Nastavnici matematike upoznaju svoje učenike sa konceptom "kombinatornog problema" već u petom razredu. To je neophodno kako bi u budućnosti mogli raditi sa složenijim zadacima. Kombinatorna priroda problema može se shvatiti kao mogućnost njegovog rješavanja nabrajanjem elemenata konačnog skupa.
Glavni znak zadataka ovog reda je pitanje za njih, koje zvuči kao "Koliko opcija?" ili "Na koliko načina?" Rješenje kombinatornih zadataka direktno zavisi od toga da li je rješavač razumio značenje, da li je uspio ispravno predstaviti radnju ili proces koji je opisan u zadatku.
Kako riješiti kombinatorni problem?
Važno je pravilno odrediti vrstu svih veza u problemu koji se razmatra, ali je potrebno provjeriti ima li u njemu ponavljanja elemenata, da li se sami elementi mijenjaju, da li njihov redoslijed igra veliku ulogu, kao i u odnosu na neke drugefaktori.
Kombinatorski problem može imati brojna ograničenja koja se mogu postaviti na veze. U tom slučaju morat ćete u potpunosti izračunati njegovo rješenje i provjeriti da li ova ograničenja utječu na povezivanje svih elemenata. Ako zaista postoji uticaj, potrebno je provjeriti koji.
Odakle početi?
Prvo morate naučiti kako riješiti najjednostavnije kombinatorne probleme. Savladavanje jednostavnog materijala omogućit će vam da naučite razumjeti složenije zadatke. Preporučuje se da prvo počnete rješavati probleme sa ograničenjima koja se ne uzimaju u obzir prilikom razmatranja jednostavnije opcije.
Takođe se preporučuje da prvo pokušate da rešite one probleme u kojima je potrebno uzeti u obzir manji broj zajedničkih elemenata. Na taj način ćete moći razumjeti princip kreiranja uzoraka i naučiti kako ih sami kreirati u budućnosti. Ako se problem za koji trebate koristiti kombinatoriku sastoji od kombinacije nekoliko jednostavnijih, preporučljivo je riješiti ga u dijelovima.
Rješavanje kombinatornih zadataka
Ovakvi problemi mogu izgledati lako rješivi, ali kombinatoriku je prilično teško savladati, neki od njih nisu riješeni posljednjih stotina godina. Jedan od najpoznatijih problema je odrediti broj magičnih kvadrata posebnog reda kada je broj n veći od 4.
Kombinatorski problem je usko povezan sa teorijom vjerovatnoće, koja se pojavila u srednjem vijeku. Vjerovatnoćaporijeklo događaja se može izračunati samo pomoću kombinatorike, u ovom slučaju će biti potrebno mijenjati sve faktore na mjestima kako bi se dobilo optimalno rješenje.
Rješavanje problema
Kombinatorni zadaci sa rješenjem se koriste za podučavanje učenika i studenata kako da rade sa ovim materijalom. Uopšteno govoreći, trebalo bi da izazovu interesovanje i želju osobe za pronalaženjem zajedničkog rešenja. Pored matematičkih proračuna, potrebno je primijeniti mentalni stres i koristiti nagađanje.
U procesu rješavanja postavljenih zadataka, dijete će moći razviti svoju matematičku maštu i kombinatorne sposobnosti, što mu može biti od velike koristi u budućnosti. Postepeno se mora povećavati nivo složenosti zadataka koji se rješavaju kako ne bi zaboravili postojeća znanja i dodali im nova.
Metoda 1. Bust
Metode za rješavanje kombinatornih zadataka se međusobno veoma razlikuju, ali sve ih učenik može koristiti da dobije odgovor. Jedan od najjednostavnijih, ali u isto vrijeme i najdužih načina je gruba sila. Uz to, samo trebate proći kroz sva moguća rješenja bez sastavljanja ikakvih šema i tabela.
Po pravilu, pitanje u takvom problemu se odnosi na moguće varijante nastanka događaja, na primjer: koji brojevi se mogu napraviti pomoću brojeva 2, 4, 8, 9? Pretraživanjem svih opcija sastavlja se odgovor koji se sastoji od mogućih kombinacija. Ova metoda je odlična ako postoji broj mogućih opcijarelativno mali.
