Inverzne trigonometrijske funkcije tradicionalno izazivaju poteškoće kod školaraca. Sposobnost izračunavanja arc tangenta broja može biti potrebna u USE zadacima u planimetriji i stereometriji. Da biste uspješno riješili jednačinu i problem s parametrom, morate razumjeti svojstva funkcije tangente luka.
Definicija
Lučni tangens broja x je broj y čiji je tangent x. Ovo je matematička definicija.
Funkcija arktangenta je zapisana kao y=arctg x.
Općenitije: y=Carctg (kx + a).
Obračun
Da biste razumjeli kako funkcionira inverzna trigonometrijska funkcija arktangensa, prvo morate zapamtiti kako se određuje vrijednost tangente broja. Pogledajmo izbliza.
Tangens od x je omjer sinusa od x i kosinusa od x. Ako je poznata barem jedna od ove dvije veličine, tada se modul druge može dobiti iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:
sin2 x + cos2 x=1.
Doduše, procjena će biti potrebna za otključavanje modula.
Akosam broj je poznat, a ne njegove trigonometrijske karakteristike, tada je u većini slučajeva potrebno približno procijeniti tangens broja pozivajući se na Bradisovu tabelu.
Izuzeci su takozvane standardne vrijednosti.
Oni su predstavljeni u sljedećoj tabeli:
Pored navedenog, standardne se mogu smatrati sve vrijednosti dobijene iz podataka dodavanjem broja u obliku ½πk (k - bilo koji cijeli broj, π=3, 14).
Sasvim isto važi i za arc tangentu: najčešće se približna vrijednost može vidjeti iz tabele, ali samo nekoliko vrijednosti je sigurno poznato:
U praksi, pri rješavanju zadataka iz školske matematike, uobičajeno je da se odgovor daje u obliku izraza koji sadrži tangentu luka, a ne njegovu približnu procjenu. Na primjer, arctg 6, arctg (-¼).
Ucrtavanje grafikona
Pošto tangenta može uzeti bilo koju vrijednost, domen funkcije arktangenta je cijela brojevna prava. Hajde da objasnimo detaljnije.
Ista tangenta odgovara beskonačnom broju argumenata. Na primjer, ne samo da je tangent nule jednak nuli, već i tangens bilo kojeg broja oblika π k, gdje je k cijeli broj. Stoga su se matematičari složili da biraju vrijednosti za tangente luka iz intervala od -½ π do ½ π. To se mora shvatiti na ovaj način. Opseg funkcije arktangenta je interval (-½ π; ½ π). Krajevi praznine nisu uključeni, pošto tangente -½p i ½p ne postoje.
U navedenom intervalu, tangenta je kontinuiranapovećava. To znači da se inverzna funkcija tangente luka također kontinuirano povećava na cijeloj brojevnoj pravoj, ali ograničena odozgo i odozdo. Kao rezultat, ima dvije horizontalne asimptote: y=-½ π i y=½ π.
U ovom slučaju, tg 0=0, ostale tačke preseka sa osom apscise, osim (0;0), graf ne može imati zbog povećanja.
Kao što slijedi iz pariteta tangentne funkcije, arktangenta ima slično svojstvo.
Da napravite grafikon, uzmite nekoliko tačaka između standardnih vrijednosti:
Izvod funkcije y=arctg x u bilo kojoj tački se izračunava po formuli:
Imajte na umu da je njegov derivat svuda pozitivan. Ovo je u skladu sa ranije donesenim zaključkom o kontinuiranom povećanju funkcije.
Drugi izvod arktangenta nestaje u tački 0, negativan je za pozitivne vrijednosti argumenta, i obrnuto.
Ovo znači da graf funkcije tangente luka ima prevojnu tačku na nuli i da je konveksan nadole na intervalu (-∞; 0] i nagore konveksan na intervalu [0; +∞).
