Poliedri su privlačili pažnju matematičara i naučnika još u antičko doba. Egipćani su izgradili piramide. A Grci su proučavali "pravilne poliedre". Ponekad se nazivaju i Platonska tijela. "Tradicionalni poliedri" se sastoje od ravnih lica, ravnih ivica i vrhova. Ali glavno pitanje je uvijek bilo koja pravila moraju ispuniti ovi odvojeni dijelovi, kao i koji dodatni globalni uslovi moraju biti ispunjeni da bi se objekat kvalifikovao kao poliedar. Odgovor na ovo pitanje bit će predstavljen u članku.
Problemi u definiciji
Od čega se sastoji ova brojka? Poliedar je zatvoreni čvrsti oblik koji ima ravne površine i ravne ivice. Stoga se prvi problem njegove definicije može nazvati upravo stranama figure. Nisu sva lica koja leže u ravnima uvijek znak poliedra. Uzmimo "trokutasti cilindar" kao primjer. Od čega se sastoji? Dio njegove površine tri u paruvertikalne ravnine koje se seku ne mogu se smatrati poligonima. Razlog je to što nema vrhova. Površina takve figure formirana je na osnovu tri zraka koji se susreću u jednoj tački.
Još jedan problem - avioni. U slučaju "trouglastog cilindra" on leži u njihovim neograničenim dijelovima. Figura se smatra konveksnom ako se u njoj nalazi i segment koji povezuje bilo koje dvije tačke u skupu. Predstavimo jedno od njihovih važnih svojstava. Za konveksne skupove, skup tačaka zajedničkih za skup je isti. Postoji još jedna vrsta figura. Ovo su nekonveksni 2D poliedri koji imaju zareze ili rupe.
Oblici koji nisu poliedri
Ravan skup tačaka može biti različit (na primjer, nekonveksan) i ne zadovoljava uobičajenu definiciju poliedra. Čak i kroz njega, ograničena je dijelovima linija. Linije konveksnog poliedra sastoje se od konveksnih figura. Međutim, ovaj pristup definiciji isključuje figuru koja ide u beskonačnost. Primjer za to bi bile tri zraka koje se ne susreću u istoj tački. Ali u isto vrijeme, oni su povezani s vrhovima druge figure. Tradicionalno je za poliedar bilo važno da se sastoji od ravnih površina. Ali s vremenom se koncept proširio, što je dovelo do značajnog poboljšanja u razumijevanju originalne "uže" klase poliedara, kao i do pojave nove, šire definicije.
Tačno
Uvedimo još jednu definiciju. Pravilan poliedar je onaj u kojem je svako lice kongruentno regularnokonveksni poligoni, a svi vrhovi su "isti". To znači da svaki vrh ima isti broj pravilnih poligona. Koristite ovu definiciju. Dakle, možete pronaći pet pravilnih poliedara.
Prvi koraci do Ojlerove teoreme za poliedre
Grci su znali za poligon, koji se danas zove pentagram. Ovaj poligon bi se mogao nazvati pravilnim jer su mu sve stranice jednake dužine. Postoji još jedna važna napomena. Ugao između dvije uzastopne stranice je uvijek isti. Međutim, kada se nacrta u ravni, on ne definira konveksan skup, a stranice poliedra se međusobno sijeku. Međutim, to nije uvijek bio slučaj. Matematičari su dugo razmatrali ideju o "nekonveksnim" pravilnim poliedrima. Pentagram je bio jedan od njih. "Zvjezdani poligoni" su također bili dozvoljeni. Otkriveno je nekoliko novih primjera "pravilnih poliedara". Sada se zovu Kepler-Poinsot poliedri. Kasnije su G. S. M. Coxeter i Branko Grünbaum proširili pravila i otkrili druge "pravilne poliedre".
Poliedarska formula
Sistematsko proučavanje ovih brojki počelo je relativno rano u istoriji matematike. Leonhard Euler je prvi primijetio da formula koja povezuje broj njihovih vrhova, lica i ivica vrijedi za konveksne 3D poliedre.
Ona izgleda ovako:
V + F - E=2, gdje je V broj poliedarskih vrhova, F je broj ivica poliedara, a E je broj lica.
Leonhard Euler je Švicaracmatematičar koji se smatra jednim od najvećih i najproduktivnijih naučnika svih vremena. Veći dio svog života bio je slijep, ali gubitak vida dao mu je razlog da postane još produktivniji. Postoji nekoliko formula nazvanih po njemu, a ova koju smo upravo pogledali ponekad se naziva formula Ojlerovog poliedra.