Metoda 2. Stablo opcija
Neki kombinatorni problemi mogu se riješiti samo izradom dijagrama sa detaljima o svakom elementu. Sastavljanje stabla mogućih opcija je još jedan način da pronađete odgovor. Pogodan je za rješavanje problema koji nisu preteški, u kojima postoji dodatni uslov.
Primjer takvog zadatka:
Koji petocifreni brojevi se mogu sastaviti od brojeva 0, 1, 7, 8? Da biste to riješili, potrebno je izgraditi stablo od svih mogućih kombinacija, a postoji i dodatni uvjet - broj ne može početi od nule. Dakle, odgovor će se sastojati od svih brojeva koji počinju sa 1, 7 ili 8
Metoda 3. Formiranje tabela
Kombinatorski problemi se također mogu riješiti pomoću tabela. Slične su stablu mogućih opcija, jer nude vizualno rješenje situacije. Da biste pronašli tačan odgovor, potrebno je da formirate tabelu i ona će biti preslikana: horizontalni i vertikalni uslovi će biti isti.
Mogući odgovori će se dobiti na preseku kolona i redova. U tom slučaju se neće dobiti odgovori na raskrsnici kolone i reda sa istim podacima, te raskrsnice moraju biti posebno označene kako se ne bi zbunile prilikom sastavljanja konačnog odgovora. Ovu metodu studenti ne biraju često, mnogi preferiraju drvo sa opcijama.
Metoda 4. Množenje
Postoji još jedan način rješavanja kombinatornih problema - pravilo množenja. On je dobropogodan je u slučaju kada, prema uslovu, nije potrebno navesti sva moguća rješenja, samo treba pronaći njihov maksimalan broj. Ova metoda je jedinstvena, koristi se vrlo često kada se tek počinje rješavati kombinatorni problem.
Primjer takvog zadatka može izgledati ovako:
6 ljudi čeka ispit u hodniku. Na koliko načina možete da ih rasporedite u opštu listu? Da biste dobili odgovor, potrebno je razjasniti koliko ih može biti na prvom mjestu, koliko na drugom, na trećem itd. Odgovor će biti broj 720
Kombinatorika i njene vrste
Kombinatorni zadatak nije samo školski materijal, uče ga i studenti. U nauci postoji nekoliko vrsta kombinatorike, a svaka od njih ima svoju misiju. Enumerativna kombinatorika treba da razmotri nabrajanje i nabrajanje mogućih konfiguracija sa dodatnim uslovima.
Strukturna kombinatorika je komponenta univerzitetskog programa, proučava teoriju matroida i grafova. Ekstremna kombinatorika je također vezana za fakultetsko gradivo i ovdje postoje individualna ograničenja. Drugi dio je Ramseyeva teorija, koja se bavi proučavanjem struktura u slučajnim varijacijama elemenata. Postoji i lingvistička kombinatorika, koja se bavi pitanjem kompatibilnosti pojedinih elemenata jedan s drugim.
Metoda podučavanja kombinatornih zadataka
Prema vodičuplanova, uzrast učenika koji je predviđen za primarno upoznavanje sa ovim materijalom i za rješavanje kombinatornih zadataka je 5. razred. Tamo se studentima po prvi put nudi na razmatranje ova tema, upoznaju se sa fenomenom kombinatornosti i pokušavaju riješiti zadatke koji su im postavljeni. Istovremeno, veoma je važno da se pri postavljanju kombinatornog problema koristi metoda kada sama deca traže odgovore na pitanja.
Između ostalog, nakon proučavanja ove teme biće mnogo lakše uvesti koncept faktorijala i koristiti ga pri rješavanju jednačina, zadataka itd. Dakle, kombinatornost igra važnu ulogu u daljem obrazovanju.
Kombinatorski problemi: zašto su potrebni?
Ako znate šta su kombinatorni problemi, tada nećete imati poteškoća s njihovim rješavanjem. Tehnika njihovog rješavanja može biti korisna kada trebate kreirati rasporede, rasporede rada, kao i složene matematičke proračune koji nisu prikladni za elektronske uređaje.
