Trapez je poseban slučaj četverougla, u kojem je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapez" dolazi od grčke riječi τράπεζα, što znači "sto", "sto". U ovom članku ćemo razmotriti vrste trapeza i njegova svojstva. Osim toga, shvatit ćemo kako izračunati pojedinačne elemente ove geometrijske figure. Na primjer, dijagonala jednakokračnog trapeza, srednja linija, površina itd. Materijal je predstavljen u stilu elementarne popularne geometrije, odnosno u lako dostupnom obliku.
Opće informacije
Prvo, hajde da shvatimo šta je četvorougao. Ova figura je poseban slučaj poligona koji sadrži četiri strane i četiri vrha. Dva vrha četverougla koji nisu susjedni nazivaju se suprotnim. Isto se može reći i za dvije nesusjedne strane. Glavne vrste četvorouglova su paralelogram, pravougaonik, romb, kvadrat, trapez ideltoid.
Dakle, nazad na trapez. Kao što smo već rekli, ova figura ima dvije strane koje su paralelne. Zovu se baze. Druge dvije (neparalelne) su stranice. U materijalima za ispite i razne testove često se mogu naći zadaci vezani za trapeze, čije rješavanje često zahtijeva od studenta znanja koja nisu predviđena programom. Školski predmet geometrije upoznaje učenike sa svojstvima uglova i dijagonala, kao i središnje linije jednakokračnog trapeza. Ali uostalom, pored ovoga, pomenuta geometrijska figura ima i druge karakteristike. Ali više o njima kasnije…
Vrste trapeza
Postoji mnogo tipova ove figure. Međutim, najčešće je uobičajeno uzeti u obzir dva od njih - jednakokraki i pravougaoni.
1. Pravougaoni trapez je figura u kojoj je jedna od stranica okomita na osnovice. Njena dva ugla su uvijek devedeset stepeni.
2. Jednakokraki trapez je geometrijska figura čije su stranice jednake jedna drugoj. To znači da su uglovi na bazama također parno jednaki.
Glavni principi tehnike za proučavanje svojstava trapeza
Glavni princip je korištenje tzv. pristupa zadataka. U stvari, nema potrebe uvoditi nova svojstva ove figure u teorijski kurs geometrije. Mogu se otkriti i formulisati u procesu rješavanja različitih problema (boljih od sistemskih). Istovremeno, veoma je važno da nastavnik zna koji su zadaci potrebni.staviti pred školarce u jednom ili drugom trenutku obrazovnog procesa. Štaviše, svako svojstvo trapeza može biti predstavljeno kao ključni zadatak u sistemu zadataka.
Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To podrazumijeva povratak u procesu učenja na individualne karakteristike date geometrijske figure. Tako ih učenici lakše pamte. Na primjer, svojstvo četiri boda. To se može dokazati kako u proučavanju sličnosti, tako i naknadno uz pomoć vektora. A jednaka površina trokuta koji su susjedni stranicama figure može se dokazati primjenom ne samo osobina trokuta jednakih visina povučenih na stranice koje leže na istoj pravoj liniji, već i korištenjem formule S=1/ 2(absinα). Osim toga, možete razraditi teoremu sinusa na upisanom trapezu ili pravokutnom trokutu na opisanom trapezu, itd.
Upotreba "vannastavnih" karakteristika geometrijske figure u sadržaju školskog predmeta je tehnologija zadataka za njihovo podučavanje. Neprestano pozivanje na proučavana svojstva prilikom prolaska kroz druge teme omogućava studentima da steknu dublje znanje o trapezu i osigurava uspješnost rješavanja zadataka. Dakle, počnimo proučavati ovu divnu figuru.
Elementi i svojstva jednakokrakog trapeza
Kao što smo već napomenuli, strane ove geometrijske figure su jednake. Poznat je i kao desni trapez. Zašto je tako izvanredan i zašto je dobio takvo ime?Karakteristike ove figure uključuju činjenicu da ne samo da su stranice i uglovi u bazama jednaki, već i dijagonale. Takođe, zbir uglova jednakokrakog trapeza je 360 stepeni. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza, samo se oko jednakokrake može opisati kružnica. To je zbog činjenice da je zbir suprotnih uglova ove figure 180 stepeni, a samo pod tim uslovom može se opisati krug oko četvorougla. Sljedeće svojstvo razmatrane geometrijske figure je da će udaljenost od osnovnog vrha do projekcije suprotnog vrha na pravu koja sadrži ovu osnovu biti jednaka srednjoj liniji.
