Nejednakosti i sistemi nejednakosti jedna je od tema koja se predaje u srednjoj školi algebre. Što se tiče težine, nije najteže, jer ima jednostavna pravila (o njima malo kasnije). Po pravilu, školarci vrlo lako uče rješavanje sistema nejednakosti. To je također zbog činjenice da nastavnici jednostavno "obučavaju" svoje učenike o ovoj temi. I to ne mogu a da ne rade, jer se to u budućnosti proučava uz korištenje drugih matematičkih veličina, a također se provjerava za OGE i Jedinstveni državni ispit. U školskim udžbenicima tema nejednakosti i sistema nejednakosti je detaljno obrađena, pa ako ćete je proučavati, onda je najbolje da im pribjegnete. Ovaj članak je samo parafraza velikog materijala i može sadržavati neke izostave.
Koncept sistema nejednakosti
Ako se okrenemo naučnom jeziku, možemo definisati pojam "sistemanejednakosti". Ovo je takav matematički model koji predstavlja nekoliko nejednakosti. Naravno, ovaj model zahtijeva rješenje, i to će biti opći odgovor za sve nejednakosti sistema predloženog u zadatku (obično se ovako piše, jer primjer: "Riješi sistem nejednačina 4 x + 1 > 2 i 30 - x > 6… ").
Sistemi nejednačina i sistemi jednačina
U procesu učenja nove teme često dolazi do nesporazuma. S jedne strane sve je jasno i radije bih krenuo u rješavanje zadataka, ali s druge strane neki momenti ostaju u "sjeni", nisu dobro shvaćeni. Takođe, neki elementi već stečenog znanja mogu se preplitati sa novim. Greške se često dešavaju kao rezultat ovog preklapanja.
Stoga, prije nego što pređemo na analizu naše teme, treba se prisjetiti razlika između jednačina i nejednačina, njihovih sistema. Da bismo to učinili, potrebno je još jednom razjasniti koji su to matematički koncepti. Jednačina je uvijek jednakost i uvijek je nečemu jednaka (u matematici se ova riječ označava znakom "="). Nejednakost je model u kojem je jedna vrijednost ili veća ili manja od druge, ili sadrži tvrdnju da nisu iste. Dakle, u prvom slučaju je prikladno govoriti o jednakosti, au drugom, ma koliko to očigledno zvučalo izsamo ime, o nejednakosti početnih podataka. Sistemi jednačina i nejednačina se praktično ne razlikuju jedni od drugih, a metode za njihovo rješavanje su iste. Jedina razlika je u tome što prvi koristi jednakosti dok drugi koristi nejednakosti.
Vrste nejednakosti
Postoje dvije vrste nejednakosti: numeričke i sa nepoznatom promjenljivom. Prvi tip daje vrijednosti (brojeve) koje nisu jednake jedna drugoj, na primjer, 8 > 10. Drugi tip su nejednakosti koje sadrže nepoznatu varijablu (označene nekim slovom latinice, najčešće X). Ovu varijablu treba pronaći. U zavisnosti od toga koliko ih ima, matematički model razlikuje nejednakosti sa jednom (one čine sistem nejednakosti sa jednom promenljivom) ili više varijabli (oni čine sistem nejednakosti sa više varijabli).
Posljednje dvije vrste, prema stepenu njihove konstrukcije i stepenu složenosti rješenja, dijele se na jednostavne i složene. Jednostavne se još nazivaju i linearne nejednačine. Oni se, pak, dijele na stroge i nestroge. Strogi konkretno "recite" da jedna vrijednost mora biti ili manja ili više, pa je ovo čista nejednakost. Postoji nekoliko primjera: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, itd. Nestrogi također uključuju jednakost. To jest, jedna vrijednost može biti veća ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≧") ili manja ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≦"). Još uvek u reduU nejednačinama varijabla ne stoji u korijenu, kvadratu, nije djeljiva ni sa čim, zbog čega se nazivaju "jednostavnim". Kompleksne uključuju nepoznate varijable, za čije pronalaženje je potrebno više matematičkih operacija. Često su u kvadratu, kocki ili ispod korena, mogu biti modularne, logaritamske, razlomke itd. Ali pošto je naš zadatak da razumemo rešenje sistema nejednačina, govorićemo o sistemu linearnih nejednačina. Međutim, prije toga treba reći nekoliko riječi o njihovim svojstvima.
Svojstva nejednakosti
Svojstva nejednakosti uključuju sljedeće odredbe:
- Znak nejednakosti se obrće ako se primeni operacija promene redosleda strana (na primer, ako je t1 ≦ t2, zatim t 2 ≧ t1).
