Ovi geometrijski oblici okružuju nas posvuda. Konveksni poligoni mogu biti prirodni, kao što je saće, ili umjetni (uvijeni). Ove figure se koriste u proizvodnji raznih vrsta premaza, u slikarstvu, arhitekturi, dekoraciji itd. Konveksni poligoni imaju svojstvo da su sve njihove tačke na istoj strani prave linije koja prolazi kroz par susjednih vrhova ove geometrijske figure. Postoje i druge definicije. Poligon se naziva konveksan ako se nalazi u jednoj poluravni u odnosu na bilo koju pravu liniju koja sadrži jednu od njegovih stranica.
konveksni poligoni
U toku elementarne geometrije uvijek se razmatraju samo jednostavni poligoni. Razumjeti sva svojstva takvihgeometrijskih oblika, potrebno je razumjeti njihovu prirodu. Za početak, treba shvatiti da se svaka linija naziva zatvorenom, čiji se krajevi poklapaju. Štoviše, figura koju formira može imati različite konfiguracije. Poligon je jednostavna zatvorena izlomljena linija, u kojoj se susjedne veze ne nalaze na istoj pravoj liniji. Njegove veze i vrhovi su, respektivno, stranice i vrhovi ove geometrijske figure. Jednostavna polilinija ne smije imati samopresijecanja.
Vrhovi poligona nazivaju se susjednim ako predstavljaju krajeve jedne od njegovih stranica. Geometrijska figura koja ima n-ti broj vrhova, a time i n-ti broj stranica, naziva se n-ugao. Sama izlomljena linija naziva se ivica ili kontura ove geometrijske figure. Poligonalna ravan ili ravan poligon naziva se krajnji dio bilo koje ravni koja je njome ograničena. Susjedne strane ove geometrijske figure nazivaju se segmenti izlomljene linije koja izlazi iz jednog vrha. Oni neće biti susjedni ako dolaze iz različitih vrhova poligona.
Druge definicije konveksnih poligona
U elementarnoj geometriji postoji još nekoliko ekvivalentnih definicija koje pokazuju koji se poligon naziva konveksan. Sve ove izjave su podjednako tačne. Poligon se smatra konveksnim ako:
• svaki segment koji povezuje bilo koje dvije tačke unutar njega leži u potpunosti unutar njega;
• unutar njegasve njegove dijagonale leže;
• bilo koji unutrašnji ugao ne prelazi 180°.
Poligon uvijek dijeli ravan na 2 dijela. Jedan od njih je ograničen (može biti zatvoren u krug), a drugi je neograničen. Prvi se zove unutrašnja regija, a drugi je vanjski dio ove geometrijske figure. Ovaj poligon je sjecište (drugim riječima, zajednička komponenta) nekoliko poluravni. Štaviše, svaki segment koji se završava u tačkama koje pripadaju poligonu u potpunosti pripada njemu.
Varieti konveksnih poligona
Definicija konveksnog poligona ne ukazuje na to da ih ima mnogo vrsta. I svaki od njih ima određene kriterije. Dakle, konveksni poligoni koji imaju unutrašnji ugao od 180° nazivaju se slabo konveksnim. Konveksna geometrijska figura koja ima tri vrha naziva se trougao, četiri - četvorougao, pet - petougao, itd. Svaki od konveksnih n-uglova ispunjava sledeći osnovni uslov: n mora biti jednako ili veće od 3. Svaki od konveksnih n-uglova trouglovi su konveksni. Geometrijska figura ove vrste, u kojoj se svi vrhovi nalaze na istoj kružnici, naziva se upisana u krug. Konveksni poligon se naziva opisanim ako ga dodiruju sve njegove strane u blizini kruga. Za dva poligona se kaže da su jednaka samo ako se mogu superponirati superpozicijom. Ravan poligon naziva se poligonalna ravan.(dio ravni), koji je ograničen ovom geometrijskom figurom.
Pravilni konveksni poligoni
Pravilni poligoni su geometrijski oblici sa jednakim uglovima i stranicama. Unutar njih se nalazi tačka 0, koja je na istoj udaljenosti od svakog svog vrha. Naziva se središtem ove geometrijske figure. Segmenti koji povezuju centar sa vrhovima ove geometrijske figure nazivaju se apotemi, a oni koji spajaju tačku 0 sa stranama nazivaju se poluprečnicima.
Pravilan četvorougao je kvadrat. Jednakostranični trokut se naziva jednakostranični trokut. Za takve figure postoji sljedeće pravilo: svaki ugao konveksnog poligona je 180°(n-2)/ n, gdje je n broj vrhova ove konveksne geometrijske figure.
Površina bilo kojeg pravilnog poligona određena je formulom:
S=ph, gdje je p polovina zbroja svih strana datog poligona, a h je dužina apoteme.
