Sekunde, tangente - sve se to moglo čuti stotine puta na časovima geometrije. Ali matura je gotova, godine prolaze, a sva ta znanja se zaboravljaju. Šta treba zapamtiti?
Essence
Izraz "tangenta na krug" je vjerovatno svima poznat. Ali malo je vjerovatno da će svi moći brzo formulirati njegovu definiciju. U međuvremenu, tangenta je takva prava linija koja leži u istoj ravni sa kružnicom koja je siječe samo u jednoj tački. Možda ih postoji veliki izbor, ali svi imaju ista svojstva, o kojima će biti riječi u nastavku. Kao što možete pretpostaviti, tačka kontakta je mjesto gdje se kružnica i linija seku. U svakom slučaju, to je jedan, ali ako ih ima više, onda će to biti sekanta.
Historija otkrića i proučavanja
Koncept tangente pojavio se u antici. Konstrukcija ovih pravih linija, prvo do kružnice, a zatim do elipsa, parabola i hiperbola uz pomoć ravnala i šestara, izvođena je još u početnim fazama razvoja geometrije. Naravno, istorija nije sačuvala ime otkrivača, aliOčigledno je da su čak i u to vrijeme ljudi bili prilično svjesni svojstava tangente na kružnicu.
U modernim vremenima ponovo je rasplamsalo interesovanje za ovaj fenomen - započeo je novi krug proučavanja ovog koncepta, u kombinaciji sa otkrivanjem novih krivina. Dakle, Galileo je uveo koncept cikloide, a Fermat i Descartes su izgradili tangentu na nju. Što se tiče krugova, čini se da za drevne na ovim prostorima nije ostalo nikakvih tajni.
Properties
Poluprečnik nacrtan do tačke preseka će biti okomit na pravu. Ovo je
glavno, ali ne i jedino svojstvo koje ima tangenta na kružnicu. Još jedna važna karakteristika uključuje već dvije ravne linije. Dakle, kroz jednu tačku koja leži izvan kruga mogu se povući dvije tangente, dok će im segmenti biti jednaki. Postoji još jedna teorema na ovu temu, ali se ona rijetko obrađuje u okviru standardnog školskog predmeta, iako je izuzetno zgodna za rješavanje nekih problema. Zvuči ovako. Iz jedne tačke koja se nalazi izvan kruga, na nju se povlače tangenta i sekansa. Formiraju se segmenti AB, AC i AD. A je presek linija, B je tačka kontakta, C i D su preseci. U ovom slučaju važiće sljedeća jednakost: dužina tangente na kružnicu, na kvadrat, bit će jednaka umnošku segmenata AC i AD.
Iz navedenog proizilazi važna posljedica. Za svaku tačku kružnice možete izgraditi tangentu, ali samo jednu. Dokaz za to je prilično jednostavan: teoretski spuštajući na nju okomicu iz polumjera, saznajemo da je formiranatrougao ne može postojati. A to znači da je tangenta jedina.
Zgrada
Između ostalih problema u geometriji, postoji posebna kategorija, po pravilu, ne
vole učenici i studenti. Za rješavanje zadataka iz ove kategorije potrebni su vam samo kompas i ravnalo. Ovo su građevinski zadaci. Postoje i metode za konstruisanje tangente.
Dakle, data je kružnica i tačka koja leži izvan njegovih granica. I kroz njih je potrebno povući tangentu. Kako uraditi? Prije svega, trebate nacrtati segment između središta kruga O i date tačke. Zatim ga pomoću kompasa podijelite na pola. Da biste to učinili, trebate postaviti radijus - nešto više od polovine udaljenosti između središta izvorne kružnice i zadane točke. Nakon toga morate izgraditi dva luka koja se ukrštaju. Štaviše, radijus kompasa nije potrebno mijenjati, a središte svakog dijela kruga bit će početna točka i O, respektivno. Sjecišta lukova moraju biti povezana, što će segment podijeliti na pola. Postavite radijus na kompasu jednak ovoj udaljenosti. Zatim, sa centrom u točki presjeka, nacrtajte još jedan krug. Na njoj će ležati i početna tačka i O. U ovom slučaju će biti još dva preseka sa kružnicom datom u zadatku. Oni će biti dodirne tačke za početno datu tačku.
Zanimljivo
Bila je to konstrukcija tangenti na kružnicu koja je dovela do rođenja
diferencijalni račun. Prvi rad na ovu temu je bioobjavio poznati njemački matematičar Leibniz. Predvidio je mogućnost pronalaženja maksimuma, minimuma i tangenta, bez obzira na frakcijske i iracionalne vrijednosti. Pa, sada se koristi i za mnoge druge proračune.
