Svaki učenik je čuo za okrugli konus i zamišlja kako ova trodimenzionalna figura izgleda. Ovaj članak definira razvoj konusa, daje formule koje opisuju njegove karakteristike i opisuje kako ga konstruirati koristeći šestar, kutomjer i ravnalo.
Kružni konus u geometriji
Dajmo geometrijsku definiciju ove figure. Okrugli konus je površina koju čine pravi segmenti koji povezuju sve tačke određenog kruga sa jednom tačkom u prostoru. Ova pojedinačna tačka ne smije pripadati ravni u kojoj leži kružnica. Ako uzmemo krug umjesto kruga, onda ova metoda također vodi do konusa.
Krug se zove baza figure, njegov obim je direktrisa. Segmenti koji povezuju tačku sa direktrisom nazivaju se generatrisi ili generatori, a tačka u kojoj se oni seku je vrh konusa.
Okrugli konus može biti ravan i kos. Obje brojke su prikazane na slici ispod.
Razlika između njih je sljedeća: ako okomita od vrha konusa pada tačno na centar kruga, tada će konus biti ravan. Za njega je okomica, koja se zove visina figure, dio njegove ose. U slučaju kosog konusa, visina i osa formiraju oštar ugao.
Zbog jednostavnosti i simetrije figure, dalje ćemo razmatrati svojstva samo desnog konusa sa okruglom bazom.
Dobijanje oblika pomoću rotacije
Prije razmatranja razvoja površine konusa, korisno je znati kako se ova prostorna figura može dobiti korištenjem rotacije.
Pretpostavimo da imamo pravougli trokut sa stranicama a, b, c. Prva dva od njih su katete, c je hipotenuza. Stavimo trokut na krak a i počnimo ga rotirati oko kraka b. Hipotenuza c će tada opisati stožastu površinu. Ova jednostavna tehnika konusa je prikazana na dijagramu ispod.
Očigledno, krak a će biti poluprečnik osnove figure, krak b će biti njegova visina, a hipotenuza c odgovara generatrisi okruglog desnog konusa.
Prikaz razvoja konusa
Kao što možete pretpostaviti, konus je formiran od dvije vrste površina. Jedan od njih je krug ravne osnove. Pretpostavimo da ima polumjer r. Druga površina je bočna i naziva se konusna. Neka je njegov generator jednak g.
Ako imamo papirni konus, onda možemo uzeti makaze i odrezati bazu od njega. Zatim treba rezati konusnu površinuduž bilo koje generatrise i rasporediti je na avion. Na taj način smo dobili razvoj bočne površine konusa. Dvije površine, zajedno sa originalnim konusom, prikazane su na donjem dijagramu.
Osnovni krug je prikazan u donjem desnom uglu. U sredini je prikazana rasklopljena konusna površina. Ispostavilo se da odgovara nekom kružnom sektoru kružnice, čiji je poluprečnik jednak dužini generatrise g.
Pomeranje ugla i površine
Sada dobijamo formule koje nam, koristeći poznate parametre g i r, omogućavaju da izračunamo površinu i ugao konusa.
Očigledno, luk kružnog sektora prikazanog iznad na slici ima dužinu jednaku obimu baze, to jest:
l=2pir.
Ako bi se izgradio cijeli krug radijusa g, tada bi njegova dužina bila:
L=2pig.
Budući da dužina L odgovara radijanima 2pi, onda se ugao na koji leži luk l može odrediti iz odgovarajuće proporcije:
L==>2pi;
l==> φ.
Tada će nepoznati ugao φ biti jednak:
φ=2pil/L.
Zamjenom izraza za dužine l i L dolazimo do formule za ugao razvoja bočne površine konusa:
φ=2pir/g.
Ugao φ ovdje je izražen u radijanima.
Da odredimo površinu Sb kružnog sektora, koristićemo pronađenu vrijednost φ. Pravimo još jednu proporciju, samo za površine. Imamo:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Odakle izraziti Sb, a zatim zamijeniti vrijednost ugla φ. Dobijamo:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Za površinu konične površine dobili smo prilično kompaktnu formulu. Vrijednost Sb jednaka je proizvodu tri faktora: pi, polumjera figure i njene generatrikse.
Tada će površina cijele površine figure biti jednaka zbroju Sb i So (kružno bazna površina). Dobijamo formulu:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Izgradnja konusa na papiru
Da izvršite ovaj zadatak trebat će vam komad papira, olovka, kutomjer, ravnalo i šestar.
Prvo, nacrtajmo pravougli trougao sa stranicama 3 cm, 4 cm i 5 cm. Njegova rotacija oko kraka od 3 cm će dati željeni konus. Slika ima r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Izrada zamaha će početi crtanjem kruga poluprečnika r pomoću kompasa. Njegova dužina će biti jednaka 6pi cm. Sada ćemo pored njega nacrtati još jedan krug, ali polumjera g. Njegova dužina će odgovarati 10pi cm. Sada moramo odrezati kružni sektor od velikog kruga. Njegov ugao φ je:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Sada odvajamo ovaj ugao sa kutomjerom na kružnici poluprečnika g i nacrtamo dva radijusa koji će ograničiti kružni sektor.
DakleDakle, izgradili smo razvoj konusa sa specificiranim parametrima radijusa, visine i generatriksa.
Primjer rješavanja geometrijskog problema
Dat je okrugli ravan konus. Poznato je da je ugao njegovog bočnog zamaha 120o. Potrebno je pronaći poluprečnik i generatrisu ove figure, ako je poznato da je visina h konusa 10 cm.
Zadatak nije težak ako se prisjetimo da je okrugli konus figura rotacije pravokutnog trokuta. Iz ovog trokuta slijedi nedvosmislen odnos između visine, polumjera i generatriksa. Napišimo odgovarajuću formulu:
g2=h2+ r2.
Drugi izraz koji se koristi pri rješavanju je formula za ugao φ:
φ=2pir/g.
Dakle, imamo dvije jednadžbe koje povezuju dvije nepoznate veličine (r i g).
Izrazite g iz druge formule i zamenite rezultat u prvu, dobijamo:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Ugao φ=120o u radijanima je 2pi/3. Zamijenimo ovu vrijednost i dobijemo konačne formule za r i g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Ostaje da zamenimo vrednost visine i dobijemo odgovor na problem: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