Sada shvatimo kako pronaći uglove jednakokračnog trapeza. Razmotrite rješenje ovog problema, pod uslovom da su poznate dimenzije stranica figure.
Odluka
Uobičajeno, četvorougao se obično označava slovima A, B, C, D, gde su BS i AD baze. U jednakokrakom trapezu, stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina X, a veličine baza su Y i Z (manje, odnosno veće). Da bismo izvršili proračun, potrebno je povući visinu H iz ugla B. Rezultat je pravougli trougao ABN, gde je AB hipotenuza, a BN i AN katete. Izračunavamo veličinu noge AN: od veće baze oduzimamo manju, a rezultat dijelimo sa 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (Z-Y) / 2=F. Sada, da izračunamo oštar ugao trokuta, koristimo funkciju cos. Dobijamo sljedeći zapis: cos(β)=H/F. Sada izračunavamo ugao: β=arcos (H/F). Nadalje, znajući jedan ugao, možemo odrediti idrugo, za ovo izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi uglovi su definirani.
Postoji i drugo rješenje za ovaj problem. Na početku spuštamo visinu H od ugla B. Izračunavamo vrijednost BN noge. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak zbiru kvadrata kateta. Dobijamo: BN \u003d √ (X2-F2). Zatim koristimo trigonometrijsku funkciju tg. Kao rezultat, imamo: β=arctg (BN / F). Pronađen oštar ugao. Zatim definišemo tupi ugao slično prvom metodu.
Svojstvo dijagonala jednakokrakog trapeza
Prvo, zapišimo četiri pravila. Ako su dijagonale jednakokračnog trapeza okomite, tada:
- visina figure će biti jednaka zbroju osnova podijeljen sa dva;
- njegova visina i srednja linija su jednake;
- površina trapeza će biti jednaka kvadratu visine (srednja linija, polovina zbira baza);
- kvadrat dijagonale jednak je polovini kvadrata zbira osnova ili dvostrukom kvadratu srednje linije (visine).
Sada razmotrite formule koje određuju dijagonalu jednakokračnog trapeza. Ovaj blok informacija može se uslovno podijeliti na četiri dijela:
1. Formula za dužinu dijagonale u smislu njenih stranica.
Prihvatamo da je A donja baza, B gornja baza, C jednake stranice, D dijagonala. U ovom slučaju, dužina se može odrediti na sljedeći način:
D=√(C2+AB).
2. Formule za dužinu dijagonale prema kosinusnoj teoremi.
Prihvatamo da je A donja baza, B gornja baza, C jednake stranice, D dijagonala, α (na donjoj bazi) i β (na gornjoj bazi)- trapezni uglovi. Dobijamo sljedeće formule pomoću kojih možete izračunati dužinu dijagonale:
- D=√(A2+C2-2ACcosα);
- D=√(A2+C2-2ACcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosα).
3. Formule za dužinu dijagonala jednakokračnog trapeza.
Prihvatamo da je A donja baza, B gornja baza, D je dijagonala, M je srednja linija, H je visina, P je površina trapeza, α i β su uglovima između dijagonala. Odredite dužinu koristeći sljedeće formule:
- D=√(M2+H2);
- D=√(H2+(A+B)2/4);
- D=√(N(A+B)/sinα)=√(2P/sinα)=√(2MN/sinα).
Za ovaj slučaj, jednakost je tačna: sinα=sinβ.
4. Formule za dužinu dijagonale u smislu stranica i visine.
Prihvatamo da je A donja baza, B gornja osnova, C stranice, D je dijagonala, H je visina, α je ugao na donjoj bazi.
Odredite dužinu koristeći sljedeće formule:
- D=√(N2+(A-Rctgα)2);
- D=√(N2+(V+Rctgα)2);
- D=√(A2+C2-2A√(C2-H2)).
Elementi i svojstva pravokutnog trapeza
Pogledajmo šta je zanimljivo kod ove geometrijske figure. Kao što smo rekli, pravougaoni trapez ima dva prava ugla.
Osim klasične definicije, postoje i druge. Na primjer, pravokutni trapez je trapez čija je jedna strana okomita na baze. Ili figura koja ima prave uglove sa strane. Ovotip trapeza, visina je jednaka strani koja je okomita na osnovice. Srednja linija je segment koji spaja sredine dvije strane. Svojstvo pomenutog elementa je da je paralelan sa bazama i jednak polovini njihovog zbira.
