Planimetrija je grana geometrije koja proučava svojstva ravnih figura. To uključuje ne samo dobro poznate trokute, kvadrate, pravokutnike, već i ravne linije i uglove. U planimetriji postoje i koncepti kao što su uglovi u krugu: centralni i upisani. Ali šta oni znače?
Koji je centralni ugao?
Da biste razumjeli šta je centralni ugao, morate definirati krug. Krug je skup svih tačaka jednako udaljenih od date tačke (centra kružnice).
Veoma je važno razlikovati ga od kruga. Treba imati na umu da je krug zatvorena linija, a krug je dio ravnine koji je njome ograničen. Poligon ili ugao se mogu upisati u krug.
Središnji ugao je ugao čiji se vrh poklapa sa centrom kružnice i čije stranice sijeku kružnicu u dvije tačke. Luk, koji ugao ograničava tačkama preseka, naziva se luk na koji počiva dati ugao.
Razmotrite primjer 1.
Na slici je ugao AOB centralan, jer su vrh ugla i centar kružnice jedna tačka O. On počiva na luku AB koji ne sadrži tačku C.
Kako se upisani ugao razlikuje od centralnog?
Međutim, osim centralnih, postoje i upisani uglovi. Koja je njihova razlika? Kao i centralni, ugao upisan u kružnicu počiva na određenom luku. Ali njegov vrh se ne poklapa sa centrom kruga, već leži na njemu.
Uzmimo sljedeći primjer.
Ugao ACB naziva se ugao upisan u krug sa centrom u tački O. Tačka C pripada kružnici, odnosno leži na njoj. Ugao počiva na luku AB.
Koji je centralni ugao
Da bismo se uspješno nosili s problemima u geometriji, nije dovoljno znati razlikovati upisane i centralne uglove. Po pravilu, da biste ih riješili, morate znati tačno kako pronaći centralni ugao u krugu i moći izračunati njegovu vrijednost u stepenima.
Dakle, središnji ugao je jednak stepenu mjere luka na kojem počiva.
Na slici, ugao AOB počiva na luku AB jednak 66°. Dakle, ugao AOB je takođe jednak 66°.
Dakle, centralni uglovi zasnovani na jednakim lukovima su jednaki.
Na slici je luk DC jednak luku AB. Dakle, ugao AOB je jednak uglu DOC.
Kako pronaći upisani ugao
Može izgledati da je ugao upisan u krug jednak centralnom uglu,koji se oslanja na isti luk. Međutim, ovo je velika greška. Zapravo, čak i samo gledajući crtež i upoređujući ove uglove jedan s drugim, možete vidjeti da će njihove mjere stepena imati različite vrijednosti. Dakle, koji je ugao upisan u krug?
Mjera stepena upisanog ugla je polovina luka na kojem počiva, ili polovina središnjeg ugla ako se oslanjaju na isti luk.
Razmotrimo primjer. Ugao ACB je zasnovan na luku jednakom 66°.
Dakle, ugao DIA=66°: 2=33°
Razmotrimo neke posljedice ove teoreme.
- Upisani uglovi, ako su zasnovani na istom luku, tetivi ili jednakim lukovima, jednaki su.
- Ako su upisani uglovi zasnovani na istoj tetivi, ali njihovi vrhovi leže na suprotnim stranama, zbir stepena mera takvih uglova je 180°, pošto su u ovom slučaju oba ugla zasnovana na lukovima, ukupna mjera stepena od kojih je 360° (cijeli krug), 360°: 2=180°
- Ako je upisani ugao zasnovan na prečniku datog kruga, njegova mera stepena je 90°, pošto prečnik obuhvata luk jednak 180°, 180°: 2=90°
- Ako su centralni i upisani ugao u krugu zasnovani na istom luku ili tetivi, tada je upisani ugao jednak polovini centralnog.
Gdje se mogu naći problemi na ovu temu? Njihove vrste i rješenja
Pošto su krug i njegova svojstva jedan od najvažnijih dijelova geometrije, a posebno planimetrije, upisani i centralni uglovi u krugu su tema koja je široka i detaljnaučio po školskom planu i programu. Zadaci posvećeni njihovim osobinama nalaze se u glavnom državnom ispitu (OGE) i objedinjenom državnom ispitu (USE). Po pravilu, da biste riješili ove probleme, trebate pronaći uglove na kružnici u stepenima.
Uglovi zasnovani na istom luku
Ova vrsta problema je možda jedan od najlakših, jer da biste ga riješili morate znati samo dva jednostavna svojstva: ako su oba ugla upisana i naslanjaju se na istu tetivu, oni su jednaki, ako je jedan od njih centralni, tada je odgovarajući upisani ugao jednak njegovoj polovini. Međutim, prilikom njihovog rješavanja treba biti krajnje oprezan: ponekad je teško uočiti ovo svojstvo, a učenici pri rješavanju tako jednostavnih zadataka dođu u ćorsokak. Razmotrimo primjer.
