teoremi 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Odgovor: _{< E=96º.}

Zadatak 3. Dat je četverougao upisan u krug. Podaci su prikazani na slici. Potrebno je pronaći nepoznate vrijednosti x, y, z.

Rješenje:

z=180º – 93º=87º (prema teoremi 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (prema teoremi 1)

Odgovor: z=87º, x=82º, y=98º.

Zadatak 4. U krug je upisan četverougao. Vrijednosti su prikazane na slici. Pronađite x, y.

Rješenje:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Odgovor: x=100º, y=109º.

Problemi za samostalno rješenje

Primjer 1. Dat je krug. Njegov centar je tačka O. AC i BD su prečnici. _<ACB=38º. Treba pronaći _{<AOD. Odgovor se mora dati u stepenima.}

Primjer 2. Dat je četverougao ABCD i kružnica opisana oko njega. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Pronađite _{<CAD. Napišite svoj odgovor u stepenima.}

Primjer 3. Dat je krug i upisani četverougao ABCD. Njegova dva ugla su 82º i58º. Morate pronaći najveći od preostalih uglova i zapisati odgovor u stepenima.

Primjer 4. Dat je četverougao ABCD. Uglovi A, B, C dati su u omjeru 1:2:3. Potrebno je pronaći ugao D ako se navedeni četvorougao može upisati u krug. Odgovor se mora dati u stepenima.

Primjer 5. Dat je četverougao ABCD. Njegove stranice čine lukove opisane kružnice. Vrijednosti stepena AB, BC, CD i AD, redom, su: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Trebali biste pronaći _{<Iz datog četverougla i zapisati odgovor u stepenima.}