Sada pogledajmo osnovne formule koje definiraju ovu geometrijsku figuru. Da bismo to učinili, pretpostavljamo da su A i B baze; C (okomito na osnove) i D - stranice pravokutnog trapeza, M - srednja linija, α - oštar ugao, P - površina.
1. Bočna strana, okomita na baze, jednaka je visini figure (C \u003d H), i jednaka je proizvodu dužine druge stranice D i sinusa ugla α s većom bazom (C \u003d Dsin α). Osim toga, jednak je proizvodu tangente oštrog ugla α i razlike baza: S=(A-B)tgα.
2. Bočna stranica D (nije okomita na osnovice) jednaka je količniku razlike između A i B i kosinusa (α) oštrog ugla ili količnika visine figure H i sinusa oštrog ugla: D \u003d (A-B) / cos α \u003d C / sin α.
3. Bočna stranica, koja je okomita na osnovice, jednaka je kvadratnom korijenu razlike kvadrata D - druge stranice - i kvadrata razlike baza:
C=√(D2-(A-B)2).
4. Strana D pravougaonog trapeza jednaka je kvadratnom korenu zbira kvadrata stranice C i kvadrata razlike između osnova geometrijske figure: D=√(C2+(A-B)2).
5. Bočna strana C jednaka je količniku dijeljenja dvostruke površine zbirom njegovih baza: C=P / M=2P / (A + B).
6. Površina je određena umnoškom M (srednja linija pravokutnog trapeza) i visine ilistrana, okomito na baze: P=MN=MS.
7. Strana C jednaka je količniku dijeljenja dvostruke površine figure umnoškom sinusa oštrog ugla i zbira njegovih baza: C=P / Msinα=2P / ((A + B)sinα).
8. Formule bočne strane pravokutnog trapeza u smislu njegovih dijagonala i ugla između njih:
- sinα=sinβ;
- S=(D1D2/(A+B))sinα=(D1D2/(A+B))sinβ, gdje su D1 i D2 dijagonale trapeza; α i β su uglovi između njih.
9. Formule bočne strane kroz kut na donjoj bazi i drugim stranama: D \u003d (A-B) / cosα \u003d C / sinα \u003d H / sinα.
Pošto je trapez sa pravim uglom poseban slučaj trapeza, ostale formule koje definišu ove figure će takođe odgovarati pravougaonom.
Svojstva upisanog kruga
Ako uslov kaže da je krug upisan u pravougaoni trapez, tada se mogu koristiti sljedeća svojstva:
- zbir osnova je jednak zbiru strana;
- udaljenosti od vrha pravougaone figure do dodirnih tačaka upisane kružnice su uvijek jednake;
- visina trapeza je jednaka stranici, okomita na osnovice i jednaka prečniku kružnice;
- središte kružnice je tačka u kojoj se sijeku simetrale ugla;
- ako je bočna strana podijeljena točkom dodira na segmente H i M, tada je polumjer kružnice jednak kvadratnom korijenu proizvoda ovih segmenata;
- četvorougao formiran od tangentnih tačaka, vrha trapeza i centra upisane kružnice jekvadrat čija je stranica jednaka poluprečniku;
- površina figure je jednaka umnošku osnova i umnožaka polovine zbira osnovica i njegove visine.
Sličan trapez
Ova tema je vrlo zgodna za proučavanje svojstava ove geometrijske figure. Na primjer, dijagonale dijele trapez na četiri trokuta, a oni koji su susjedni bazama su slični, a oni susjedni stranicama jednaki. Ova tvrdnja se može nazvati svojstvom trouglova na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se kroz kriterij sličnosti u dva ugla. Da biste dokazali drugi dio, bolje je koristiti metodu ispod.
Dokaz teoreme
Prihvatamo da je lik ABSD (AD i BS osnove trapeza) podijeljen dijagonalama VD i AC. Njihova tačka preseka je O. Dobijamo četiri trougla: AOS - na donjoj bazi, BOS - na gornjoj bazi, ABO i SOD na stranicama. Trokuti SOD i BOS imaju zajedničku visinu ako su im segmenti BO i OD osnovice. Dobijamo da je razlika između njihovih površina (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS / PSOD=BO / OD=K. Dakle, PSOD=PBOS / K. Slično, BOS i AOB trouglovi imaju zajedničku visinu. Za bazu uzimamo segmente CO i OA. Dobijamo PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K i PAOB=PBOS / K. Iz ovoga slijedi da je PSOD=PAOB.
