Poliedri ne samo da zauzimaju istaknuto mjesto u geometriji, već se javljaju i u svakodnevnom životu svake osobe. Da ne spominjemo umjetno stvorene kućne predmete u obliku raznih poligona, počevši od kutije šibica i završavajući arhitektonskim elementima, kristalima u obliku kocke (sol), prizme (kristala), piramide (šeelit), oktaedra (dijamant), itd. e.
Koncept poliedra, vrste poliedara u geometriji
Geometrija kao nauka sadrži dio stereometrije koji proučava karakteristike i svojstva trodimenzionalnih figura. Geometrijska tijela, čije su stranice u trodimenzionalnom prostoru formirane ograničenim ravnima (licama), nazivaju se "poliedri". Tipovi poliedara uključuju više od desetak predstavnika, koji se razlikuju po broju i obliku lica.
Međutim, svi poliedri imaju zajednička svojstva:
- Svi imaju 3 bitne komponente: lice(površina poligona), vrh (uglovi formirani na spoju lica), ivica (strana figure ili segment formiran na spoju dva lica).
- Svaka ivica poligona povezuje dva i samo dva lica koja su jedna uz drugu.
- Konveksnost znači da se tijelo u potpunosti nalazi samo na jednoj strani ravni na kojoj leži jedno od lica. Pravilo se primjenjuje na sve strane poliedra. Takve geometrijske figure u stereometriji se nazivaju konveksni poliedri. Izuzetak su poliedri u obliku zvijezde, koji su derivati pravilnih poliedarskih geometrijskih tijela.
Poliedri se uslovno mogu podijeliti na:
- Tipovi konveksnih poliedara, koji se sastoje od sljedećih klasa: obični ili klasični (prizma, piramida, paralelepiped), pravilni (takođe se zovu Platonova tijela), polupravilni (drugi naziv - Arhimedova tijela).
- Nekonveksni poliedri (u obliku zvijezde).
Prizma i njena svojstva
Stereometrija kao grana geometrije proučava svojstva trodimenzionalnih figura, tipova poliedara (prizma je jedna od njih). Prizma je geometrijsko tijelo koje nužno ima dvije apsolutno identične strane (oni se nazivaju i baze) koje leže u paralelnim ravnima, i n-ti broj bočnih strana u obliku paralelograma. Zauzvrat, prizma također ima nekoliko varijanti, uključujući takve vrste poliedara kao što su:
- Paralelepiped - formira se ako je osnova paralelogram -poligon sa 2 para jednakih suprotnih uglova i 2 para podudarnih suprotnih strana.
- Prava prizma ima ivice okomite na osnovu.
- Nagnutu prizmu karakteriše prisustvo nepravih uglova (osim 90) između lica i baze.
- Pravičnu prizmu karakteriziraju baze u obliku pravilnog poligona sa jednakim bočnim stranama.
Osnovna svojstva prizme:
- Kongruentne osnove.
- Sve ivice prizme su jednake i paralelne jedna s drugom.
- Sve bočne strane su u obliku paralelograma.
Piramida
Piramida je geometrijsko tijelo, koje se sastoji od jedne baze i n-tog broja trouglastih lica, povezanih u jednoj tački - vrhu. Treba napomenuti da ako su bočne strane piramide nužno predstavljene trokutima, onda baza može biti ili trouglasti poligon, ili četverokut, ili petougao, i tako dalje do beskonačnosti. U ovom slučaju, naziv piramide će odgovarati poligonu u bazi. Na primjer, ako trokut leži u osnovi piramide, to je trokutna piramida, četverougao je četverokut, itd.
Piramide su poliedri u obliku konusa. Tipovi poliedara ove grupe, pored gore navedenih, uključuju i sljedeće predstavnike:
- Pravilna piramida ima pravilan poligon u svojoj osnovi, a njena visina je projektovana na centarkrug upisan u bazu ili opisan oko nje.
- Pravougaona piramida se formira kada se jedna od bočnih ivica siječe sa bazom pod pravim uglom. U ovom slučaju, takođe je pošteno nazvati ovu ivicu visinom piramide.
Svojstva piramide:
- Ako su sve bočne ivice piramide podudarne (iste visine), onda se svi sijeku sa bazom pod istim uglom, a oko baze možete nacrtati krug sa centrom koji se poklapa sa projekcijom vrh piramide.
- Ako je osnova piramide pravilan poligon, tada su sve bočne ivice podudarne, a lica su jednakokraki trouglovi.
Pravilni poliedar: vrste i svojstva poliedara
U stereometriji posebno mjesto zauzimaju geometrijska tijela sa apsolutno jednakim licima, na čijim vrhovima je povezan isti broj ivica. Ova tijela se nazivaju Platonova tijela ili pravilni poliedri. Tipovi poliedara sa takvim svojstvima imaju samo pet oblika:
- Tetrahedron.
- Heksaedar.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Ikosaedar.
