Tangencijalno ili tangencijalno ubrzanje

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Sva tijela koja nas okružuju su u stalnom pokretu. Kretanje tijela u svemiru promatra se na svim razinama, počevši od kretanja elementarnih čestica u atomima materije pa do ubrzanog kretanja galaksija u Univerzumu. U svakom slučaju, proces kretanja se odvija ubrzanjem. U ovom članku ćemo detaljno razmotriti koncept tangencijalnog ubrzanja i dati formulu po kojoj se može izračunati.

Kinematske količine

Prije nego što počnemo govoriti o tangencijalnom ubrzanju, razmotrimo koje je veličine uobičajeno karakterizirati proizvoljno mehaničko kretanje tijela u prostoru.

Pre svega, ovo je put L. Pokazuje razdaljinu u metrima, centimetrima, kilometrima itd., telo je prešlo određeni vremenski period.

Druga važna karakteristika kinematike je brzina tijela. Za razliku od putanje, to je vektorska veličina i usmjerena je duž putanjepokreti tela. Brzina određuje brzinu promjene prostornih koordinata u vremenu. Formula za njegovo izračunavanje je:

v¯=dL/dt

Brzina je vremenski derivat putanje.

Konačno, treća važna karakteristika kretanja tijela je ubrzanje. Prema definiciji u fizici, ubrzanje je veličina koja određuje promjenu brzine s vremenom. Formula za to se može napisati kao:

a¯=dv¯/dt

Ubrzanje je, kao i brzina, također vektorska veličina, ali za razliku od nje, usmjereno je u smjeru promjene brzine. Smjer ubrzanja se također poklapa sa vektorom rezultujuće sile koja djeluje na tijelo.

Trajektorija i ubrzanje

Mnogi problemi u fizici razmatraju se u okviru pravolinijskog kretanja. U ovom slučaju, po pravilu, ne govore o tangencijalnom ubrzanju tačke, već rade sa linearnim ubrzanjem. Međutim, ako kretanje tijela nije linearno, tada se njegovo puno ubrzanje može razložiti na dvije komponente:

tangent;
normalno.

U slučaju linearnog kretanja, normalna komponenta je nula, tako da ne govorimo o vektorskoj ekspanziji ubrzanja.

Dakle, putanja kretanja u velikoj mjeri određuje prirodu i komponente punog ubrzanja. Putanja kretanja se shvaća kao zamišljena linija u prostoru duž koje se tijelo kreće. Bilo kojikrivolinijska putanja dovodi do pojave gore navedenih komponenti ubrzanja koje nisu nula.

Određivanje tangencijalnog ubrzanja

Tangencijalno ili, kako se još naziva, tangencijalno ubrzanje je komponenta punog ubrzanja, koja je usmjerena tangencijalno na putanju kretanja. Budući da je brzina također usmjerena duž putanje, tangencijalni vektor ubrzanja se poklapa sa vektorom brzine.

Koncept ubrzanja kao mjere promjene brzine dat je gore. Budući da je brzina vektor, može se mijenjati po modulu ili u smjeru. Tangencijalno ubrzanje određuje samo promjenu modula brzine.

Primjetite da u slučaju pravolinijskog kretanja, vektor brzine ne mijenja svoj smjer, stoga su, u skladu s gornjom definicijom, tangencijalno ubrzanje i linearno ubrzanje iste vrijednosti.

Dobivanje jednadžbe tangencijalnog ubrzanja

Pretpostavimo da se tijelo kreće duž neke zakrivljene putanje. Tada se njegova brzina v¯ u odabranoj tački može predstaviti na sljedeći način:

v¯=vu_t¯

Ovdje je v modul vektora v¯, u_{t¯ je vektor jedinične brzine usmjeren tangencijalno na putanju.}

Koristeći matematičku definiciju ubrzanja, dobijamo:

a¯=dv¯/dt=d(vu_t¯)/dt=dv/dtu_t ¯ + vd(u_t¯)/dt

Prilikom pronalaženja derivacije, ovdje je korišteno svojstvo proizvoda dvije funkcije. Vidimo da ukupno ubrzanje a¯ u razmatranoj tački odgovara zbiru dva člana. Oni su tangenta i normalno ubrzanje tačke, respektivno.

Recimo nekoliko riječi o normalnom ubrzanju. Odgovoran je za promjenu vektora brzine, odnosno za promjenu smjera kretanja tijela duž krivulje. Ako eksplicitno izračunamo vrijednost drugog člana, dobijamo formulu za normalno ubrzanje:

a=vd(u_t¯)/dt=v^{2/ r}

Normalno ubrzanje je usmjereno duž normale vraćene na datu tačku krive. U slučaju kružnog kretanja, normalno ubrzanje je centripetalno.

