Jedna od grana matematike s kojom se školarci nose s najvećim poteškoćama je trigonometrija. Nije ni čudo: da biste slobodno savladali ovu oblast znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa pomoću formula, pojednostavljenja izraza i mogućnosti korištenja broja pi u proračunima. Osim toga, morate biti u stanju primijeniti trigonometriju prilikom dokazivanja teorema, a za to je potrebna ili razvijena matematička memorija ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.
Poreklo trigonometrije
Uvod u ovu nauku trebalo bi da počne definicijom sinusa, kosinusa i tangenta ugla, ali prvo morate da shvatite šta trigonometrija uopšte radi.
Istorijski gledano, pravokutni trouglovi su bili glavni predmet istraživanja u ovom dijelu matematičke nauke. Prisutnost ugla od 90 stepeni omogućava izvođenje različitih operacija koje dopuštaju dvijestrane i jedan ugao ili dva ugla i jednu stranu za određivanje vrijednosti svih parametara dotične figure. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj obrazac i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i umjetnosti.
Početak
U početku se o odnosu uglova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnih trougla. Tada su otkrivene posebne formule, koje su omogućile proširenje granica upotrebe u svakodnevnom životu ovog odsjeka matematike.
Učenje trigonometrije u školi danas počinje sa pravokutnim trouglim, nakon čega stečeno znanje koriste učenici u fizici i rješavanju apstraktnih trigonometrijskih jednačina, rad sa kojima počinje u srednjoj školi.
Sferna trigonometrija
Kasnije, kada je nauka dostigla sledeći nivo razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangentom, kotangensom počele su da se koriste u sfernoj geometriji, gde važe druga pravila, a zbir uglova u trokutu je uvek veći od 180 stepeni. Ovaj dio se ne izučava u školi, ali je potrebno znati o njegovom postojanju, barem zato što je površina Zemlje, kao i površina bilo koje druge planete, konveksna, što znači da će svaka oznaka površine biti "lučno oblikovana". " u trodimenzionalnom prostoru.
Uzmite globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Obratite pažnju - dobio je oblik luka. Bavi se takvim oblicimasferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim poljima.
Pravougli trougao
Naučivši ponešto o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli šta su sinus, kosinus, tangenta, koja se izračunavanja mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.
Prije svega, morate razumjeti koncepte koji se odnose na pravougli trokut. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot ugla od 90 stepeni. Ona je najduža. Sjećamo se da je prema Pitagorinoj teoremi njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbira kvadrata druge dvije stranice.
Na primjer, ako su dvije strane 3 odnosno 4 centimetra, dužina hipotenuze će biti 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za ovo znali prije otprilike četiri i po hiljade godina.
Dvije preostale stranice koje formiraju pravi ugao nazivaju se noge. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbir uglova u trouglu u pravougaonom koordinatnom sistemu 180 stepeni.
Definicija
Konačno, nakon dobrog razumijevanja geometrijske osnove, možemo se obratiti definiciji sinusa, kosinusa i tangenta ugla.
Sinus ugla je odnos suprotnog kraka (tj. strane suprotne željenom uglu) i hipotenuze. Kosinus ugla je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto?Zato što je hipotenuza po defaultu najduža stranica pravokutnog trougla. Bez obzira koliko je krak dugačak, bit će kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako dobijete sinus ili kosinus sa vrijednošću većom od 1 u odgovoru na problem, potražite grešku u proračunima ili zaključivanju. Ovaj odgovor je očigledno pogrešan.
Konačno, tangenta ugla je omjer suprotne i susjedne strane. Isti rezultat će dati podjelu sinusa kosinusom. Pogledajte: prema formuli, duljinu stranice dijelimo hipotenuzom, nakon čega dijelimo dužinom druge stranice i množimo hipotenuzom. Dakle, dobijamo isti omjer kao u definiciji tangente.
Kotangens je odnos strane koja je susedna uglu i suprotnoj strani. Dobijamo isti rezultat dijeljenjem jedinice sa tangentom.
Dakle, razmotrili smo definicije šta je sinus, kosinus, tangenta i kotangens, i možemo se baviti formulama.
Jednostavne formule
U trigonometriji se ne može bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangent, kotangens bez njih? Ali to je upravo ono što je potrebno pri rješavanju problema.
Prva formula koju treba da znate kada počnete da proučavate trigonometriju kaže da je zbir kvadrata sinusa i kosinusa ugla jednak jedan. Ova formula je direktna posljedica Pitagorine teoreme, ali štedi vrijeme ako trebate saznati vrijednost ugla, a ne stranice.
Mnogi studenti se ne mogu sjetiti druge formule, također vrlopopularan u rješavanju školskih zadataka: zbir jedinice i kvadrata tangente ugla jednak je jednom podijeljenom s kvadratom kosinusa ugla. Pogledajte pažljivije: na kraju krajeva, ovo je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispostavilo se da jednostavna matematička operacija čini trigonometrijsku formulu potpuno neprepoznatljivom. Zapamtite: znajući šta je sinus, kosinus, tangenta i kotangens, pravila konverzije i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku samostalno izvesti potrebne složenije formule na komadu papira.
Formule dvostrukog ugla i dodavanje argumenata
Još dvije formule koje treba naučiti se odnose na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbir i razliku uglova. Oni su prikazani na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom slučaju se dodaje parni proizvod sinusa i kosinusa.
Postoje i formule povezane sa argumentima dvostrukog ugla. Oni su u potpunosti izvedeni iz prethodnih - kao praksa, pokušajte da ih nabavite sami, uzimajući ugao alfa jednak uglu beta.
Konačno, imajte na umu da se formule za dvostruki ugao mogu pretvoriti kako bi se smanjio stepen sinusa, kosinusa, tangenta alfa.
Teoreme
Dvije glavne teoreme u osnovnoj trigonometriji su sinusna teorema i kosinusna teorema. Uz pomoć ovih teorema, možete lako razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangentu, a time i površinu figure i veličinusvaka strana, itd.
Teorema sinusa kaže da kao rezultat dijeljenja dužine svake od stranica trougla vrijednošću suprotnog ugla, dobijamo isti broj. Štaviše, ovaj broj će biti jednak sa dva poluprečnika opisane kružnice, tj. kruga koji sadrži sve tačke datog trougla.
Teorema kosinusa generalizuje Pitagorinu teoremu, projektujući je na bilo koje trouglove. Ispada da od zbira kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod, pomnožen dvostrukim kosinusom ugla koji im je susjedan - rezultirajuća vrijednost će biti jednaka kvadratu treće strane. Stoga se ispostavlja da je Pitagorina teorema poseban slučaj kosinusne teoreme.
Greške zbog nepažnje
Čak i znajući šta su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog rasejanosti ili greške u najjednostavnijim proračunima. Da biste izbjegli takve greške, pogledajmo one najpopularnije.
Prvo, nemojte pretvarati obične razlomke u decimale prije nego što dobijete konačni rezultat - odgovor možete ostaviti kao običan razlomak, osim ako nije drugačije navedeno u uvjetu. Takva se transformacija ne može nazvati greškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi zadatka mogu pojaviti novi korijeni, koje bi, prema ideji autora, trebalo smanjiti. U tom slučaju gubite vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. Ovo posebno vrijedi za vrijednosti kao što je korijen od tri ili dva, jer se pojavljuju u zadacima na svakom koraku. Isto važi i za zaokruživanje."Ružni" brojevi.
Dalje, imajte na umu da se kosinusna teorema primjenjuje na bilo koji trougao, ali ne i Pitagorina teorema! Ako greškom zaboravite da dvaput oduzmete umnožak stranica pomnožen kosinusom ugla između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje subjekta. Ovo je gore od neoprezne greške.
Treće, nemojte miješati vrijednosti za uglove od 30 i 60 stepeni za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stepeni jednak kosinsu od 60, i obrnuto. Lako ih je pomiješati i neminovno ćete dobiti pogrešan rezultat.
Prijava
Mnogi studenti ne žure da počnu proučavati trigonometriju, jer ne razumiju njeno primijenjeno značenje. Šta je sinus, kosinus, tangenta za inženjera ili astronoma? Ovo su koncepti zahvaljujući kojima možete izračunati udaljenost do udaljenih zvijezda, predvidjeti pad meteorita, poslati istraživačku sondu na drugu planetu. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Na kraju krajeva, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi svuda, od muzike do medicine.
U zaključku
Dakle, znate šta su sinus, kosinus, tangent. Možete ih koristiti u proračunima i uspješno rješavati školske probleme.
Cijela poentatrigonometrija se svodi na to da je prema poznatim parametrima trougla potrebno izračunati nepoznanice. Ukupno ima šest parametara: dužine tri strane i veličine tri ugla. Čitava razlika u zadacima leži u činjenici da su dati različiti ulazni podaci.
Kako pronaći sinus, kosinus, tangent na osnovu poznatih dužina kateta ili hipotenuze, sada znate. Pošto ovi pojmovi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj trigonometrijskog problema je pronaći korijene obične jednačine ili sistema jednačina. I ovdje će vam pomoći uobičajena školska matematika.