Za konsolidaciju gradiva, učenicima se savjetuje da pronađu vezu između površina dobijenih trouglova, na koje je dijagonala podijeljen trapez, rješavanjem sljedećeg zadatka. To je poznatopovršine trokuta BOS i AOD su jednake, potrebno je pronaći površinu trapeza. Budući da je PSOD=PAOB, to znači da je PABSD=PBOS + PAOD + 2PSOD. Iz sličnosti trouglova BOS i AOD proizilazi da je BO / OD=√ (PBOS / PAOD). Dakle, PBOS/PSOD=BO/OD=√(PBOS/PAOD). Dobijamo PSOD=√ (PBOSPAOD). Tada je PABSD=PBOS+PAOD+2√(PBOSPAOD)=(√PBOS+√PAOD)2.
Slična svojstva
Nastavljajući da razvijamo ovu temu, možemo dokazati druge zanimljive karakteristike trapeza. Dakle, koristeći sličnost, možete dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz tačku formiranu presjekom dijagonala ove geometrijske figure, paralelno s bazama. Da bismo to uradili, rešavamo sledeći zadatak: potrebno je pronaći dužinu odseka RK, koji prolazi kroz tačku O. Iz sličnosti trouglova AOD i BOS sledi da je AO/OS=AD/BS. Iz sličnosti trokuta AOP i ASB slijedi da je AO / AS=RO / BS=AD / (BS + AD). Odavde dobijamo da RO=BSAD / (BS + AD). Slično tome, iz sličnosti trokuta DOK i DBS, slijedi da je OK=BSAD / (BS + AD). Odavde dobijamo da je RO=OK i RK=2BSAD/(BS+AD). Segment koji prolazi kroz tačku preseka dijagonala, paralelan sa bazama i povezuje dve strane, podeljen je tačkom preseka na pola. Njegova dužina je harmonijska sredina osnova figure.
Razmotrimo sljedeće svojstvo trapeza, koje se naziva svojstvom četiri tačke. Točke sjecišta dijagonala (O), sjecišta nastavaka stranica (E), kao i sredine osnova (T i W) uvijek leže na istoj pravoj. Ovo se lako dokazuje metodom sličnosti. Rezultirajući trouglovi BES i AED su slični, i insvaka od njih, medijane ET i EZH dijele ugao na vrhu E na jednake dijelove. Prema tome, tačke E, T i W leže na istoj pravoj liniji. Na isti način na istoj pravoj se nalaze tačke T, O i G. Sve ovo proizilazi iz sličnosti trouglova BOS i AOD. Iz ovoga zaključujemo da će sve četiri tačke - E, T, O i W - ležati na jednoj pravoj liniji.
Koristeći slične trapeze, od učenika se može tražiti da pronađu dužinu segmenta (LF) koji figuru dijeli na dva slična. Ovaj segment treba da bude paralelan sa bazama. Kako su dobijeni trapezi ALFD i LBSF slični, onda je BS/LF=LF/AD. Iz toga slijedi da je LF=√(BSBP). Dobijamo da segment koji dijeli trapez na dva slična ima dužinu jednaku geometrijskoj sredini dužina osnova figure.
Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Zasnovan je na segmentu koji dijeli trapez na dvije figure jednake veličine. Prihvatamo da je trapez ABSD segmentom EN podijeljen na dva slična. Iz vrha B izostavlja se visina, koja je segmentom EH podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobijamo: PABSD / 2=(BS + EH)B1 / 2=(AD + EH)B2 / 2 i PABSD=(BS + HELL)(B1 + B2) / 2. Zatim sastavljamo sistem čija je prva jednačina (BS + EH)B1 \u003d (AD + EH)B2 i druga (BS + EH)B1=(BS + HELL)(B1 + B2) / 2. Iz toga slijedi da je B2/ B1=(BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN=((BS+AD)/2)(1+B2/ B1). Dobijamo da je dužina segmenta koji dijeli trapez na dva jednaka jednaka srednjem kvadratu dužine baza: √((BS2+AD2)/2).