Jednačina tangencijalnog ubrzanja a_{t¯ je:}

a_t¯=dv/dtu_t¯

Ovaj izraz kaže da tangencijalno ubrzanje ne odgovara promjeni smjera, već promjeni modula brzine v¯ u određenom trenutku. Pošto je tangencijalno ubrzanje usmjereno tangencijalno na razmatranu tačku putanje, ono je uvijek okomito na normalnu komponentu.

Tangencijalno ubrzanje i ukupni modul ubrzanja

Sve gore navedene informacije koje vam omogućavaju da izračunate ukupno ubrzanje kroz tangentu i normalu. Zaista, budući da su obje komponente međusobno okomite, njihovi vektori formiraju katete pravokutnog trokuta,čija je hipotenuza vektor ukupnog ubrzanja. Ova činjenica nam omogućava da zapišemo formulu za ukupni modul ubrzanja u sljedećem obliku:

a=√(a² + a_t²⁾

Ugao θ između punog i tangencijalnog ubrzanja može se definirati na sljedeći način:

θ=arccos(a_t/a)

Što je veće tangencijalno ubrzanje, bliži su smjerovi tangencijalnog i punog ubrzanja.

Odnos između tangencijalnog i ugaonog ubrzanja

Tipična krivolinijska putanja duž koje se tijela kreću u tehnologiji i prirodi je krug. Zaista, kretanje zupčanika, lopatica i planeta oko njihove vlastite ose ili oko njihovih svjetiljki događa se upravo u krugu. Kretanje koje odgovara ovoj putanji naziva se rotacija.

Kinematiku rotacije karakteriziraju iste vrijednosti kao i kinematika kretanja po pravoj liniji, međutim, imaju ugaoni karakter. Dakle, za opisivanje rotacije koriste se centralni ugao rotacije θ, ugaona brzina ω i ubrzanje α. Za ove količine važe sljedeće formule:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt

Pretpostavimo da je tijelo napravilo jedan okret oko ose rotacije za vrijeme t, tada za ugaonu brzinu možemo napisati:

ω=2pi/t

Linearna brzina u ovom slučaju će biti jednaka:

v=2pir/t

Gdje je r polumjer putanje. Poslednja dva izraza nam omogućavaju da pišemoformula za povezivanje dvije brzine:

v=ωr

Sada izračunavamo vremenski izvod lijeve i desne strane jednačine, dobijamo:

dv/dt=rdω/dt

Desna strana jednakosti je proizvod ugaonog ubrzanja i poluprečnika kružnice. Lijeva strana jednadžbe je promjena modula brzine, odnosno tangencijalno ubrzanje.

Dakle, tangencijalno ubrzanje i slična ugaona vrijednost povezani su jednakošću:

a_t=αr

Ako pretpostavimo da se disk rotira, tada će se tangencijalno ubrzanje tačke pri konstantnoj vrijednosti α povećavati linearno sa povećanjem udaljenosti od ove tačke do rotacijske ose r.

Sljedeće ćemo riješiti dva problema koristeći gornje formule.

Određivanje tangencijalnog ubrzanja iz poznate funkcije brzine

Poznato je da se brzina tijela koje se kreće duž određene zakrivljene putanje opisuje sljedećom funkcijom vremena:

v=2t2+ 3t + 5

Potrebno je odrediti formulu za tangencijalno ubrzanje i pronaći njegovu vrijednost u trenutku t=5 sekundi.

Prvo, napišimo formulu za modul tangencijalnog ubrzanja:

a_t=dv/dt

To jest, da biste izračunali funkciju a_{t(t), trebali biste odrediti derivaciju brzine u odnosu na vrijeme. Imamo:}

a_t=d(2t^{2+ 3t + 5)/dt=4t + 3}

Zamjenom vremena t=5 sekundi u rezultirajući izraz, dolazimo do odgovora: a_t=23 m/s^2.

Imajte na umu da je graf brzine u odnosu na vrijeme u ovom problemu parabola, dok je graf tangencijalnog ubrzanja prava linija.

Zadatak tangencijalnog ubrzanja

Poznato je da je materijalna tačka počela ravnomerno ubrzanu rotaciju od nultog trenutka vremena. 10 sekundi nakon početka rotacije, njegovo centripetalno ubrzanje postalo je jednako 20 m/s2. Potrebno je odrediti tangencijalno ubrzanje tačke nakon 10 sekundi, ako je poznato da je polumjer rotacije 1 metar.

Prvo, zapišite formulu za centripetalno ili normalno ubrzanje a_c: