Trougao, kvadrat, šestougao - ove figure su poznate skoro svima. Ali ne znaju svi šta je pravilan poligon. Ali to su sve isti geometrijski oblici. Pravilan mnogokut je onaj koji ima jednake uglove i stranice. Ima mnogo takvih figura, ali sve imaju ista svojstva i iste formule važe za njih.
Svojstva regularnih poligona
Bilo koji pravilan poligon, bilo da je kvadrat ili osmougao, može se upisati u krug. Ovo osnovno svojstvo se često koristi prilikom konstruisanja figure. Osim toga, krug se također može upisati u poligon. U ovom slučaju, broj dodirnih tačaka će biti jednak broju njegovih strana. Važno je da kružnica upisana u pravilan poligon sa sobom ima zajednički centar. Ove geometrijske figure podliježu istim teoremama. Bilo koja stranapravilnog n-ugla je u vezi sa poluprečnikom R kružnice koja je opisana oko njega, pa se može izračunati pomoću sledeće formule: a=2R ∙ sin180°. Kroz radijus kruga možete pronaći ne samo stranice, već i perimetar poligona.
Kako pronaći broj strana pravilnog poligona
Svaki regularni n-ugao sastoji se od određenog broja segmenata koji su međusobno jednaki, koji, kada su povezani, formiraju zatvorenu liniju. U ovom slučaju, svi uglovi formirane figure imaju istu vrijednost. Poligoni se dijele na jednostavne i složene. Prva grupa uključuje trokut i kvadrat. Složeni poligoni imaju više strana. Oni također uključuju figure u obliku zvijezda. Za složene pravilne poligone, stranice se nalaze upisivanjem u krug. Hajde da damo dokaz. Nacrtajte pravilan poligon sa proizvoljnim brojem stranica n. Opišite krug oko njega. Navedite polumjer R. Sada zamislite da je zadan neki n-ugao. Ako tačke njegovih uglova leže na kružnici i jednake su jedna drugoj, tada se stranice mogu naći po formuli: a=2R ∙ sinα: 2.
Pronalaženje broja stranica upisanog pravilnog trougla
Jednakostranični trougao je pravilan poligon. Za njega vrijede iste formule kao za kvadrat i n-ugao. Trokut će se smatrati ispravnim ako ima stranice iste dužine. U ovom slučaju, uglovi su 60⁰. Konstruirajte trokut sa zadatom dužinom stranice a. Znajući njegovu medijanu i visinu,možete pronaći vrijednost njegovih strana. Da bismo to učinili, koristit ćemo metodu pronalaženja kroz formulu a=x: cosα, gdje je x medijan ili visina. Pošto su sve strane trougla jednake, dobijamo a=b=c. Tada će sljedeća izjava biti tačna a=b=c=x: cosα. Slično, možete pronaći vrijednost stranica u jednakokračnom trokutu, ali x će biti data visina. Istovremeno, treba ga projektovati striktno na osnovu figure. Dakle, znajući visinu x, nalazimo stranu a jednakokračnog trokuta koristeći formulu a=b=x: cosα. Nakon što pronađete vrijednost a, možete izračunati dužinu baze c. Primijenimo Pitagorinu teoremu. Tražićemo vrednost polovine baze c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Tada je c=2xtanα. Evo jednostavnog načina da pronađete broj strana bilo kojeg upisanog poligona.
Izračunajte stranice kvadrata upisanog u krug
Kao i svaki drugi upisani pravilni poligon, kvadrat ima jednake stranice i uglove. Za njega se primjenjuju iste formule kao i za trokut. Možete izračunati stranice kvadrata koristeći vrijednost dijagonale. Razmotrimo ovu metodu detaljnije. Poznato je da dijagonala prepolovi ugao. U početku je njegova vrijednost bila 90 stepeni. Tako se nakon dijeljenja formiraju dva pravokutna trougla. Njihovi osnovni uglovi biće 45 stepeni. U skladu s tim, svaka strana kvadrata će biti jednaka, odnosno: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, gdje je e dijagonala kvadrata ili baza pravokutni trokut nastao nakon dijeljenja. To nije jedini načinpronalaženje stranica kvadrata. Upišimo ovu figuru u krug. Znajući polumjer ove kružnice R, nalazimo stranu kvadrata. Izračunat ćemo ga na sljedeći način: a4=R√2. Radijusi pravilnih poligona se izračunavaju po formuli R=a: 2tg (360o: 2n), gdje je a dužina stranice.
Kako izračunati obim n-ugla
Obim n-ugla je zbir svih njegovih strana. Lako ga je izračunati. Da biste to učinili, morate znati vrijednosti svih strana. Za neke vrste poligona postoje posebne formule. Omogućuju vam da pronađete perimetar mnogo brže. Poznato je da svaki pravilan poligon ima jednake stranice. Stoga je za izračunavanje njegovog perimetra dovoljno poznavati barem jedan od njih. Formula će ovisiti o broju strana figure. Općenito, to izgleda ovako: P \u003d an, gdje je a vrijednost stranice, a n broj uglova. Na primjer, da biste pronašli obim pravilnog osmougla sa stranom od 3 cm, morate ga pomnožiti sa 8, odnosno P=3 ∙ 8=24 cm. Za šestougao sa stranicom od 5 cm izračunavamo kako slijedi: P=5 ∙ 6=30 cm I tako za svaki poligon.
Pronalaženje perimetra paralelograma, kvadrata i romba
U zavisnosti od toga koliko strana ima pravilan poligon, izračunava se njegov perimetar. Ovo znatno olakšava zadatak. Zaista, za razliku od drugih figura, u ovom slučaju nije potrebno tražiti sve njegove strane, dovoljna je samo jedna. Po istom principu nalazimo perimetar načetvorouglovi, odnosno kvadrat i romb. Unatoč činjenici da su to različite figure, formula za njih je ista P=4a, gdje je a strana. Uzmimo primjer. Ako je stranica romba ili kvadrata 6 cm, tada nalazimo perimetar na sljedeći način: P=4 ∙ 6=24 cm Paralelogram ima samo suprotne strane. Stoga se njegov perimetar pronalazi drugom metodom. Dakle, moramo znati dužinu a i širinu b figure. Tada primjenjujemo formulu P=(a + c) ∙ 2. Paralelogram, u kojem su sve stranice i uglovi između njih jednaki, naziva se romb.
Pronalaženje perimetra jednakostraničnog i pravouglog trougla
Obim pravilnog jednakostraničnog trougla može se naći po formuli P=3a, gdje je a dužina stranice. Ako je nepoznat, može se pronaći kroz medijanu. U pravokutnom trouglu samo su dvije stranice jednake. Osnova se može naći kroz Pitagorinu teoremu. Nakon što vrijednosti sve tri strane postanu poznate, izračunavamo perimetar. Može se pronaći primjenom formule P=a + b + c, gdje su a i b jednake stranice, a c je baza. Podsjetimo da je u jednakokračnom trokutu a=b \u003d a, dakle, a + b=2a, zatim P=2a + c. Na primjer, stranica jednakokračnog trokuta je 4 cm, pronađite njegovu bazu i perimetar. Izračunavamo vrijednost hipotenuze koristeći Pitagorinu teoremu c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Sada izračunavamo perimetar R=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Kako pronaći uglove pravilnog poligona
Regularni poligonjavlja se u našim životima svaki dan, na primjer, običan kvadrat, trokut, osmougao. Čini se da nema ništa lakše nego sami izgraditi ovu figuru. Ali ovo je samo na prvi pogled. Da biste konstruirali bilo koji n-ugao, morate znati vrijednost njegovih uglova. Ali kako ih pronaći? Čak su i naučnici antike pokušavali da izgrade pravilne poligone. Pogodili su da ih stapaju u krugove. A onda su na njemu označene potrebne tačke, povezane ravnim linijama. Za jednostavne figure, problem konstrukcije je riješen. Dobijene su formule i teoreme. Na primjer, Euclid se u svom poznatom djelu "Početak" bavio rješavanjem problema za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-kuta. Pronašao je načine da ih konstruiše i pronađe uglove. Hajde da vidimo kako to učiniti za 15-gon. Prvo morate izračunati zbir njegovih unutrašnjih uglova. Potrebno je koristiti formulu S=180⁰(n-2). Dakle, dat nam je 15-ugao, što znači da je broj n 15. Podatke koje znamo zamijenimo u formulu i dobijemo S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Pronašli smo zbir svih unutrašnjih uglova 15-kuta. Sada trebamo dobiti vrijednost svakog od njih. Ukupno je uglova 15. Računamo 2340⁰: 15=156⁰. To znači da je svaki unutrašnji ugao 156⁰, a sada pomoću ravnala i šestara možete napraviti običan 15-ugao. Ali šta je sa složenijim n-uglovima? Vekovima su se naučnici borili da reše ovaj problem. Pronašao ju je tek u 18. veku Carl Friedrich Gauss. Bio je u stanju da napravi 65537-gon. Od tada se problem zvanično smatra potpuno riješenim.
Izračunavanje uglova n-uglovau radijanima
Naravno, postoji nekoliko načina da pronađete uglove poligona. Najčešće se računaju u stepenima. Ali možete ih izraziti i u radijanima. Kako uraditi? Potrebno je postupiti na sljedeći način. Prvo saznamo broj stranica pravilnog poligona, a zatim od njega oduzmemo 2. Dakle, dobijemo vrijednost: n - 2. Pronađenu razliku pomnožimo brojem n (“pi”=3, 14). Sada ostaje samo podijeliti rezultirajući proizvod brojem uglova u n-kutu. Razmotrite ove proračune koristeći primjer iste petnaestostrane. Dakle, broj n je 15. Primijenite formulu S=p(n - 2): n=3, 14 (15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Ovo, naravno, nije jedini način izračunavanja ugla u radijanima. Možete jednostavno podijeliti veličinu ugla u stepenima sa brojem 57, 3. Na kraju krajeva, toliko stepeni je ekvivalentno jednom radijanu.
Izračunajte vrijednost uglova u stepenima
Pored stepeni i radijana, možete pokušati pronaći vrijednost uglova pravilnog poligona u stepenima. To se radi na sljedeći način. Od ukupnog broja uglova oduzmite 2, a rezultujuću razliku podelite sa brojem strana pravilnog poligona. Pronađeni rezultat množimo sa 200. Usput, takva jedinica za mjerenje uglova kao što je tuča se praktično ne koristi.
Proračun vanjskih uglova n-uglova
Za bilo koji pravilan poligon, osim za unutrašnji, možete izračunati i vanjski ugao. Njegova vrijednost se nalazi na isti način kao i za druge brojke. Dakle, da biste pronašli vanjski ugao pravilnog poligona, trebateznati značenje unutrašnjeg. Nadalje, znamo da je zbir ova dva ugla uvijek 180 stepeni. Zbog toga radimo proračune na sljedeći način: 180⁰ minus vrijednost unutrašnjeg ugla. Pronalazimo razliku. Bit će jednak vrijednosti ugla pored njega. Na primjer, unutrašnji ugao kvadrata je 90 stepeni, tako da će vanjski ugao biti 180⁰ - 90⁰=90⁰. Kao što vidimo, nije ga teško pronaći. Vanjski ugao može uzeti vrijednost od +180⁰ do -180⁰, respektivno.