Zaključci o sličnosti
Tako smo dokazali da:
1. Segment koji povezuje sredine bočnih strana na trapezu paralelan je sa AD i BS i jednak jearitmetička sredina BS i BP (dužina osnove trapeza).
2. Prava koja prolazi kroz tačku O preseka dijagonala paralelnih sa AD i BS biće jednaka harmonijskoj sredini brojeva AD i BS (2BSAD/(BS+AD)).
3. Segment koji dijeli trapez na slične ima dužinu geometrijske sredine baza BS i AD.
4. Element koji figuru dijeli na dva jednaka ima dužinu srednjih kvadrata brojeva AD i BS.
Da bi konsolidirao gradivo i razumio vezu između razmatranih segmenata, učenik ih treba izgraditi za određeni trapez. On može lako prikazati srednju liniju i segment koji prolazi kroz tačku O - presek dijagonala figure - paralelno sa bazama. Ali gdje će biti treći i četvrti? Ovaj odgovor će navesti učenika da otkrije željeni odnos između prosjeka.
Segment koji povezuje sredine dijagonala trapeza
Razmotrite sljedeće svojstvo ove figure. Prihvatamo da je segment MH paralelan bazama i da polovi dijagonale. Nazovimo tačke preseka W i W. Ovaj segment će biti jednak polurazlici baza. Analizirajmo ovo detaljnije. MSH - srednja linija trougla ABS, jednaka je BS / 2. MS - srednja linija trougla ABD, jednaka je AD / 2. Tada dobijamo da je ShSh=MSh-MSh, dakle, ShSh=AD/2-BS/2=(AD+VS)/2.
Centar gravitacije
Pogledajmo kako je ovaj element definiran za datu geometrijsku figuru. Da biste to učinili, potrebno je proširiti baze u suprotnim smjerovima. Šta to znači? Potrebno je dodati donju bazu gornjoj bazi - ubilo koju stranu, na primjer, desno. A dno je produženo za dužinu vrha ulijevo. Zatim ih povezujemo dijagonalom. Tačka presjeka ovog segmenta sa srednjom linijom figure je težište trapeza.
Upisani i opisani trapezi
Nabrojimo karakteristike ovakvih figura:
1. Trapez se može upisati u krug samo ako je jednakokračan.
2. Trapez se može opisati oko kruga, pod uslovom da je zbir dužina njihovih osnova jednak zbiru dužina stranica.
Posljedice upisanog kruga:
1. Visina opisanog trapeza je uvijek jednaka dva radijusa.
2. Bočna strana opisanog trapeza posmatra se iz središta kruga pod pravim uglom.
Prvi zaključak je očigledan, ali za dokazivanje drugog potrebno je utvrditi da je SOD ugao pravi, što, u stvari, takođe neće biti teško. Ali poznavanje ove osobine će omogućiti korištenje pravokutnog trougla prilikom rješavanja problema.
Sada specificiramo ove posljedice za jednakokraki trapez, koji je upisan u krug. Dobijamo da je visina geometrijska sredina osnova figure: H=2R=√(BSAD). Uvježbavajući osnovnu tehniku rješavanja zadataka za trapeze (princip crtanja dvije visine), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Prihvatamo da je BT visina jednakokračne figure ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Koristeći gornju formulu, ovo ne bi trebalo biti teško.
Sada shvatimo kako odrediti polumjer kružnice koristeći površinu opisanog trapeza. Ispuštanje iz vrha Bvisine do osnove krvnog pritiska. Budući da je krug upisan u trapez, tada je BS + AD=2AB ili AB=(BS + AD) / 2. Iz trougla ABN nalazimo sinα=BN / AB=2BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD)BN / 2, BN \u003d 2R. Dobijamo PABSD \u003d (BS + AD)R, iz toga slijedi da je R=PABSD / (BS + AD).
Sve formule srednje linije trapeza
Sada je vrijeme da pređemo na posljednji element ove geometrijske figure. Hajde da shvatimo koliko je jednaka srednja linija trapeza (M):
1. Prolazne baze: M=(A+B)/2.
2. Preko visine, baze i uglova:
• M=A-H(ctgα+ctgβ)/2;
• M=B+N(ctgα+ctgβ)/2.
3. Kroz visinu, dijagonale i ugao između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - uglovi između njih:
M=D1D2sinα/2N=D1D2sinβ/2N.
4. Područje i visina: M=P / N.
