Napredak čovječanstva je u velikoj mjeri zaslužan za otkrića do kojih su došli genijalci. Jedan od njih je Blaise Pascal. Njegova stvaralačka biografija još jednom potvrđuje istinitost izraza Liona Feuchtwangera "Talentovana osoba, talentirana za sve". Sva naučna dostignuća ovog velikog naučnika teško je pobrojati. Među njima je i jedan od najelegantnijih izuma u svijetu matematike - Pascalov trokut.
Par riječi o geniju
Blaise Pascal je rano umro po modernim standardima, u 39. godini. Međutim, u svom kratkom životu istakao se kao izvanredan fizičar, matematičar, filozof i pisac. Zahvalni potomci jedinicu pritiska i popularni programski jezik nazvali su u njegovu čast. Koristi se skoro 60 godina za podučavanje pisanja raznih kodova. Na primjer, uz njegovu pomoć, svaki učenik može napisati program za izračunavanje površine trokuta u Pascalu, kao i istražiti svojstva kola, okoo čemu će biti riječi u nastavku.
Aktivnost ovog naučnika sa izvanrednim razmišljanjem obuhvata širok spektar oblasti nauke. Konkretno, Blaise Pascal je jedan od osnivača hidrostatike, matematičke analize, nekih oblasti geometrije i teorije vjerovatnoće. Također, on:
- napravio mehanički kalkulator poznat kao Pascal točak;
- pružio eksperimentalne dokaze da zrak ima elastičnost i težinu;
- utvrđeno da se barometar može koristiti za predviđanje vremena;
- izmislio kolica;
- izmislio omnibus - konjske zaprege sa fiksnim rutama, koje su kasnije postale prvi vid redovnog javnog prevoza, itd.
Pascalov aritmetički trokut
Kao što je već pomenuto, ovaj veliki francuski naučnik dao je ogroman doprinos matematičkoj nauci. Jedno od njegovih apsolutnih naučnih remek-djela je "Traktat o aritmetičkom trouglu", koji se sastoji od binomnih koeficijenata raspoređenih određenim redoslijedom. Svojstva ove šeme zapanjuju svojom raznolikošću, a sama po sebi potvrđuje poslovicu "Sve genijalno je jednostavno!".
Malo istorije
Da budemo pošteni, mora se reći da je zapravo Pascalov trougao bio poznat u Evropi još početkom 16. veka. Konkretno, njegova slika se može vidjeti na koricama aritmetičkog udžbenika poznatog astronoma Petera Apiana sa Univerziteta Ingolstadt. Sličan trokut je također prikazan kao ilustracija.u knjizi kineskog matematičara Yang Huija, objavljenoj 1303. Izvanredan perzijski pjesnik i filozof Omar Khayyam također je bio svjestan njegovih osobina početkom 12. stoljeća. Štaviše, veruje se da ga je upoznao iz rasprava arapskih i indijskih naučnika napisanih ranije.
Opis
Pre nego što istražite najzanimljivija svojstva Pascalovog trougla, prelepog u svom savršenstvu i jednostavnosti, vredi znati šta je to.
Naučno govoreći, ova numerička šema je beskonačna trokutasta tabela formirana od binomnih koeficijenata raspoređenih određenim redosledom. Na njegovom vrhu i sa strane su brojevi 1. Preostale pozicije zauzimaju brojevi jednaki zbiru dva broja koja se nalaze iznad njih jedan pored drugog. Štaviše, sve linije Pascalovog trougla su simetrične oko njegove vertikalne ose.
Osnovne karakteristike
Pascalov trougao zadivljuje svojim savršenstvom. Za bilo koji red sa brojem n (n=0, 1, 2…) tačno:
- prvi i zadnji brojevi su 1;
- drugi i pretposljednji - n;
- treći broj je jednak trouglastom broju (broj krugova koji se mogu poredati u jednakostranični trokut, tj. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Četvrti broj je tetraedarski, tj. to je piramida sa trouglom u osnovi.
Pored toga, relativno nedavno, 1972. godine, ustanovljeno je još jedno svojstvo Pascalovog trougla. Za njegada biste saznali, trebate napisati elemente ove šeme u obliku tabele sa pomakom reda za 2 pozicije. Zatim zabilježite brojeve djeljive brojem reda. Ispostavilo se da je broj kolone u kojoj su svi brojevi istaknuti prost broj.
