Krug je glavna figura u geometriji, čija se svojstva razmatraju u školi u 8. razredu. Jedan od tipičnih problema povezanih s krugom je pronaći površinu nekog njegovog dijela, koji se naziva kružni sektor. Članak daje formule za površinu sektora i dužinu njegovog luka, kao i primjer njihove upotrebe za rješavanje određenog problema.
Koncept kruga i kruga
Pre nego što damo formulu za površinu sektora kruga, razmotrimo šta je označena figura. Prema matematičkoj definiciji, krug se podrazumijeva kao takav lik na ravni, čije su sve tačke jednako udaljene od neke jedne tačke (centra).
Kada se razmatra krug, koristi se sljedeća terminologija:
- Radijus - segment koji je povučen od centralne tačke do krive kružnice. Obično se označava slovom R.
- Prečnik je segment koji spaja dve tačke kruga, ali takođe prolazi kroz centar figure. Obično se označava slovom D.
- Luk je dio zakrivljenog kruga. Mjeri se ili u jedinicama dužine ili korištenjem uglova.
Krug je još jedna važna geometrijska figura, to je zbirka tačaka koja je ograničena zakrivljenim krugom.
Oblast i obim kruga
Vrijednosti navedene u naslovu stavke izračunate su pomoću dvije jednostavne formule. Oni su navedeni ispod:
- Okrug: L=2piR.
- Oblast kruga: S=piR2.
U ovim formulama, pi je neka konstanta koja se zove Pi. Iracionalan je, odnosno ne može se tačno izraziti kao prosti razlomak. Pi je približno 3.1416.
Kao što možete vidjeti iz gornjih izraza, da bi se izračunala površina i dužina dovoljno je znati samo polumjer kružnice.
Površina sektora kruga i dužina njegovog luka
Prije razmatranja odgovarajućih formula, podsjetimo da se ugao u geometriji obično izražava na dva glavna načina:
- u seksagezimalnim stepenima, a puna rotacija oko svoje ose je 360o;
- u radijanima, izraženo kao razlomci pi i povezani sa stepenima sljedećom jednačinom: 2pi=360o.
Sektor kružnice je figura omeđena trima linijama: lukom kružnice i dva poluprečnika koja se nalaze na krajevima ovog luka. Primjer kružnog sektora prikazan je na slici ispod.
Lako je dobiti ideju o tome šta je sektor za krugrazumjeti kako izračunati njegovu površinu i dužinu odgovarajućeg luka. Na gornjoj slici se vidi da luk sektora odgovara uglu θ. Znamo da puni krug odgovara radijanima 2pi, tako da će formula za površinu kružnog sektora imati oblik: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Ovdje je ugao θ izražen u radijanima. Slična formula za područje sektora, ako se ugao θ mjeri u stepenima, izgledat će ovako: S1=piθR2 /360.
Dužina luka koji formira sektor izračunava se po formuli: L1=θ2piR/(2pi)=θR. A ako je θ poznato u stepenima, onda: L1=piθR/180.
Primjer rješavanja problema
Upotrijebimo primjer jednostavnog problema da pokažemo kako se koriste formule za površinu sektora kružnice i dužinu njegovog luka.
Poznato je da točak ima 12 krakova. Kada točak napravi jedan potpuni okret, on prelazi udaljenost od 1,5 metara. Kolika je površina zatvorena između dva susjedna kraka točka i kolika je dužina luka između njih?
Kao što možete vidjeti iz odgovarajućih formula, da biste ih koristili, morate znati dvije veličine: polumjer kružnice i ugao luka. Poluprečnik se može izračunati iz poznavanja obima točka, budući da mu put koji pređe u jednom obrtaju tačno odgovara. Imamo: 2Rpi=1,5, odakle je: R=1,5/(2pi)=0,2387 metara. Ugao između najbližih žbica može se odrediti znajući njihov broj. Pod pretpostavkom da svih 12 krakova ravnomjerno dijele krug na jednake sektore, dobijamo 12 identičnih sektora. Prema tome, ugaona mjera luka između dva kraka je: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radijana.
Pronašli smo sve potrebne vrijednosti, sada ih možemo zamijeniti u formule i izračunati vrijednosti koje zahtijeva uvjet problema. Dobijamo: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, ili 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m ili 12,5 cm.