Postoji jedno pojašnjenje. Ojlerova formula, međutim, radi samo za poliedre koji slijede određena pravila. Leže u činjenici da forma ne bi trebala imati rupe. I neprihvatljivo je da se prekrsti. Poliedar također ne može biti sastavljen od dva dijela spojena zajedno, kao što su dvije kocke sa istim vrhom. Rezultat svog istraživanja Euler je spomenuo u pismu Christianu Goldbachu 1750. Kasnije je objavio dva rada u kojima je opisao kako je pokušao pronaći dokaz za svoje novo otkriće. U stvari, postoje oblici koji daju drugačiji odgovor na V + F - E. Odgovor na zbir F + V - E=X naziva se Eulerova karakteristika. Ona ima još jedan aspekt. Neki oblici mogu čak imati Ojlerovu karakteristiku koja je negativna
Teorija grafova
Ponekad se tvrdi da je Descartes ranije izveo Eulerovu teoremu. Iako je ovaj naučnik otkrio činjenice o trodimenzionalnim poliedrima koje bi mu omogućile da izvede željenu formulu, nije poduzeo ovaj dodatni korak. Danas se Ojleru pripisuje "otac" teorije grafova. Svojim idejama riješio je problem mosta u Konigsbergu. Ali naučnik nije posmatrao poliedar u kontekstuteorija grafova. Euler je pokušao dati dokaz formule zasnovane na razlaganju poliedra na jednostavnije dijelove. Ovaj pokušaj nije u skladu sa modernim standardima za dokaz. Iako Euler nije dao prvo ispravno opravdanje za svoju formulu, ne mogu se dokazati pretpostavke koje nisu iznesene. Međutim, rezultati, koji su kasnije potkrijepljeni, omogućavaju korištenje Ojlerove teoreme i u današnje vrijeme. Prvi dokaz je dobio matematičar Adrian Marie Legendre.
Dokaz Eulerove formule
Euler je prvi formulisao poliedačku formulu kao teoremu o poliedrima. Danas se često tretira u širem kontekstu povezanih grafova. Na primjer, kao strukture koje se sastoje od tačaka i linija koje ih povezuju, a koje su u istom dijelu. Augustin Louis Cauchy bio je prva osoba koja je pronašla ovu važnu vezu. Služio je kao dokaz Ojlerove teoreme. On je, u suštini, primetio da je graf konveksnog poliedra (ili onoga što se danas naziva takvim) topološki homeomorfan sferi, ima planarno povezan graf. Šta je to? Planarni graf je onaj koji je nacrtan u ravni na takav način da se njegove ivice sastaju ili seku samo u vrhu. Ovdje je pronađena veza između Ojlerove teoreme i grafova.
Jedan pokazatelj važnosti rezultata je da je David Epstein uspio prikupiti sedamnaest različitih dokaza. Postoji mnogo načina da se opravda Ojlerova poliedarska formula. U određenom smislu, najočitiji dokazi su metode koje koriste matematičku indukciju. Rezultat se može dokazaticrtajući ga duž broja ivica, lica ili vrhova grafa.
Dokaz Rademachera i Toeplitza
Naročito je atraktivan sljedeći dokaz Rademachera i Toeplitz-a, zasnovan na pristupu Von Staudta. Da bismo opravdali Ojlerovu teoremu, pretpostavimo da je G povezani graf ugrađen u ravan. Ako ima sheme, moguće je isključiti po jedan rub iz svake od njih na način da se očuva svojstvo da ostane povezan. Postoji korespondencija jedan-na-jedan između uklonjenih dijelova za odlazak na povezani graf bez zatvaranja i onih koji nisu beskonačna ivica. Ovo istraživanje je dovelo do klasifikacije "površina koje se mogu orijentisati" u smislu takozvane Eulerove karakteristike.
Jordanska kriva. Teorema
Glavna teza, koja se direktno ili indirektno koristi u dokazu formule poliedara Ojlerove teoreme za grafove, zavisi od Jordanove krive. Ova ideja se odnosi na generalizaciju. Kaže da svaka jednostavna zatvorena kriva dijeli ravan u tri skupa: tačke na njoj, unutar i izvan nje. Kako se interesovanje za Ojlerovu poliedarsku formulu razvilo u devetnaestom veku, učinjeni su mnogi pokušaji da se ona generalizuje. Ovo istraživanje je postavilo temelje za razvoj algebarske topologije i povezalo je sa algebrom i teorijom brojeva.
Moebius grupa
Ubrzo je otkriveno da se neke površine mogu "orijentisati" samo na dosljedan način lokalno, a ne globalno. Poznata Möbius grupa služi kao ilustracija togapovršine. Otkrio ju je nešto ranije Johann Listing. Ovaj koncept uključuje pojam roda grafa: najmanji broj deskriptora g. Mora se dodati površini sfere, a može se ugraditi na proširenu površinu na način da se ivice sastaju samo na vrhovima. Ispostavilo se da se svaka površina koja se može orijentirati u Euklidskom prostoru može smatrati sferom sa određenim brojem ručki.
Eulerov dijagram
Naučnik je napravio još jedno otkriće, koje se i danas koristi. Ovaj takozvani Ojlerov dijagram je grafički prikaz krugova, koji se obično koristi za ilustraciju odnosa između skupova ili grupa. Grafikoni obično uključuju boje koje se stapaju u područjima gdje se krugovi preklapaju. Setovi su predstavljeni upravo krugovima ili ovalima, iako se za njih mogu koristiti i druge figure. Inkluzija je predstavljena preklapanjem elipsa zvanih Ojlerovi krugovi.
Oni predstavljaju skupove i podskupove. Izuzetak su krugovi koji se ne preklapaju. Ojlerovi dijagrami su usko povezani sa drugim grafičkim prikazima. Često su zbunjeni. Ovaj grafički prikaz se naziva Vennovi dijagrami. U zavisnosti od kompleta u pitanju, obe verzije mogu izgledati isto. Međutim, u Venovim dijagramima, krugovi koji se preklapaju ne označavaju nužno zajedništvo između skupova, već samo mogući logički odnos ako njihove oznake nisu upresecanje kružnice. Obje opcije su usvojene za poučavanje teorije skupova kao dio novog matematičkog pokreta 1960-ih.
Fermatove i Eulerove teoreme
Euler je ostavio značajan trag u matematičkoj nauci. Algebarska teorija brojeva obogaćena je teoremom nazvanom po njemu. To je također posljedica još jednog važnog otkrića. Ovo je takozvana opća algebarska Lagrangeova teorema. Ojlerovo ime je također povezano s Fermatovom malom teoremom. Kaže da ako je p prost broj, a a cijeli broj koji nije djeljiv sa p, onda:
ap-1 - 1 je deljivo sa p.
Ponekad isto otkriće ima drugačiji naziv, najčešće se nalazi u stranoj literaturi. Zvuči kao Fermatova Božićna teorema. Stvar je u tome da je otkriće postalo poznato zahvaljujući pismu naučnika poslanom uoči 25. decembra 1640. godine. Ali sama izjava se već susrela. Koristio ga je drugi naučnik po imenu Albert Girard. Fermat je samo pokušao da dokaže svoju teoriju. Autor u drugom pismu nagoveštava da je bio inspirisan metodom beskonačnog spuštanja. Ali nije pružio nikakve dokaze. Kasnije se i Eider okrenuo istom metodu. A nakon njega - mnogi drugi poznati naučnici, uključujući Lagranža, Gausa i Minkoskog.
Obilježja identiteta
Fermatova mala teorema se također naziva specijalnim slučajem teoreme iz teorije brojeva zbog Eulera. U ovoj teoriji, Eulerova funkcija identiteta broji pozitivne cijele brojeve do datog cijelog broja n. Oni su koprimarni u odnosu nan. Ojlerova teorema u teoriji brojeva napisana je grčkim slovom φ i izgleda kao φ(n). Može se formalnije definirati kao broj cijelih brojeva k u opsegu 1 ≦ k ≦ n za koji je najveći zajednički djelitelj gcd(n, k) 1. Oznaka φ(n) se također može nazvati Ojlerovom phi funkcijom. Cijeli brojevi k ovog oblika se ponekad nazivaju ukupnim. U srcu teorije brojeva, Ojlerova funkcija identiteta je multiplikativna, što znači da ako su dva broja m i n koprosta, onda je φ(mn)=φ(m)φ(n). Takođe igra ključnu ulogu u definisanju RSA enkripcionog sistema.
Ojlerova funkcija uvedena je 1763. godine. Međutim, u to vrijeme matematičar za nju nije izabrao nikakav poseban simbol. U publikaciji iz 1784. Ojler je detaljnije proučavao ovu funkciju i odabrao grčko slovo π da je predstavlja. James Sylvester je skovao izraz "ukupno" za ovu karakteristiku. Stoga se naziva i Ojlerovom ukupnom. Ukupan φ(n) pozitivnog cijelog broja n veći od 1 je broj pozitivnih cijelih brojeva manjih od n koji su relativno prosti do n. φ(1) je definiran kao 1. Ojlerova funkcija ili phi(φ) funkcija je veoma važna teoretska funkcija, funkcija duboko povezana s prostim brojevima i takozvanim redom cijelih brojeva.