Isti trik se može izvesti i na drugi način. Da biste to učinili, u Pascalovom trouglu, brojevi se zamjenjuju ostacima njihovog dijeljenja brojem reda u tabeli. Zatim su linije raspoređene u rezultirajući trokut tako da sljedeći počinje 2 stupca desno od prvog elementa prethodnog. Tada će se stupci s brojevima koji su prosti brojevi sastojati samo od nula, a oni sa složenim brojevima će sadržavati najmanje jednu nulu.
Veza sa Newtonovim binomom
Kao što znate, ovo je naziv formule za proširenje u termine nenegativnog cjelobrojnog stepena zbira dvije varijable, koji izgleda ovako:
Koeficijenti prisutni u njima su jednaki C m =n! / (m! (n - m)!), gdje je m redni broj u redu n Pascalovog trougla. Drugim riječima, imajući ovu tabelu pri ruci, možete lako podići bilo koji broj na stepen, prethodno ih razloživši na dva člana.
Dakle, Pascalov trougao i Njutnov binom su blisko povezani.
Math Wonders
Pažljivo ispitivanje Pascalovog trougla otkriva da:
- zbir svih brojeva u redu saserijski broj n (računajući od 0) je 2;
- ako su linije poravnate lijevo, tada su zbroji brojeva koji se nalaze duž dijagonala Pascalovog trougla, idući odozdo prema gore i slijeva nadesno, jednaki Fibonačijevim brojevima;
- prva "dijagonala" sastoji se od prirodnih brojeva po redu;
- bilo koji element iz Pascalovog trougla, umanjen za jedan, jednak je zbiru svih brojeva unutar paralelograma, koji je ograničen lijevom i desnom dijagonalom koje se sijeku na ovom broju;
- u svakom redu dijagrama, zbir brojeva na parnim mjestima jednak je zbroju elemenata na neparnim mjestima.
Sierpinski trougao
Ovako zanimljiva matematička šema, prilično obećavajuća u smislu rješavanja složenih problema, dobija se bojenjem parnih brojeva Pascal slike u jednu boju, a neparnih u drugu.
Sierpinski trokut se može izgraditi na drugi način:
- u osenčenoj Pascal šemi, srednji trokut je prefarban u drugu boju, koja se formira spajanjem sredina stranica originalnog trougla;
- učinite potpuno isto sa tri neobojena u uglovima;
- ako se postupak nastavi neograničeno, onda bi rezultat trebao biti dvobojna figura.
Najinteresantnije svojstvo trougla Sierpinskog je njegova samosličnost, jer se sastoji od 3 njegove kopije, koje su smanjene za 2 puta. Omogućava nam da ovu šemu pripišemo fraktalnim krivuljama, a one, kako pokazuje najnovijeistraživanje je najprikladnije za matematičko modeliranje oblaka, biljaka, riječnih delti i samog svemira.
Nekoliko zanimljivih zadataka
Gdje se koristi Pascalov trokut? Primjeri zadataka koji se mogu riješiti uz njegovu pomoć prilično su raznoliki i pripadaju različitim područjima nauke. Pogledajmo neke od zanimljivijih.
Problem 1. Neki veliki grad okružen zidom tvrđave ima samo jednu ulaznu kapiju. Na prvoj raskrsnici glavni put se razdvaja na dva dela. Isto se dešava na bilo kom drugom. U grad ulazi 210 ljudi. Na svakoj raskrsnici s kojom se susreću podijeljeni su na pola. Koliko će se ljudi naći na svakoj raskrsnici kada više neće biti moguće dijeliti. Njen odgovor je red 10 Pascalovog trougla (formula koeficijenta je predstavljena iznad), gdje se brojevi 210 nalaze na obje strane vertikalne ose.
Zadatak 2. Postoji 7 naziva boja. Potrebno je napraviti buket od 3 cvijeta. Potrebno je saznati na koliko različitih načina se to može učiniti. Ovaj problem je iz oblasti kombinatorike. Da bismo to riješili, ponovo koristimo Pascalov trokut i dobijamo na 7. redu na trećoj poziciji (numeracija u oba slučaja od 0) broj 35.
Sada znate šta je izmislio veliki francuski filozof i naučnik Blaise Pascal. Njegov čuveni trokut, kada se pravilno koristi, može postati pravi spas za rješavanje mnogih problema, posebno sa terena.kombinatorika. Osim toga, može se koristiti za rješavanje brojnih misterija vezanih za fraktale.