Svojstva konveksnih poligona
Konveksni poligoni imaju određena svojstva. Dakle, u njemu se nužno nalazi segment koji povezuje bilo koje 2 točke takve geometrijske figure. Dokaz:
Pretpostavimo da je P dati konveksni poligon. Uzimamo 2 proizvoljne tačke, na primjer, A, B, koje pripadaju P. Prema postojećoj definiciji konveksnog poligona, ove tačke se nalaze na istoj strani prave koja sadrži bilo koju stranu od P. Dakle, AB takođe ima ovo svojstvo i sadržano je u P. Konveksni poligon se uvek može podeliti na nekoliko trouglova apsolutno svim dijagonalama povučenim iz jednog od njegovih vrhova.
Uglovi konveksnih geometrijskih oblika
Uglovi konveksnog poligona su uglovi formirani njegovim stranicama. Unutrašnji uglovi se nalaze u unutrašnjem delu date geometrijske figure. Ugao koji formiraju njegove strane koje se konvergiraju u jednom vrhu naziva se ugao konveksnog poligona. Uglovi susedni unutrašnjim uglovima date geometrijske figure nazivaju se spoljašnji. Svaki ugao konveksnog poligona koji se nalazi unutar njega je:
180° - x, gdje je x vrijednost vanjskog ugla. Ova jednostavna formula radi za sve geometrijske oblike ovog tipa.
Uopšteno govoreći, za vanjske uglove postoji sljedeće pravilo: svaki ugao konveksnog poligona jednak je razlici između 180° i vrijednosti unutrašnjeg ugla. Može imati vrijednosti u rasponu od -180° do 180°. Stoga, kada je unutrašnji ugao 120°, vanjski ugao će biti 60°.
Zbir uglova konveksnih poligona
Zbir unutrašnjih uglova konveksnog poligona postavlja se formulom:
180°(n-2), gdje je n broj vrhova n-ugla.
Zbroj uglova konveksnog poligona je prilično lako izračunati. Razmotrite bilo koju takvu geometrijsku figuru. Da bi se odredio zbir uglova unutar konveksnog poligona, potrebno jepovezati jedan od njegovih vrhova sa drugim vrhovima. Kao rezultat ove akcije, dobijaju se (n-2) trokuta. Znamo da je zbir uglova bilo kojeg trougla uvijek 180°. Pošto je njihov broj u bilo kom poligonu (n-2), zbir unutrašnjih uglova takve figure je 180° x (n-2).
Zbir uglova konveksnog poligona, odnosno bilo koja dva unutrašnja i susedna spoljna ugla, za datu konveksnu geometrijsku figuru će uvek biti jednaka 180°. Na osnovu ovoga možete odrediti zbir svih njegovih uglova:
180 x n.
Zbir unutrašnjih uglova je 180°(n-2). Na osnovu toga, zbir svih vanjskih uglova ove figure postavlja se formulom:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Zbir vanjskih uglova bilo kojeg konveksnog poligona uvijek će biti 360° (bez obzira na broj strana).
Spoljni ugao konveksnog poligona je generalno predstavljen razlikom između 180° i vrednosti unutrašnjeg ugla.
Ostala svojstva konveksnog poligona
Pored osnovnih svojstava ovih geometrijskih oblika, oni imaju i druge koje nastaju prilikom manipulacije njima. Dakle, bilo koji od poligona se može podijeliti na nekoliko konveksnih n-uglova. Da biste to učinili, potrebno je nastaviti svaku njegovu stranu i izrezati ovu geometrijsku figuru duž ovih ravnih linija. Također je moguće podijeliti bilo koji poligon na nekoliko konveksnih dijelova na način da se vrhovi svakog od komada poklapaju sa svim njegovim vrhovima. Od takve geometrijske figure trokuti se mogu vrlo jednostavno napraviti crtanjem svihdijagonale iz jednog vrha. Dakle, svaki poligon se na kraju može podijeliti na određeni broj trouglova, što se ispostavilo kao vrlo korisno u rješavanju raznih problema povezanih s takvim geometrijskim oblicima.
Operimetar konveksnog poligona
Segmenti izlomljene linije, koji se nazivaju stranice poligona, najčešće se označavaju sljedećim slovima: ab, bc, cd, de, ea. Ovo su stranice geometrijske figure sa vrhovima a, b, c, d, e. Zbir dužina svih strana ovog konveksnog poligona naziva se njegov perimetar.
Obim poligona
Konveksni poligoni mogu biti upisani i opisani. Krug koji dodiruje sve strane ove geometrijske figure naziva se upisanim u nju. Takav poligon se naziva opisanim. Središte kružnice koja je upisana u poligon je presjek simetrala svih uglova unutar date geometrijske figure. Površina takvog poligona je:
S=pr, gdje je r poluprečnik upisane kružnice, a p je poluperimetar datog poligona.