Pravilni poliedri duguju svoje ime starogrčkom filozofu Platonu, koji je u svojim spisima opisao ova geometrijska tijela i povezao ih sa prirodnim elementima: zemljom, vodom, vatrom, zrakom. Petoj figuri je dodijeljena sličnost sa strukturom svemira. Po njegovom mišljenju, atomi prirodnih elemenata po obliku nalikuju tipovima pravilnih poliedara. Zbog svog najuzbudljivijeg svojstva -simetrije, ova geometrijska tijela su bila od velikog interesa ne samo za antičke matematičare i filozofe, već i za arhitekte, umjetnike i skulptore svih vremena. Prisustvo samo 5 tipova poliedara sa apsolutnom simetrijom smatralo se fundamentalnim otkrićem, čak im je dodeljena veza sa božanskim principom.
Heksaedar i njegova svojstva
U obliku šesterokuta, Platonovi nasljednici su pretpostavili sličnost sa strukturom atoma zemlje. Naravno, u ovom trenutku ova hipoteza je potpuno opovrgnuta, što, međutim, ne sprečava figure da svojom estetikom privuku umove poznatih ličnosti u moderno doba.
U geometriji, heksaedar, poznat i kao kocka, smatra se posebnim slučajem paralelepipeda, koji je, pak, neka vrsta prizme. Prema tome, svojstva kocke su povezana sa svojstvima prizme, s jedinom razlikom što su sve strane i uglovi kocke međusobno jednaki. Iz ovoga proizilaze sljedeća svojstva:
- Sve ivice kocke su kongruentne i leže u paralelnim ravninama jedna u odnosu na drugu.
- Sva lica su kongruentni kvadrati (u kocki ih ima ukupno 6), od kojih se svako može uzeti kao osnova.
- Svi uglovi interfejsa su 90.
- Iz svakog vrha izlazi jednak broj ivica, odnosno 3.
- Kocka ima 9 osi simetrije, koje se sve seku u tački preseka dijagonala heksaedra, koja se zove centar simetrije.
Tetraedar
Tetraedar je tetraedar sa jednakim stranama u obliku trouglova, čiji je svaki vrhje tačka spajanja tri lica.
Svojstva pravilnog tetraedra:
- Sve strane tetraedra su jednakostranični trouglovi, što znači da su sve strane tetraedra podudarne.
- Pošto je osnova predstavljena pravilnom geometrijskom figurom, odnosno ima jednake stranice, lica tetraedra konvergiraju pod istim uglom, odnosno svi uglovi su jednaki.
- Zbir ravnih uglova na svakom od vrhova je 180, pošto su svi uglovi jednaki, tada je svaki ugao pravilnog tetraedra 60.
- Svaki od vrhova je projektovan na tačku preseka visina suprotne (ortocentrične) strane.
Oktaedar i njegova svojstva
Opisujući tipove pravilnih poliedara, ne može se ne primijetiti takav objekt kao što je oktaedar, koji se može vizualno predstaviti kao dvije četverokutne pravilne piramide spojene bazama.
Svojstva oktaedra:
- Samo ime geometrijskog tijela sugerira broj njegovih lica. Oktaedar se sastoji od 8 podudarnih jednakostraničnih trokuta, u čijim se vrhovima konvergira jednak broj strana, odnosno 4.
- Budući da su sve strane oktaedra jednake, jednaki su i njegovi međuuglovi, od kojih je svaki jednak 60, a zbir ravnih uglova bilo kog vrha je 240.
Dodekaedar
Ako zamislimo da su sva lica geometrijskog tijela pravilan petougao, onda ćemo dobiti dodekaedar -figura od 12 poligona.
Svojstva dodekaedra:
- Tri lica se seku na svakom vrhu.
- Sva lica su jednaka i imaju istu dužinu ivice i jednaku površinu.
- Dodekaedar ima 15 osi i ravni simetrije, i svaka od njih prolazi kroz vrh lica i sredinu suprotne ivice.
Ikosaedar
Ništa manje zanimljivo od dodekaedra, lik ikosaedra je trodimenzionalno geometrijsko tijelo sa 20 jednakih lica. Među osobinama pravilnog dvadesetedra, mogu se primijetiti sljedeće:
- Sve strane ikosaedra su jednakokraki trouglovi.
- Pet lica konvergiraju na svakom vrhu poliedra, a zbir susjednih uglova vrha je 300.
- Ikosaedar, kao i dodekaedar, ima 15 osa i ravni simetrije koje prolaze kroz sredine suprotnih strana.
Polupravilni poligoni
Pored Platonovih tela, grupa konveksnih poliedara uključuje i Arhimedova tela, koja su skraćeni pravilni poliedri. Tipovi poliedara ove grupe imaju sljedeća svojstva:
- Geometrijska tijela imaju parno jednaka lica nekoliko tipova, na primjer, skraćeni tetraedar ima 8 lica, kao običan tetraedar, ali u slučaju arhimedovog čvrstog tijela, 4 lica će biti trouglaste, a 4 će biti šesterokutne.
- Svi uglovi jednog temena su podudarni.
Zvjezdasti poliedar
Predstavnici nevolumetrijskih tipova geometrijskih tijela su zvjezdasti poliedri čija lica seku jedna drugu. Mogu se formirati spajanjem dva obična 3D čvrsta tijela ili proširenjem njihovih lica.
Dakle, takvi zvjezdani poliedri su poznati kao: zvjezdani oblici oktaedra, dodekaedra, ikosaedra, kuboktaedra, ikosododekaedra.
