Prilično često u matematičkoj nauci postoji niz poteškoća i pitanja, a mnogi odgovori nisu uvijek jasni. Nije izuzetak bila takva tema kao što je kardinalnost skupova. Zapravo, ovo nije ništa drugo do numerički izraz broja objekata. U opštem smislu, skup je aksiom; on nema definiciju. Zasnovan je na bilo kojem objektu, odnosno njihovom skupu, koji može biti prazan, konačan ili beskonačan. Osim toga, sadrži cijele brojeve ili prirodne brojeve, matrice, nizove, segmente i linije.
O postojećim varijablama
Nutil ili prazan skup bez intrinzične vrijednosti smatra se kardinalnim elementom jer je podskup. Zbirka svih podskupova nepraznog skupa S je skup skupova. Dakle, skup snaga datog skupa se smatra mnogostrukim, zamislivim, ali jednim. Ovaj skup se naziva skup potencija S i označava se sa P (S). Ako S sadrži N elemenata, onda P(S) sadrži 2^n podskupova, budući da je podskup od P(S) ili ∅ ili podskup koji sadrži r elemenata iz S, r=1, 2, 3, … Sastavljen od svega beskonačnogskup M naziva se veličina snage i simbolički se označava sa P (M).
Elementi teorije skupova
Ovu oblast znanja razvio je George Cantor (1845-1918). Danas se koristi u gotovo svim granama matematike i služi kao njen temeljni dio. U teoriji skupova, elementi su predstavljeni u obliku liste i dati su tipovima (prazan skup, jednostruki, konačni i beskonačni skupovi, jednaki i ekvivalentni, univerzalni), unija, presek, razlika i sabiranje brojeva. U svakodnevnom životu često govorimo o zbirci predmeta kao što su gomila ključeva, jato ptica, paket karata itd. U matematici 5. razreda i dalje postoje prirodni, cijeli, prosti i složeni brojevi.
Mogu se uzeti u obzir sljedeći setovi:
- prirodni brojevi;
- slova abecede;
- primarne kvote;
- trokuti sa različitim stranama.
Može se vidjeti da su ovi specificirani primjeri dobro definirani skupovi objekata. Razmotrite još nekoliko primjera:
- pet najpoznatijih naučnika na svijetu;
- sedam lijepih djevojaka u društvu;
- tri najbolja hirurga.
Ovi primjeri kardinalnosti nisu dobro definirane kolekcije objekata, jer kriteriji za "najpoznatije", "najljepše", "najbolje" variraju od osobe do osobe.
Setovi
Ova vrijednost je dobro definiran broj različitih objekata. Pod pretpostavkom da:
- skup riječi je sinonim, agregat, klasa i sadrži elemente;
- objekti, članovi su jednaki;
- skupovi se obično označavaju velikim slovima A, B, C;
- elementi skupa su predstavljeni malim slovima a, b, c.
Ako je "a" element skupa A, onda se kaže da "a" pripada A. Označimo izraz "pripada" grčkim karakterom "∈" (epsilon). Dakle, ispada da je a ∈ A. Ako je 'b' element koji ne pripada A, to se predstavlja kao b ∉ A. Neki važni skupovi koji se koriste u matematici 5. razreda su predstavljeni korištenjem tri sljedeće metode:
- applications;
- registri ili tabelarni;
- pravilo za kreiranje formacije.
Pri detaljnijem razmatranju, obrazac za prijavu se zasniva na sljedećem. U ovom slučaju se daje jasan opis elemenata skupa. Svi su zatvoreni u vitičastim zagradama. Na primjer:
- set neparnih brojeva manjih od 7 - napisano kao {manje od 7};
- skup brojeva većih od 30 i manje od 55;
- broj učenika u razredu koji su teži od nastavnika.
U obliku registra (tabela), elementi skupa su navedeni unutar para zagrada {} i odvojeni zarezima. Na primjer:
- Neka N označava skup prvih pet prirodnih brojeva. Stoga, N=→ registarski obrazac
- Skup svih samoglasnika engleske abecede. Otuda V={a, e, i, o, u, y} → registarski oblik
- Skup svih neparnih brojeva je manji od 9. Dakle, X={1, 3, 5, 7} → oblikregistar
- Skup svih slova u riječi "Matematika". Dakle, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registarski obrazac
- W je skup posljednja četiri mjeseca u godini. Dakle, W={septembar, oktobar, novembar, decembar} → registar.
Napominjemo da redosled po kojem su elementi navedeni nije bitan, ali se ne smeju ponavljati. Utvrđeni oblik konstrukcije, u datom slučaju, pravilo, formula ili operator upisuje se u par zagrada tako da je skup ispravno definiran. U formi za izgradnju skupa, svi elementi moraju imati isto svojstvo da bi postali član dotične vrijednosti.
U ovom obliku predstavljanja skupa, element skupa je opisan znakom "x" ili bilo kojom drugom varijablom praćenom dvotočkom (":" ili "|" se koristi za označavanje). Na primjer, neka je P skup prebrojivih brojeva većih od 12. P u obliku graditelja skupova zapisuje se kao - {prebrojiv broj i veći od 12}. Čitaće se na određeni način. To jest, "P je skup x elemenata tako da je x prebrojiv i veći od 12."
Rješen primjer korištenjem tri metode predstavljanja skupova: broj cijelih brojeva između -2 i 3. Ispod su primjeri različitih tipova skupova:
- Prazan ili nulti skup koji ne sadrži nijedan element i označen je simbolom ∅ i čita se kao phi. U obliku liste, ∅ se piše {}. Konačni skup je prazan, jer je broj elemenata 0. Na primjer, skup cjelobrojnih vrijednosti je manji od 0.
- Očigledno ne bi trebalo biti <0. Stoga, ovoprazan set.
- Skup koji sadrži samo jednu varijablu naziva se singleton skup. Nije ni jednostavno ni složeno.
Konačan skup
Skup koji sadrži određeni broj elemenata naziva se konačan ili beskonačan skup. Prazno se odnosi na prvu. Na primjer, skup svih boja duge.
Beskonačnost je skup. Elementi u njemu se ne mogu nabrojati. To jest, sadržaj koji sadrži slične varijable naziva se beskonačan skup. Primjeri:
- potencija skupa svih tačaka u ravni;
- skup svih prostih brojeva.
Ali treba da shvatite da se sve kardinalitete unije skupa ne mogu izraziti u obliku liste. Na primjer, realni brojevi, jer njihovi elementi ne odgovaraju nijednom posebnom uzorku.
Kardinalni broj skupa je broj različitih elemenata u datoj količini A. Označava se n (A).
Na primjer:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Prema tome, n (A)=4.
- B=skup slova u riječi ALGEBRA.
Ekvivalentni setovi za poređenje skupova
Dva kardinaliteta skupa A i B su takve ako im je kardinalni broj isti. Simbol za ekvivalentni skup je "↔". Na primjer: A ↔ B.
Jednaki skupovi: dva kardinaliteta skupova A i B ako sadrže iste elemente. Svaki koeficijent iz A je varijabla iz B, a svaki od B je specificirana vrijednost A. Stoga je A=B. Različite vrste kardinalnih sindikata i njihove definicije su objašnjene korištenjem datih primjera.
Suština konačnosti i beskonačnosti
Koje su razlike između kardinalnosti konačnog i beskonačnog skupa?
Prva vrijednost ima sljedeće ime ako je prazna ili ima konačan broj elemenata. U konačnom skupu, varijabla se može specificirati ako ima ograničen broj. Na primjer, korištenjem prirodnog broja 1, 2, 3. I proces popisivanja završava na nekom N. Broj različitih elemenata koji se broje u konačnom skupu S označava se sa n (S). Takođe se naziva red ili kardinal. Simbolično označeno prema standardnom principu. Dakle, ako je skup S ruska abeceda, tada sadrži 33 elementa. Također je važno zapamtiti da se element ne pojavljuje više od jednom u skupu.
Beskonačno u setu
Skup se naziva beskonačnim ako se elementi ne mogu nabrojati. Ako ima neograničen (tj. nebrojiv) prirodan broj 1, 2, 3, 4 za bilo koje n. Skup koji nije konačan naziva se beskonačan. Sada možemo raspravljati o primjerima numeričkih vrijednosti koje se razmatraju. Opcije krajnje vrijednosti:
- Neka Q={prirodni brojevi manji od 25}. Tada je Q konačan skup i n (P)=24.
- Neka R={cijeli brojevi između 5 i 45}. Tada je R konačan skup i n (R)=38.
- Neka S={brojevi po modulu 9}. Tada je S={-9, 9} je konačan skup i n (S)=2.
- Skup svih ljudi.
- Broj svih golubova.
Beskonačni primjeri:
- broj postojećih tačaka na ravni;
- broj svih tačaka u segmentu linije;
- skup pozitivnih cijelih brojeva djeljivih sa 3 je beskonačan;
- svi cijeli i prirodni brojevi.
Dakle, iz gornjeg rezonovanja, jasno je kako razlikovati konačne i beskonačne skupove.
Snaga kontinualnog skupa
Ako uporedimo skup i druge postojeće vrijednosti, tada se skupu dodaje dodatak. Ako je ξ univerzalan i A je podskup od ξ, tada je komplement od A broj svih elemenata ξ koji nisu elementi A. Simbolično, komplement od A u odnosu na ξ je A'. Na primjer, 2, 4, 5, 6 su jedini elementi ξ koji ne pripadaju A. Prema tome, A'={2, 4, 5, 6}
Set sa kontinuumom kardinalnosti ima sljedeće karakteristike:
- komplement univerzalne količine je prazna vrijednost u pitanju;
- ova null set varijabla je univerzalna;
- iznos i njegov komplementar su nepovezani.