Osim toga, tangenta na kružnicu je povezana sa geometrijskim značenjem tangente. Odatle dolazi i njegovo ime. U prijevodu s latinskog, tangens znači "tangenta". Dakle, ovaj koncept je povezan ne samo sa geometrijom i diferencijalnim računom, već i sa trigonometrijom.
Dva kruga
Ne utiče uvijek tangenta samo na jedan oblik. Ako se u jedan krug može povući ogroman broj pravih linija, zašto onda ne i obrnuto? Može. Ali zadatak u ovom slučaju je ozbiljno komplikovan, jer tangenta na dva kruga možda neće proći ni kroz jednu tačku, a relativni položaj svih ovih figura može biti vrlo
različiti.
Vrste i sorte
Kada su u pitanju dva kruga i jedna ili više linija, čak i ako se zna da su to tangente, ne postaje odmah jasno kako se sve ove figure nalaze u odnosu jedna na drugu. Na osnovu toga postoji nekoliko varijanti. Dakle, krugovi mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke ili ih uopće ne imati. U prvom slučaju će se ukrštati, au drugom će se dodirivati. A ovdje postoje dvije varijante. Ako je jedan krug, takoreći, ugrađen u drugi, onda se dodir naziva unutrašnjim, ako ne, onda vanjskim. razumeti obostranolokacija figura je moguća ne samo na osnovu crteža, već i na osnovu podataka o zbiru njihovih polumjera i udaljenosti između njihovih centara. Ako su ove dvije veličine jednake, krugovi se dodiruju. Ako je prvi veći, sijeku se, a ako je manji, onda nemaju zajedničkih tačaka.
Isto sa pravim linijama. Za bilo koja dva kruga koji nemaju zajedničke tačke, možete
konstruisati četiri tangente. Dvije od njih će se ukrštati između figura, nazivaju se unutrašnjim. Nekoliko drugih su vanjski.
Ako govorimo o krugovima koji imaju jednu zajedničku tačku, onda je zadatak znatno pojednostavljen. Činjenica je da će za svaki međusobni aranžman u ovom slučaju imati samo jednu tangentu. I proći će kroz tačku njihovog ukrštanja. Dakle konstrukcija poteškoća neće uzrokovati.
Ako figure imaju dvije tačke preseka, tada se za njih može konstruisati prava linija, tangentna na kružnicu, i jednu i drugu, ali samo spoljašnju. Rješenje ovog problema je slično onome što će biti razmotreno u nastavku.
Rješavanje problema
I unutrašnje i vanjske tangente na dvije kružnice nije tako lako konstruirati, iako se ovaj problem može riješiti. Činjenica je da se za to koristi pomoćna figura, pa razmislite sami o ovoj metodi
prilično problematično. Dakle, date su dvije kružnice s različitim polumjerima i centrima O1 i O2. Za njih, morate izgraditi dva para tangenata.
Pre svega, blizu centra većegkrugove treba graditi pomoćne. U tom slučaju, razlika između polumjera dvije početne figure mora se utvrditi na kompasu. Tangente na pomoćnu kružnicu grade se iz centra manjeg kruga. Nakon toga, iz O1 i O2, povlače se okomice na ove prave sve dok se ne sijeku s originalnim figurama. Kao što slijedi iz glavnog svojstva tangente, tražene tačke na obje kružnice se nalaze. Problem riješen, barem prvi dio.
Da biste konstruisali unutrašnje tangente, moraćete da rešite praktično
sličan zadatak. Opet je potrebna pomoćna figura, ali ovaj put će njen polumjer biti jednak zbroju originalnih. Tangente su konstruisane na njega iz centra jedne od datih kružnica. Dalji tok rješenja može se razumjeti iz prethodnog primjera.
Tangencija na krug ili čak dva ili više nije tako težak zadatak. Naravno, matematičari su odavno prestali rješavati takve probleme ručno i povjeravaju proračune posebnim programima. Ali nemojte misliti da sada nije potrebno biti u mogućnosti to učiniti sami, jer da biste ispravno formulirali zadatak za računar, morate puno toga učiniti i razumjeti. Nažalost, postoji bojazan da će nakon konačnog prelaska na testni oblik kontrole znanja, građevinski zadaci stvarati sve veće poteškoće kod učenika.
Što se tiče pronalaženja zajedničkih tangenti za više kružnica, to nije uvijek moguće, čak i ako leže u istoj ravni. Ali u nekim slučajevima možete pronaći takvu pravu liniju.
Životni primjeri
U praksi se često susreće zajednička tangenta na dva kruga, iako nije uvijek uočljiva. Transporteri, blok sistemi, remenice prijenosa remenica, zatezanje konca u šivaćoj mašini, pa čak i samo lanac bicikla - sve su to primjeri iz života. Zato nemojte misliti da geometrijski problemi ostaju samo u teoriji: u inženjerstvu, fizici, građevinarstvu i mnogim drugim oblastima, oni nalaze praktičnu primjenu.
