Jednakostranični trougao: svojstva, karakteristike, površina, perimetar

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-17 05:19

U školskom kursu geometrije, ogromna količina vremena posvećena je proučavanju trouglova. Učenici izračunavaju uglove, grade simetrale i visine, otkrivaju po čemu se oblici razlikuju jedni od drugih i najlakši način da pronađu njihovu površinu i perimetar. Čini se da to ni na koji način nije korisno u životu, ali ponekad je ipak korisno znati, na primjer, kako odrediti da je trokut jednakostraničan ili tupokut. Kako to učiniti?

Vrste trouglova

Tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji i segmenti koji ih povezuju. Čini se da je ova brojka najjednostavnija. Kako mogu izgledati trouglovi ako imaju samo tri stranice? U stvari, postoji prilično velik broj opcija, a nekima se pridaje posebna pažnja u sklopu školskog kursa geometrije. Jednakostranični trokut je jednakostraničan, odnosno svi uglovi i stranice su mu jednaki. Ima niz izvanrednih svojstava, o kojima će biti riječi kasnije.

Izokrak ima samo dvije jednake strane, a takođe je prilično zanimljiv. U pravokutnim i tupokutnim trouglovima, kao što možete pretpostaviti, jedan od uglova je pravi ili tupougli. Atovo mogu biti i jednakokraki.

Postoji i posebna vrsta trougla koji se zove Egipatski. Njegove strane su 3, 4 i 5 jedinica. Međutim, on je pravokutnog oblika. Vjeruje se da su takav trokut aktivno koristili egipatski geodeti i arhitekte za izgradnju pravih uglova. Vjeruje se da su čuvene piramide izgrađene uz njegovu pomoć.

A ipak, svi vrhovi trougla mogu ležati na jednoj pravoj liniji. U ovom slučaju će se zvati degenerisanim, dok se svi ostali nazivaju nedegenerisanim. One su jedan od predmeta proučavanja geometrije.

Jednakostranični trougao

Naravno, tačne brojke su uvijek najzanimljivije. Djeluju savršenije, gracioznije. Formule za izračunavanje njihovih karakteristika često su jednostavnije i kraće nego za obične figure. Ovo se odnosi i na trouglove. Nije iznenađujuće da im se pri učenju geometrije poklanja velika pažnja: školarci se uče da razlikuju pravilne figure od ostalih, a govore i o nekim njihovim zanimljivim karakteristikama.

Znakovi i svojstva

Kao što možete pogoditi iz imena, svaka strana jednakostraničnog trougla jednaka je ostalim dvjema. Osim toga, ima niz karakteristika, zahvaljujući kojima je moguće utvrditi da li je cifra tačna ili ne.

• svi njegovi uglovi su jednaki, njihova vrijednost je 60 stepeni;
• simetrale, visine i medijane povučene iz svakog vrha su iste;
• pravilan trougao ima 3 ose simetrijese ne mijenja kada se rotira za 120 stepeni.
• centar upisane kružnice je takođe centar opisane kružnice i tačka preseka medijana, simetrala, visina i okomitih simetrala.

Ako se posmatra barem jedan od gore navedenih znakova, trougao je jednakostraničan. Za normalan broj, sve gore navedene tvrdnje su tačne.

Svi trouglovi imaju niz izvanrednih svojstava. Prvo, srednja linija, odnosno segment koji dijeli dvije strane na pola i paralelan s trećom, jednaka je polovini baze. Drugo, zbir svih uglova ove figure je uvek jednak 180 stepeni. Osim toga, postoji još jedan zanimljiv odnos u trouglovima. Dakle, nasuprot veće strane leži veći ugao i obrnuto. Ali ovo, naravno, nema nikakve veze sa jednakostraničnim trouglom, jer su svi njegovi uglovi jednaki.

Upisani i opisani krugovi

Nije neuobičajeno da studenti na kursu geometrije takođe nauče kako oblici mogu međusobno da komuniciraju. Posebno se proučavaju krugovi upisani u poligone ili opisani oko njih. O čemu se radi?

Upisana kružnica je kružnica kojoj su sve strane poligona tangente. Opisana - ona koja ima dodirne tačke sa svim uglovima. Za svaki trokut uvijek je moguće konstruirati i prvi i drugi krug, ali samo po jedan od svake vrste. Dokazi za ovo dvoje

teoreme su dateškolski kurs geometrije.

Pored izračunavanja parametara samih trouglova, neki zadaci uključuju i izračunavanje radijusa ovih kružnica. A formule za jednakostranični trokut izgledaju ovako:

r=a/√ ̅3;

R=a/2√ ̅3;

gde je r poluprečnik upisane kružnice, R je poluprečnik opisane kružnice, a je dužina stranice trougla.

Izračunavanje visine, perimetra i površine

Glavni parametri, koje izračunavaju školarci dok studiraju geometriju, ostaju nepromijenjeni za gotovo svaku cifru. To su obim, površina i visina. Radi lakšeg izračunavanja, postoje različite formule.

Dakle, obim, odnosno dužina svih strana, računa se na sljedeće načine:

P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, gde je a stranica pravilnog trougla, R je poluprečnik opisane kružnice, r je upisana kružnica.

Visina:

h=(√ ̅3/2)a, gdje je a dužina stranice.

Konačno, formula za površinu jednakostraničnog trougla je izvedena iz standardne formule, odnosno umnožaka polovine baze i njene visine.

S=(√ ̅3/4)a2, gdje je a dužina stranice.

Također, ova vrijednost se može izračunati preko parametara opisanog ili upisanog kruga. Za to postoje i posebne formule:

S=3√ ̅3r²=(3√ ̅3/4)R^{2, gdje su r i R redom radijusi upisani i opisani krugovi.}

Zgrada

Još jedanZanimljiva vrsta zadatka, uključujući trokute, povezana je s potrebom da se nacrta jedna ili druga figura koristeći minimalni set

alati: kompas i ravnalo bez podjela.

Potrebno je nekoliko koraka da se izgradi pravi trougao samo sa ovim alatima.

1. Morate nacrtati kružnicu bilo kojeg radijusa sa centrom u proizvoljnoj tački A. Mora biti označena.
2. Dalje, trebate povući pravu liniju kroz ovu tačku.
3. Presjeci kružnice i prave linije moraju biti označeni kao B i C. Sve konstrukcije moraju biti izvedene sa najvećom mogućom tačnošću.
4. Dalje, potrebno je da napravite još jedan krug sa istim poluprečnikom i centrom u tački C ili luk sa odgovarajućim parametrima. Raskrsnice će biti označene kao D i F.
5. Tačke B, F, D moraju biti povezane segmentima. Konstruiran je jednakostranični trokut.

Rješavanje ovakvih problema obično predstavlja problem za školarce, ali ova vještina može biti korisna u svakodnevnom životu.