Pojava koncepta integrala nastala je zbog potrebe da se antiderivativna funkcija pronađe po njenom izvodu, kao i da se odredi količina rada, površina kompleksnih figura, pređeni put, sa parametri ocrtani krivuljama opisanim nelinearnim formulama.
Sa kursa
a fizika zna da je rad jednak proizvodu sile i udaljenosti. Ako se sva kretanja odvijaju konstantnom brzinom ili se udaljenost savlada primjenom iste sile, onda je sve jasno, samo ih trebate pomnožiti. Šta je integral konstante? Ovo je linearna funkcija oblika y=kx+c.
Ali sila tokom rada se može menjati i to u nekoj vrsti prirodne zavisnosti. Ista situacija se dešava sa proračunom pređenog puta ako brzina nije konstantna.
Dakle, jasno je čemu služi integral. Njegova definicija kao zbroj proizvoda vrijednosti funkcije beskonačno malim povećanjem argumenta u potpunosti opisuje glavno značenje ovog koncepta kao površine figure ograničene odozgo linijom funkcije i na ivice po granicama definicije.
Jean Gaston Darboux, francuski matematičar, u drugoj polovini XIX.veka vrlo jasno objasnio šta je integral. Toliko je jasno rekao da uopšte ne bi bilo teško čak ni učeniku srednje škole da razume ovo pitanje.
Recimo da postoji funkcija bilo kojeg složenog oblika. Y-osa, na kojoj su iscrtane vrijednosti argumenta, podijeljena je na male intervale, u idealnom slučaju oni su beskonačno mali, ali budući da je koncept beskonačnosti prilično apstraktan, dovoljno je zamisliti samo male segmente, vrijednost od kojih se obično označava grčkim slovom Δ (delta).
ispostavilo se da je funkcija "isječena" na male cigle.
Svaka vrijednost argumenta odgovara tački na y-osi, na kojoj su iscrtane odgovarajuće vrijednosti funkcije. Ali pošto odabrano područje ima dvije granice, postojat će i dvije vrijednosti funkcije, više i manje.
Zbir proizvoda većih vrijednosti prirastom Δ naziva se velika Darbouxova suma i označava se kao S. Prema tome, manje vrijednosti u ograničenom području, pomnožene sa Δ, sve zajedno formiraju mali Darbouxov zbir s. Sam presjek liči na pravougaoni trapez, jer se zakrivljenost linije funkcije s njenim beskonačno malim prirastom može zanemariti. Najlakši način da pronađete površinu takve geometrijske figure je da zbrojite proizvode veće i manje vrijednosti funkcije sa Δ-prirastom i podijelite sa dva, odnosno odredite je kao aritmetičku sredinu.
Ovo je Darbouxov integral:
s=Σf(x) Δ je mali iznos;
S=Σf(x+Δ)Δ je velika suma.
Pa šta je integral? Područje ograničeno funkcionalnom linijom i granicama definicije bit će:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
To jest, aritmetička sredina velikih i malih Darbouxovih suma.c je konstantna vrijednost koja se postavlja na nulu tokom diferencijacije.
Na osnovu geometrijskog izraza ovog koncepta, fizičko značenje integrala postaje jasno. Područje figure, ocrtano funkcijom brzine i ograničeno vremenskim intervalom duž ose apscise, bit će dužina prijeđene putanje.
L=∫f(x)dx na intervalu od t1 do t2, Gdje
f(x) – funkcija brzine, odnosno formula po kojoj se mijenja tokom vremena;
L – dužina putanje;
t1 – vrijeme početka;
t2 – vrijeme završetka putovanja.
Tačno prema istom principu određuje se količina rada, samo će se udaljenost iscrtati duž apscise, a količina sile primijenjene u svakoj pojedinoj tački će biti iscrtana duž ordinate.