Krug koji sadrži vrhove poligona naziva se opisanim oko njega. Štaviše, ova konveksna geometrijska figura se zove upisana. Centar kružnice, koji je opisan oko takvog poligona, je presjek takozvanih okomitih simetrala svih strana.
Diagonale konveksnih geometrijskih oblika
Diagonale konveksnog poligona su segmenti kojipovezati nesusedne vrhove. Svaki od njih leži unutar ove geometrijske figure. Broj dijagonala takvog n-ugla je postavljen formulom:
N=n (n – 3)/ 2.
Broj dijagonala konveksnog poligona igra važnu ulogu u elementarnoj geometriji. Broj trouglova (K) na koje je moguće podijeliti svaki konveksni poligon izračunava se po sljedećoj formuli:
K=n – 2.
Broj dijagonala konveksnog poligona uvijek zavisi od broja njegovih vrhova.
Dekompozicija konveksnog poligona
U nekim slučajevima, za rješavanje geometrijskih problema, potrebno je konveksni poligon podijeliti na nekoliko trouglova sa dijagonalama koje se ne sijeku. Ovaj problem se može riješiti izvođenjem specifične formule.
Definicija problema: nazovimo pravilnu particiju konveksnog n-ugla na nekoliko trouglova dijagonalama koje se sijeku samo na vrhovima ove geometrijske figure.
Rješenje: Pretpostavimo da su R1, R2, R3 …, Pn vrhovi ovog n-ugla. Broj Xn je broj njegovih particija. Razmotrimo pažljivo dobijenu dijagonalu geometrijske figure Pi Pn. U bilo kojoj od regularnih particija P1 Pn pripada određenom trouglu P1 Pi Pn, koji ima 1<i<n. Polazeći od ovoga i uz pretpostavku da je i=2, 3, 4 …, n-1, dobijamo (n-2) grupe ovih particija, koje uključuju sve moguće pojedinačne slučajeve.
Neka je i=2 jedna grupa regularnih particija, koja uvijek sadrži dijagonalu R2 Pn. Broj particija koje ulaze u njega isti je kao i broj particija(n-1)-ugao P2 P3 P4… Pn. Drugim riječima, jednako je Xn-1.
Ako je i=3, onda će ova druga grupa particija uvijek sadržavati dijagonale R3 R1 i R3 Pn. U ovom slučaju, broj regularnih particija koje se nalaze u ovoj grupi će se poklopiti sa brojem particija (n-2)-ugla P3 P4 … Pn. Drugim riječima, to će biti jednako Xn-2.
Neka je i=4, tada će među trokutima pravilna particija sigurno sadržavati trokut P1 P4 Pn, na koji će se pridružiti četverokut P1 P2 P3 P4, (n-3)-ugao P4 P5 … Pn. Broj pravilnih particija takvog četvorougla je X4, a broj pregrada (n-3)-ugla je Xn-3. Na osnovu prethodnog, možemo reći da je ukupan broj ispravnih particija sadržanih u ovoj grupi Xn-3 X4. Ostale grupe sa i=4, 5, 6, 7… će sadržavati Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … regularne particije.
Neka je i=n-2, tada će broj tačnih podjela u ovoj grupi biti isti kao i broj splitova u grupi gdje je i=2 (drugim riječima, jednako je Xn-1).
Pošto je X1=X2=0, X3=1, X4=2…, tada je broj svih particija konveksnog poligona:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Primjer:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Broj tačnih particija koje sijeku jednu dijagonalu unutar
Kada se provjeravaju posebni slučajevi, može doći dopretpostavka da je broj dijagonala konveksnih n-uglova jednak proizvodu svih particija ove figure sa (n-3).
Dokaz ove pretpostavke: zamislite da je P1n=Xn(n-3), tada se svaki n-ugao može podijeliti na (n-2)-trouglove. Štaviše, od njih se može sastaviti (n-3)-četvorougao. Uz to, svaki četverougao će imati dijagonalu. Kako se u ovoj konveksnoj geometrijskoj figuri mogu nacrtati dvije dijagonale, to znači da se dodatne (n-3) dijagonale mogu nacrtati u bilo kojem (n-3)-četvorouglu. Na osnovu ovoga možemo zaključiti da je u bilo kojoj regularnoj particiji moguće nacrtati (n-3)-dijagonale koje ispunjavaju uslove ovog problema.
Oblast konveksnih poligona
Često, prilikom rješavanja različitih problema elementarne geometrije, postaje potrebno odrediti površinu konveksnog poligona. Pretpostavimo da je (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n niz koordinata svih susjednih vrhova poligona koji nema samopresjeka. U ovom slučaju, njegova površina se izračunava pomoću sljedeće formule:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), gdje (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