U školama sa dubljim proučavanjem matematike i informatike dodatno se izučavaju kombinatorni problemi, za to se sastavljaju specijalni kursevi, nastavna sredstva i zadaci. Po pravilu, nekoliko zadataka ovog tipa može biti uključeno u Jedinstveni državni ispit iz matematike, obično su „skriveni“u dijelu C.
Kako brzo riješiti kombinatorni problem?
Veoma je važno biti u stanju vidjeti kombinatorni problembrzo, budući da može imati prikrivenu formulaciju, to je posebno važno prilikom polaganja ispita, gdje je svaki minut bitan. Zapišite odvojeno informacije koje vidite u tekstu problema na komadu papira, a zatim ih pokušajte analizirati u smislu četiri načina koja poznajete.
Ako možete staviti informaciju u tabelu ili drugu formaciju, pokušajte je riješiti. Ako ga ne možete klasificirati, u ovom slučaju je najbolje da ga ostavite neko vrijeme i pređete na drugi zadatak kako ne biste gubili dragocjeno vrijeme. Ova situacija se može izbjeći rješavanjem određenog broja zadataka ove vrste unaprijed.
Gdje mogu pronaći primjere?
Jedina stvar koja će vam pomoći da naučite kako riješiti kombinatorne probleme su primjeri. Možete ih pronaći u posebnim matematičkim zbirkama koje se prodaju u trgovinama obrazovne literature. Međutim, tamo možete pronaći informacije samo za studente, školarci će morati dodatno tražiti zadatke, po pravilu zadatke za njih izmišljaju drugi nastavnici.
Visokoškolski nastavnici smatraju da studenti treba da se obučavaju i stalno im nude dodatnu obrazovnu literaturu. Jedna od najboljih zbirki je "Metode diskretne analize u rješavanju kombinatornih problema", napisana 1977. godine i koju su više puta objavljivale vodeće izdavačke kuće u zemlji. Tamo možete pronaći zadatke koji su bili relevantni u to vrijeme i ostali relevantni i danas.
Šta ako trebate napraviti kombinatorni problem?
Najčešće je potrebno sastaviti kombinatorne problemenastavnici koji su u obavezi da nauče učenike da razmišljaju izvan okvira. Ovdje će sve ovisiti o kreativnom potencijalu kompajlera. Preporučljivo je obratiti pažnju na postojeće zbirke i pokušati sastaviti problem tako da kombinuje nekoliko načina za njegovo rješavanje odjednom i da ima različite podatke od knjige.
Univerzitetski nastavnici su u tom pogledu mnogo slobodniji od školskih nastavnika, često daju svojim učenicima zadatak da sami smisle kombinatorne probleme uz detaljne metode rješavanja i objašnjenja. Ako niste ni jedno ni drugo, možete zatražiti pomoć od onih koji se zaista razumiju u problem, kao i unajmiti privatnog učitelja. Jedan akademski sat je dovoljan da se napravi nekoliko sličnih problema.
Kombinatorika - nauka budućnosti?
Mnogi stručnjaci iz oblasti matematike i fizike smatraju da je kombinatorni problem taj koji može postati podsticaj u razvoju svih tehničkih nauka. Dovoljno je nestandardno pristupiti rješavanju određenih problema i tada će biti moguće odgovoriti na pitanja koja muče naučnike već nekoliko stoljeća. Neki od njih ozbiljno tvrde da je kombinatorika pomoć za sve moderne nauke, a posebno za astronautiku. Biće mnogo lakše izračunati putanje leta brodova koristeći kombinatorne probleme, a takođe će vam omogućiti da odredite tačnu lokaciju određenih nebeskih tela.
Primjena nestandardnog pristupa odavno je počela u azijskim zemljama, gdje studenti čakmnoženje, oduzimanje, sabiranje i dijeljenje rješavaju se kombinatornim metodama. Na iznenađenje mnogih evropskih naučnika, tehnika zaista funkcioniše. Škole u Evropi su do sada tek počele da uče iz iskustva svojih kolega. Kada će tačno kombinatorika postati jedna od glavnih grana matematike, teško je pretpostaviti. Sada nauku proučavaju vodeći svjetski naučnici koji žele da je populariziraju.