- Oba dijela nejednakosti vam omogućavaju da sebi dodate isti broj (na primjer, ako je t1 ≦ t2, zatim t 1 + broj ≦ t2 + broj).
- Dvije ili više nejednakosti sa predznakom istog smjera omogućavaju vam da dodate njihov lijevi i desni dio (na primjer, ako je t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, zatim t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Oba dela nejednakosti dozvoljavaju da se pomnože ili podele sa istim pozitivnim brojem (na primer, ako je t1 ≦ t2i broj ≦ 0, zatim broj t1 ≧ broj t2).
- Dvije ili više nejednakosti koje imaju pozitivne članove i znak istog smjera dozvoljavajumnože jedni druge (na primjer, ako t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 zatim t1 t3 ≦ t2 t4).
- Oba dela nejednakosti dozvoljavaju da se pomnože ili podele sa istim negativnim brojem, ali se predznak nejednakosti menja (na primer, ako je t1 ≦ t2 i broj ≦ 0, zatim broj t1 ≧ broj t2).
- Sve nejednakosti su tranzitivne (na primjer, ako je t1 ≦ t2 i t2≦ t3, zatim t1 ≦ t3).
Sada, nakon proučavanja glavnih odredbi teorije vezanih za nejednakosti, možemo preći direktno na razmatranje pravila za rješavanje njihovih sistema.
Rješenje sistema nejednačina. Opće informacije. Rješenja
Kao što je gore spomenuto, rješenje su vrijednosti varijable koje odgovaraju svim nejednačinama datog sistema. Rješenje sistema nejednačina je implementacija matematičkih operacija koje u konačnici dovode do rješenja cijelog sistema ili dokazuju da on nema rješenja. U ovom slučaju se kaže da se varijabla odnosi na prazan skup brojeva (napisan na sljedeći način: slovo koje označava varijablu ∈ (znak "pripada") ø (znak "prazan skup"), na primjer, x ∈ ø (čita se ovako: "Varijabla "x" pripada praznom skupu"). Postoji nekoliko načina za rješavanje sistema nejednačina:grafička, algebarska, supstitucijska metoda. Vrijedi napomenuti da se oni odnose na one matematičke modele koji imaju nekoliko nepoznatih varijabli. U slučaju da postoji samo jedan, metoda razmaka će biti dovoljna.
Grafička metoda
Omogućava vam da riješite sistem nejednačina sa nekoliko nepoznanica (od dvije ili više). Zahvaljujući ovoj metodi, sistem linearnih nejednačina se rešava prilično lako i brzo, tako da je to najčešća metoda. To je zato što crtanje smanjuje količinu pisanja matematičkih operacija. Postaje posebno ugodno malo predahnuti od olovke, uzeti olovku s ravnalom i uz njihovu pomoć nastaviti s daljnjim radnjama kada je puno posla obavljeno i želite malo raznolikosti. Međutim, nekima se ova metoda ne sviđa zbog činjenice da se morate odvojiti od zadatka i svoju mentalnu aktivnost prebaciti na crtanje. Međutim, to je veoma efikasan način.
Za rješavanje sistema nejednačina pomoću grafičke metode, potrebno je sve članove svake nejednačine prenijeti na njihovu lijevu stranu. Predznaci će biti obrnuti, nula treba napisati na desnoj strani, zatim svaka nejednakost treba biti napisana posebno. Kao rezultat, funkcije će se dobiti iz nejednakosti. Nakon toga možete dobiti olovku i ravnalo: sada morate nacrtati graf svake dobivene funkcije. Ceo skup brojeva koji će biti u intervalu njihovog preseka biće rešenje sistema nejednačina.
Algebarski način
Omogućava vam da riješite sistem nejednakosti sa dvije nepoznate varijable. Nejednakosti također moraju imati isti predznak nejednakosti (tj. moraju sadržavati ili samo znak "veće od" ili samo znak "manje od" itd.) Uprkos svojim ograničenjima, ova metoda je također komplikovanija. Primjenjuje se u dva koraka.
Prvi uključuje uklanjanje jedne od nepoznatih varijabli. Prvo ga trebate odabrati, a zatim provjeriti prisustvo brojeva ispred ove varijable. Ako ih nema (onda će varijabla izgledati kao jedno slovo), onda ništa ne mijenjamo, ako postoji (tip varijable će biti npr. 5y ili 12y), onda je potrebno osigurati da je u svakoj nejednakosti broj ispred odabrane varijable isti. Da biste to učinili, trebate pomnožiti svaki član nejednakosti sa zajedničkim faktorom, na primjer, ako je 3y napisano u prvoj nejednakosti, a 5y u drugoj, onda morate pomnožiti sve članove prve nejednakosti sa 5, a drugi za 3. Dobijate 15y i 15y, respektivno.
