Goldbachov problem je jedan od najstarijih i najrazvikanijih problema u historiji cjelokupne matematike.
Dokazano je da je ova pretpostavka tačna za sve cijele brojeve manje od 4 × 1018, ali ostaje nedokazana uprkos značajnim naporima matematičara.
Broj
Goldbachov broj je pozitivan paran cijeli broj koji je zbir para neparnih prostih brojeva. Drugi oblik Goldbachove pretpostavke je da su svi parni cijeli brojevi veći od četiri Goldbachovi brojevi.
Razdvajanje takvih brojeva naziva se Goldbachova particija (ili particija). Ispod su primjeri sličnih odjeljaka za neke parne brojeve:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Otkriće hipoteze
Goldbach je imao kolegu po imenu Euler, koji je volio brojati, pisati složene formule i iznositi nerješive teorije. Po tome su bili slični Goldbachu. Ojler je napravio sličnu matematičku zagonetku i prije Goldbacha, s kojim jestalna prepiska. Zatim je predložio drugu sugestiju na margini svog rukopisa, prema kojoj se cijeli broj veći od 2 može napisati kao zbir tri prosta broja. Smatrao je da je 1 prost broj.
Sada se zna da su dvije hipoteze slične, ali to u to vrijeme nije izgledalo kao problem. Moderna verzija Goldbachovog problema kaže da se svaki cijeli broj veći od 5 može napisati kao zbir tri prosta broja. Ojler je odgovorio u pismu od 30. juna 1742. i podsetio Goldbacha na raniji razgovor koji su vodili („… dakle govorimo o originalnoj (a ne marginalnoj) hipotezi koja proizilazi iz sledeće izjave“).
Euler-Goldbach problem
2 i njegovi parni brojevi mogu se zapisati kao zbir dvaju prostih brojeva, što je takođe Goldbachova pretpostavka. U pismu od 30. juna 1742. godine, Euler je izjavio da je svaki paran cijeli broj rezultat sabiranja dvaju prostih brojeva, za koje smatra da je dobro definirana teorema, iako to ne može dokazati.
Treća verzija
Treća verzija Goldbachovog problema (ekvivalentna drugim dvjema verzijama) je oblik u kojem se nagađanje obično daje danas. Takođe je poznata kao "jaka", "parna" ili "binarna" Goldbachova pretpostavka da bi se razlikovala od slabije hipoteze poznate danas kao "slaba", "neparna" ili "ternarna" Goldbachova pretpostavka. Slaba pretpostavka kaže da su svi neparni brojevi veći od 7 zbir tri neparna prosta broja. Slaba pretpostavka je dokazana 2013. Slaba hipoteza jeposledica jake hipoteze. Obrnuti zaključak i jaka Goldbachova pretpostavka ostaju nedokazani do danas.
Provjera
Za male vrijednosti n, Goldbachov problem (i stoga Goldbachova pretpostavka) se može provjeriti. Na primjer, Nils Pipping je 1938. pažljivo testirao hipotezu do n ≦ 105. Pojavom prvih kompjutera izračunato je mnogo više vrijednosti n.
Oliveira Silva je izvršila distribuiranu kompjutersku pretragu koja je potvrdila hipotezu za n ≦ 4 × 1018 (i dvostruko provjerila do 4 × 1017) od 2013. godine. Jedan unos iz ove pretrage je da je 3,325,581,707,333,960,528 najmanji broj koji nema Goldbach podjelu sa prostim brojem ispod 9781.
heuristika
Verzija za jaku formu Goldbachove pretpostavke je sljedeća: budući da količina teži beskonačnosti kako n raste, očekujemo da svaki veliki paran cijeli broj ima više od jednog prikaza kao zbir dvaju prostih brojeva. Ali u stvari, takvih reprezentacija je mnogo. Ko je riješio problem Goldbacha? Jao, još niko.
Ovaj heuristički argument je zapravo donekle neprecizan, jer pretpostavlja da je m statistički nezavisno od n. Na primjer, ako je m neparan, onda je i n - m neparan, a ako je m paran, onda je n - m paran, a ovo je netrivijalan (složen) odnos, jer osim broja 2, samo je neparan brojevi mogu biti prosti. Slično, ako je n deljivo sa 3 i m je već bio prost od 3, tada je n - m takođe međusobnoprost broj sa 3, pa je vjerojatnije da će biti prost broj u odnosu na ukupan broj. Pažljivije provodeći ovu vrstu analize, Hardy i Littlewood su 1923. godine, kao dio svoje poznate Hardy-Littlewoodove jednostavne pretpostavke o torti, napravili gornju rafinaciju cijele teorije. Ali to do sada nije pomoglo u rješavanju problema.
Jaka hipoteza
Jaka Goldbachova pretpostavka je mnogo komplikovanija od slabe Goldbachove pretpostavke. Shnirelman je kasnije dokazao da se svaki prirodni broj veći od 1 može napisati kao zbir najviše C prostih brojeva, gdje je C efektivno izračunljiva konstanta. Mnogi matematičari su pokušali da ga riješe, brojeći i množeći brojeve, nudeći složene formule itd. Ali nikada nisu uspjeli, jer je hipoteza previše komplicirana. Nijedna formula nije pomogla.
