Šta je ovo - konus? Definicija, svojstva, formule i primjer rješavanja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Konus je jedna od prostornih figura rotacije, čije se karakteristike i svojstva proučavaju stereometrijom. U ovom članku ćemo definirati ovu figuru i razmotriti osnovne formule koje povezuju linearne parametre konusa s njegovom površinom i zapreminom.

Šta je konus?

Sa stanovišta geometrije, govorimo o prostornoj figuri, koja je formirana skupom ravnih segmenata koji povezuju određenu tačku u prostoru sa svim tačkama glatke ravne krive. Ova kriva može biti kružnica ili elipsa. Slika ispod prikazuje konus.

Predstavljena figura nema volumen, jer zidovi njene površine imaju beskonačno malu debljinu. Međutim, ako je ispunjen supstancom i odozgo ograničen ne krivuljom, već ravnom figurom, na primjer, krugom, tada ćemo dobiti čvrsto volumetrijsko tijelo, koje se također obično naziva konus.

Oblik konusa se često može naći u životu. Dakle, ima kornet za sladoled ili prugaste crno-narandžaste kornete koji se postavljaju na kolovoz kako bi privukli pažnju učesnika u saobraćaju.

Elementi konusa i njegove vrste

Pošto konus nije poliedar, broj elemenata koji ga formiraju nije tako velik kao za poliedre. U geometriji, opći konus se sastoji od sljedećih elemenata:

• baza, čija se granična kriva naziva direktrisa ili generatrisa;
• bočne površine, koja je skup svih tačaka pravih segmenata (generatrisa) koje povezuju vrh i tačke vodeće krive;
• vrh, koji je tačka preseka generatrisa.

Imajte na umu da vrh ne smije ležati u ravni baze, jer se u ovom slučaju konus degeneriše u ravan lik.

Ako nacrtamo okomit segment od vrha do baze, dobićemo visinu figure. Ako se posljednja baza siječe u geometrijskom centru, onda je to ravan konus. Ako se okomica ne poklapa sa geometrijskim centrom baze, tada će lik biti nagnut.

Pravi i kosi konusi su prikazani na slici. Ovdje su visina i polumjer osnove konusa označeni sa h i r, respektivno. Linija koja povezuje vrh figure i geometrijsko središte baze je os konusa. Iz slike se vidi da za ravnu figuru visina leži na ovoj osi, a za nagnutu figuru visina čini ugao sa osom. Os konusa je označena slovom a.

Pravi konus sa okruglom bazom

Možda je ovaj konus najčešći u razmatranoj klasi figura. Sastoji se od kruga i stranicepovršine. Nije ga teško dobiti geometrijskim metodama. Da biste to učinili, uzmite pravokutni trokut i zarotirajte ga oko ose koja se poklapa s jednom od krakova. Očigledno, ova noga će postati visina figure, a dužina druge noge trokuta čini polumjer osnove konusa. Dijagram ispod pokazuje opisanu šemu za dobijanje dotične rotacije.

Opisani trokut se može rotirati oko druge noge, što će rezultirati konusom sa većim polumjerom osnove i nižom visinom od prvog.

Da bi se nedvosmisleno odredili svi parametri okruglog pravog konusa, treba znati bilo koje dvije njegove linearne karakteristike. Među njima se razlikuju poluprečnik r, visina h ili dužina generatrise g. Sve ove veličine su dužine stranica razmatranog pravokutnog trougla, stoga za njihovu vezu vrijedi Pitagorina teorema:

g²=r²+ h^2.

Površina

Kada proučavate površinu bilo koje trodimenzionalne figure, zgodno je koristiti njen razvoj na ravni. Konus nije izuzetak. Za okrugli konus, razvoj je prikazan ispod.

Vidimo da se rasplet figure sastoji od dva dijela:

1. Krug koji čini osnovu konusa.
2. Sektor kruga, koji je konusna površina figure.

Površinu kruga je lako pronaći, a odgovarajuća formula je poznata svakom učeniku. Govoreći o kružnom sektoru, napominjemo da jeje dio kruga polumjera g (dužina generatrise konusa). Dužina luka ovog sektora jednaka je obimu baze. Ovi parametri omogućavaju nedvosmisleno određivanje njegove površine. Odgovarajuća formula je:

S=pir2+ pirg.

Prvi i drugi član u izrazu su konus baze i bočna površina površine, respektivno.

Ako je dužina generatora g nepoznata, ali je data visina h figure, tada se formula može prepisati kao:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Obim figure

Ako uzmemo ravnu piramidu i povećamo broj stranica njene osnove u beskonačnosti, tada će oblik osnove težiti kružnici, a bočna površina piramide će se približiti konusnoj površini. Ova razmatranja nam omogućavaju da koristimo formulu za volumen piramide kada izračunamo sličnu vrijednost za konus. Zapreminu konusa možete pronaći pomoću formule:

V=1/3hS_o.

Ova formula je uvijek tačna, bez obzira na to koja je osnova konusa, ima površinu S_{o. Štaviše, formula se odnosi i na kosi konus.}

Pošto proučavamo svojstva ravne figure sa okruglom bazom, možemo koristiti sljedeći izraz da odredimo njen volumen:

V=1/3hpir2.

Formula je očigledna.

Problem pronalaženja površine i zapremine

Neka je dat konus čiji je poluprečnik 10 cm, a dužina generatrikse 20vidi Potrebno je odrediti volumen i površinu za ovaj oblik.

Da biste izračunali površinu S, možete odmah koristiti formulu napisanu iznad. Imamo:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Da biste odredili volumen, morate znati visinu h figure. Izračunavamo ga koristeći odnos između linearnih parametara konusa. Dobijamo:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Sada možete koristiti formulu za V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Imajte na umu da je zapremina okruglog konusa jedna trećina cilindra u koji je upisan.