Na primjer:
- Neka broj prirodnih brojeva bude univerzalni skup, a A paran. Tada je A '{x: x neparan skup sa istim ciframa}.
- Neka ξ=skup slova u abecedi. A=skup suglasnika. Zatim A '=broj samoglasnika.
- Dopuna univerzalnom setu je prazna količina. Može se označiti sa ξ. Tada je ξ '=Skup onih elemenata koji nisu uključeni u ξ. Prazan skup φ je zapisan i označen. Stoga je ξ=φ. Dakle, komplement univerzalnom skupu je prazan.
U matematici, "kontinuum" se ponekad koristi za predstavljanje prave linije. I općenito, da opišem slične objekte:
- kontinuum (u teoriji skupova) - realna linija ili odgovarajući kardinalni broj;
- linear - bilo koji uređeni skup koji dijeli određena svojstva realne linije;
- kontinuum (u topologiji) - neprazan kompaktni povezani metrički prostor (ponekad Hausdorff);
- hipoteza da nijedan beskonačan skup nije veći od cijelih brojeva, ali manji od realnih brojeva;
- moć kontinuuma je kardinalni broj koji predstavlja veličinu skupa realnih brojeva.
U suštini, kontinuum (mjerenje), teorije ili modeli koji objašnjavaju postepene prijelaze iz jednog stanja u drugo bez ikakvih naglih promjena.
Problemi spoja i ukrštanja
Poznato je da je presjek dva ili više skupova broj koji sadrži sve elemente koji su zajednički u ovim vrijednostima. Riječi zadaci na skupovima rješavaju se kako bi se dobile osnovne ideje o tome kako koristiti svojstva unije i presjeka skupova. Riješio glavne probleme riječi nasetovi izgledaju ovako:
Neka su A i B dva konačna skupa. Oni su takvi da je n (A)=20, n (B)=28 i n (A ∪ B)=36, pronađite n (A ∩ B)
Odnos u skupovima koristeći Vennov dijagram:
- Unija dva skupa može biti predstavljena osenčenom površinom koja predstavlja A ∪ B. A ∪ B kada su A i B disjunktni skupovi.
- Presjek dva skupa može se predstaviti Venovim dijagramom. Sa zasjenjenom površinom koja predstavlja A ∩ B.
- Razlika između ova dva seta može biti predstavljena Venovim dijagramima. Sa zasjenjenom površinom koja predstavlja A - B.
- Odnos između tri skupa koristeći Venov dijagram. Ako ξ predstavlja univerzalnu veličinu, tada su A, B, C tri podskupa. Ovdje se sva tri seta preklapaju.
Sažimanje informacija o skupu
Kardinalnost skupa je definisana kao ukupan broj pojedinačnih elemenata u skupu. A posljednja specificirana vrijednost je opisana kao broj svih podskupova. Prilikom proučavanja ovakvih pitanja potrebne su metode, metode i rješenja. Dakle, za kardinalnost skupa, sljedeći primjeri mogu poslužiti kao:
Neka A={0, 1, 2, 3}| |=4, gdje je | A | predstavlja kardinalnost skupa A.
Sada možete pronaći svoje napajanje. I to je prilično jednostavno. Kao što je već rečeno, skup snage se postavlja iz svih podskupova datog broja. Dakle, trebalo bi u osnovi definirati sve varijable, elemente i druge vrijednosti A,koji su {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Sada izračunajte snagu P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} koji ima 16 elemenata. Dakle, kardinalnost skupa A=16. Očigledno, ovo je zamoran i glomazan metod za rješavanje ovog problema. Međutim, postoji jednostavna formula po kojoj, direktno, možete znati broj elemenata u skupu snaga datog broja. | P |=2 ^ N, gdje je N broj elemenata u nekom A. Ova formula se može dobiti korištenjem jednostavne kombinatorike. Dakle, pitanje je 2^11 pošto je broj elemenata u skupu A 11.
Dakle, skup je bilo koja brojčano izražena količina, koja može biti bilo koji mogući objekt. Na primjer, automobili, ljudi, brojevi. U matematičkom smislu, ovaj koncept je širi i generalizovaniji. Ako se u početnim fazama razvrstavaju brojevi i opcije za njihovo rješavanje, onda se u srednjoj i višim fazama usložnjavaju uslovi i zadaci. Zapravo, kardinalnost unije skupa je određena pripadanjem objekta bilo kojoj grupi. To jest, jedan element pripada klasi, ali ima jednu ili više varijabli.