Problem 1
Dana je kružnica sa središtem u tački O. Ugao AOB je 54°. Pronađite stepen stepena ugla DIA.
Ovaj zadatak je riješen u jednom koraku. Jedina stvar koja vam je potrebna da biste brzo pronašli odgovor je da primijetite da je luk na koji počivaju oba ugla zajednički. Vidjevši ovo, možete primijeniti već poznato svojstvo. Ugao ACB je polovina ugla AOB. Dakle
1) AOB=54°: 2=27°.
Odgovor: 54°.
Uglovi zasnovani na različitim lukovima iste kružnice
Ponekad veličina luka na kojem počiva traženi ugao nije direktno specificirana u uslovima problema. Da biste ga izračunali, morate analizirati veličinu ovih uglova i uporediti ih sa poznatim svojstvima kružnice.
Problem 2
U krugu sa centrom u O, ugao AOCje 120°, a ugao AOB je 30°. Pronađite kutak VI.
Za početak, vrijedi reći da je moguće riješiti ovaj problem korištenjem svojstava jednakokračnih trouglova, ali će to zahtijevati više matematičkih operacija. Stoga ćemo ovdje analizirati rješenje koristeći svojstva centralnog i upisanog ugla u krug.
Dakle, ugao AOC počiva na luku AC i centralan je, što znači da je luk AC jednak uglu AOC.
AC=120°
Na isti način, ugao AOB počiva na luku AB.
AB=30°.
Znajući ovo i mjeru stepena cijelog kruga (360°), možete lako pronaći veličinu luka BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Vrh ugla CAB, tačka A, leži na kružnici. Dakle, ugao CAB je upisan i jednak je polovini luka CB.
CAB kut=210°: 2=110°
Odgovor: 110°
Problemi na osnovu omjera luka
Neki problemi uopšte ne sadrže podatke o uglovima, pa ih je potrebno pretraživati samo na osnovu poznatih teorema i svojstava kružnice.
Problem 1
Pronađi ugao upisan u krug koji podržava tetiva jednaka poluprečniku date kružnice.
Ako mentalno nacrtate linije koje spajaju krajeve segmenta sa centrom kruga, dobićete trougao. Nakon što smo ga ispitali, možete vidjeti da su ove linije polumjeri kružnice, što znači da su sve strane trokuta jednake. Znamo da su svi uglovi jednakostraničnog trouglajednaki su 60°. Dakle, luk AB koji sadrži vrh trougla jednak je 60°. Odavde nalazimo luk AB, na kojem se zasniva željeni ugao.
AB=360° - 60°=300°
Ugao ABC=300°: 2=150°
Odgovor: 150°
Problem 2
U krugu sa središtem u tački O, lukovi su povezani kao 3:7. Pronađite manji upisani ugao.
Za rješenje, označavamo jedan dio kao X, tada je jedan luk jednak 3X, a drugi 7X. Znajući da je stepen stepena kružnice 360°, možemo napisati jednačinu.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Prema uslovu, morate pronaći manji ugao. Očigledno, ako je vrijednost ugla direktno proporcionalna luku na koji počiva, tada traženi (manji) ugao odgovara luku jednakom 3X.
Dakle, manji ugao je (36°3): 2=108°: 2=54°
Odgovor: 54°
Problem 3
U kružnici sa središtem u tački O, ugao AOB je 60°, a dužina manjeg luka je 50. Izračunajte dužinu većeg luka.
Da biste izračunali dužinu većeg luka, morate napraviti proporciju - kako se manji luk odnosi na veći. Da bismo to učinili, izračunavamo veličinu oba luka u stepenima. Manji luk jednak je kutu koji leži na njemu. Njegova mjera stepena je 60°. Veći luk jednak je razlici između stepena mjere kružnice (jednaka je 360° bez obzira na druge podatke) i manjeg luka.
Veliki luk je 360° - 60°=300°.
Budući da je 300°: 60°=5, veći luk je 5 puta manji.
Veliki luk=505=250
Odgovor: 250
Pa, naravno, postoje i drugipristupi rješavanju sličnih problema, ali svi su nekako zasnovani na svojstvima centralnih i upisanih uglova, trouglova i kružnica. Da biste ih uspješno riješili, potrebno je da pažljivo proučite crtež i uporedite ga sa podacima problema, kao i da budete u stanju da svoje teorijsko znanje primijenite u praksi.