Druga faza odluke. Potrebno je prenijeti lijevu stranu svake nejednačine na njihove desne strane sa promjenom predznaka svakog člana na suprotno, na desnoj strani napisati nulu. Zatim dolazi zabavni dio: oslobađanje od odabrane varijable (inače poznate kao "redukcija") uz sabiranje nejednakosti. Dobićete nejednakost sa jednom promenljivom koju treba rešiti. Nakon toga treba da uradite isto, samo sa drugom nepoznatom promenljivom. Dobijeni rezultati će biti rješenje sistema.
Način zamjene
Omogućava vam da riješite sistem nejednakosti kada imate priliku da uvedete novu varijablu. Obično se ova metoda koristi kada se nepoznata varijabla u jednom članu nejednakosti podigne na četvrti stepen, a u drugom se kvadrira. Dakle, ovaj metod ima za cilj smanjenje stepena nejednakosti u sistemu. Uzorak nejednakosti x4 - x2 - 1 ≦ 0 rješava se na sljedeći način. Uvodi se nova varijabla, na primjer t. Oni pišu: "Neka t=x2", tada se model prepisuje u novom obliku. U našem slučaju, dobijamo t2 - t - 1 ≦0. Ovu nejednakost treba riješiti intervalnom metodom (o tome malo kasnije), zatim se vratiti na varijablu X, a zatim učiniti isto sa drugom nejednakošću. Dobijeni odgovori će biti odluka sistema.
Metoda intervala
Ovo je najlakši način za rješavanje sistema nejednakosti, a istovremeno je univerzalan i rasprostranjen. Koristi se u srednjoj školi, pa čak iu srednjoj školi. Njegova suština je u tome da učenik traži intervale nejednakosti na brojevnoj pravoj, koja je ucrtana u svesci (ovo nije grafik, već samo obična ravna linija sa brojevima). Tamo gdje se intervali nejednačina sijeku, nalazi se rješenje sistema. Za korištenje metode razmaka slijedite ove korake:
- Svi članovi svake nejednakosti prenose se na lijevu stranu sa promjenom predznaka u suprotan (na desnoj strani je upisana nula).
- Nejednačine se ispisuju posebno, rješenje svake od njih se utvrđuje.
- Sjecišta nejednačina na brojčanomravno. Svi brojevi na ovim raskrsnicama će biti rješenje.
Koji način koristiti?
Očigledno onaj koji se čini najlakšim i najzgodnijim, ali postoje slučajevi kada zadaci zahtijevaju određenu metodu. Najčešće kažu da morate riješiti ili pomoću grafa ili pomoću metode intervala. Algebarska metoda i supstitucija se koriste izuzetno rijetko ili se uopće ne koriste, jer su prilično složene i zbunjujuće, a osim toga, više se koriste za rješavanje sistema jednačina, a ne nejednačina, pa bi trebalo pribjeći crtanju grafova i intervala. Oni donose vidljivost, što ne može a da ne doprinese efikasnom i brzom izvođenju matematičkih operacija.
Ako nešto ne uspije
Tokom proučavanja određene teme iz algebre, naravno, može doći do problema sa njenim razumijevanjem. I to je normalno, jer je naš mozak dizajniran tako da nije u stanju razumjeti složeni materijal u jednom potezu. Često morate ponovo pročitati pasus, uzeti pomoć učitelja ili vježbati rješavanje tipičnih problema. U našem slučaju izgledaju, na primjer, ovako: "Riješi sistem nejednačina 3 x + 1 ≧ 0 i 2 x - 1 > 3". Dakle, lično nastojanje, pomoć autsajdera i praksa pomažu u razumijevanju bilo koje složene teme.
Rešebnik?
I knjiga rješenja je također jako dobra, ali ne za varanje domaće zadaće, već za samopomoć. U njima možete pronaći sisteme nejednačina sa rješenjem, pogledajte(poput šablona), pokušajte da razumete kako se tačno autor rešenja nosio sa zadatkom, a zatim pokušajte da to uradite sam.
Zaključci
Algebra je jedan od najtežih predmeta u školi. Pa, šta ti možeš? Matematika je oduvijek bila ovakva: nekima je lako, a drugima je teško. Ali u svakom slučaju, treba imati na umu da je opći obrazovni program osmišljen tako da se svaki učenik može nositi s njim. Osim toga, morate imati na umu ogroman broj asistenata. Neki od njih su gore spomenuti.