Ali vrijedi se malo odmaknuti od pitanja dokazivanja Goldbachovog problema. Shnirelmanova konstanta je najmanji C broj sa ovim svojstvom. Sam Shnirelman je dobio C <800 000. Ovaj rezultat su naknadno dopunili mnogi autori, kao što je Olivier Ramaret, koji je 1995. pokazao da je svaki paran broj n ≧ 4 zapravo zbir najviše šest prostih brojeva. Najpoznatiji rezultat koji se trenutno povezuje sa Goldbach teorijom Haralda Helfgotta.
Dalji razvoj
Godine 1924. Hardy i Littlewood su preuzeli G. R. H. pokazao da je broj parnih brojeva do X, koji narušavaju binarni Goldbachov problem, mnogo manji nego za mali c.
1973. Chen JingyunPokušao sam riješiti ovaj problem, ali nije išlo. Bio je i matematičar, pa je jako volio rješavati zagonetke i dokazivati teoreme.
Godine 1975. dva američka matematičara su pokazala da postoje pozitivne konstante c i C – one za koje je dovoljno veliko N. Konkretno, skup parnih cijelih brojeva ima nultu gustinu. Sve je ovo bilo korisno za rad na rješenju ternarnog Goldbachovog problema, koji će se odvijati u budućnosti.
Godine 1951. Linnik je dokazao postojanje konstante K takve da je svaki dovoljno veliki paran broj rezultat zbrajanja jednog prostog broja i drugog prostog broja. Roger Heath-Brown i Jan-Christoph Schlage-Puchta su 2002. otkrili da K=13 radi. Ovo je veoma interesantno za sve ljude koji vole da se zbrajaju, zbrajaju različite brojeve i vide šta se dešava.
Rješenje Goldbachovog problema
Kao i kod mnogih dobro poznatih pretpostavki u matematici, postoji niz navodnih dokaza Goldbachove pretpostavke, od kojih nijedan nije prihvaćen od strane matematičke zajednice.
Iako Goldbachova pretpostavka implicira da se svaki pozitivni cijeli broj veći od jedan može zapisati kao zbir najviše tri prosta broja, nije uvijek moguće pronaći takav zbir koristeći pohlepni algoritam koji koristi najveći mogući prosti broj na svakom koraku. Pillai niz prati brojeve koji zahtijevaju najviše prostih brojeva u svojim pohlepnim prikazima. Dakle, rješenje Goldbachovog problemajoš uvijek pod znakom pitanja. Ipak, prije ili kasnije će to najvjerovatnije biti riješeno.
Postoje teorije slične Goldbachovom problemu u kojima su prosti brojevi zamijenjeni drugim specifičnim skupovima brojeva, kao što su kvadrati.
Christian Goldbach
Christian Goldbach je bio njemački matematičar koji je također studirao pravo. Danas ga pamte po Goldbach pretpostavci.
Cijeli život radio je kao matematičar - volio je sabiranje brojeva, izmišljanje novih formula. Znao je i nekoliko jezika, na svakom od kojih je vodio svoj lični dnevnik. Ti jezici su bili njemački, francuski, talijanski i ruski. Takođe, prema nekim izvorima, govorio je engleski i latinski. Za života je bio poznat kao prilično poznat matematičar. Goldbach je takođe bio prilično blisko povezan sa Rusijom, jer je imao mnogo ruskih kolega i ličnu naklonost kraljevske porodice.
Nastavio je da radi u novootvorenoj Petrogradskoj akademiji nauka 1725. godine kao profesor matematike i istoričar akademije. Godine 1728, kada je Petar II postao ruski car, Goldbach je postao njegov mentor. Godine 1742. stupio je u Ministarstvo vanjskih poslova Rusije. Odnosno, on je zapravo radio u našoj zemlji. U to vrijeme mnogi naučnici, pisci, filozofi i vojni ljudi dolaze u Rusiju, jer je Rusija u to vrijeme bila zemlja mogućnosti poput Amerike. Mnogi su ovdje napravili karijere. I naš heroj nije izuzetak.
Christian Goldbach je bio višejezičan - pisao je dnevnik na njemačkom i latinskom, svoja pismapisani su na njemačkom, latinskom, francuskom i italijanskom, a za službene dokumente koristio je ruski, njemački i latinski.
Umro je 20. novembra 1764. u 74. godini u Moskvi. Dan kada Goldbachov problem bude riješen bit će prikladna počast njegovom sjećanju.
Zaključak
Goldbach je bio veliki matematičar koji nam je dao jednu od najvećih misterija ove nauke. Ne zna se hoće li to ikada biti riješeno ili ne. Znamo samo da će njegova pretpostavljena rezolucija, kao u slučaju Fermatove teoreme, otvoriti nove perspektive za matematiku. Matematičari ga jako vole rješavati i analizirati. Vrlo je zanimljivo i radoznalo sa heurističke tačke gledišta. Čak i studenti matematike vole rješavati Goldbachov problem. Kako drugačije? Na kraju krajeva, mlade ljude neprestano privlači sve što je svijetlo, ambiciozno i neriješeno, jer se prevazilaženjem poteškoća može afirmirati. Nadajmo se da će uskoro ovaj problem riješiti mladi, ambiciozni, radoznali umovi.
