Georg Kantor (fotografija je data kasnije u članku) je njemački matematičar koji je stvorio teoriju skupova i uveo koncept transfinitnih brojeva, beskonačno velikih, ali međusobno različitih. Također je definirao redne i kardinalne brojeve i kreirao njihovu aritmetiku.
Georg Kantor: kratka biografija
Rođen u Sankt Peterburgu 3.3.1845. Njegov otac je bio Danac protestantske vjere, Georg-Valdemar Kantor, koji se bavio trgovinom, uključujući i berzu. Njegova majka Marija Bem bila je katolkinja i poticala je iz porodice istaknutih muzičara. Kada se Georgov otac razbolio 1856. godine, porodica se prvo preselila u Wiesbaden, a zatim u Frankfurt u potrazi za blažom klimom. Dječakov matematički talenat pokazao se i prije njegovog 15. rođendana dok je studirao u privatnim školama i gimnazijama u Darmstadtu i Wiesbadenu. Na kraju, Georg Cantor je uvjerio svog oca u svoju čvrstu namjeru da postane matematičar, a ne inženjer.
Nakon kratkog studija na Univerzitetu u Cirihu, 1863. godine Kantor prelazi na Univerzitet u Berlinu da studira fiziku, filozofiju i matematiku. Evo gaučio:
- Karl Theodor Weierstrass, čija je specijalizacija u analizi vjerovatno imala najveći utjecaj na Georga;
- Ernst Eduard Kummer, koji je predavao višu aritmetiku;
- Leopold Kronecker, teoretičar brojeva koji se kasnije suprotstavio Cantoru.
Nakon što je proveo jedan semestar na Univerzitetu u Getingenu 1866. godine, Georg je sledeće godine napisao svoju doktorsku disertaciju pod naslovom "U matematici je umetnost postavljanja pitanja vrednija od rešavanja problema", o problemu koji je imao Carl Friedrich Gauss. ostao neriješen u svojoj Disquisitiones Arithmeticae (1801). Nakon što je kratko predavao u Berlinskoj školi za djevojčice, Kantor je počeo raditi na Univerzitetu u Haleu, gdje je ostao do kraja života, prvo kao učitelj, od 1872. kao docent, a od 1879. kao profesor.
Istraživanje
Na početku serije od 10 radova od 1869. do 1873., Georg Cantor je razmatrao teoriju brojeva. Rad je odražavao njegovu strast prema temi, proučavanje Gausa i Kroneckerov utjecaj. Na prijedlog Heinricha Eduarda Heinea, Cantorovog kolege u Halleu, koji je prepoznao njegov matematički talenat, okrenuo se teoriji trigonometrijskih nizova, u kojoj je proširio koncept realnih brojeva.
Na osnovu rada o funkciji kompleksne varijable njemačkog matematičara Bernharda Riemanna 1854. godine, Kantor je 1870. godine pokazao da se takva funkcija može predstaviti samo na jedan način - trigonometrijskim redovima. Razmatranje skupa brojeva (tačaka) kojene bi proturječio takvom gledištu, doveo ga je, najprije, 1872. do definicije iracionalnih brojeva u smislu konvergentnih nizova racionalnih brojeva (razlomaka cijelih brojeva) i dalje do početka rada na svom životnom djelu, teoriji skupova i konceptu. transfinitnih brojeva.
Teorija skupova
Georg Cantor, čija je teorija skupova nastala u prepisci sa matematičarem Tehničkog instituta u Braunšvajgu Richardom Dedekindom, bio mu je prijatelj od detinjstva. Zaključili su da su skupovi, bilo da su konačni ili beskonačni, kolekcije elemenata (npr. brojeva, {0, ±1, ±2…}) koji imaju određeno svojstvo zadržavajući svoju individualnost. Ali kada je Georg Cantor koristio korespondenciju jedan-na-jedan (na primjer, {A, B, C} do {1, 2, 3}) da prouči njihove karakteristike, brzo je shvatio da se razlikuju po stepenu članstva, čak i ako su bili beskonačni skupovi, tj. skupovi, čiji dio ili podskup uključuje onoliko objekata koliko i sam. Njegova metoda je ubrzo dala neverovatne rezultate.
Godine 1873., Georg Cantor (matematičar) je pokazao da su racionalni brojevi, iako beskonačni, prebrojivi jer se mogu staviti u korespondenciju jedan prema jedan sa prirodnim brojevima (tj. 1, 2, 3, itd.). d.). On je pokazao da je skup realnih brojeva, koji se sastoji od iracionalnih i racionalnih, beskonačan i neprebrojiv. Još paradoksalno, Cantor je dokazao da skup svih algebarskih brojeva sadrži onoliko elemenata kolikokoliko je skup svih cijelih brojeva, i da su transcendentalni brojevi, koji nisu algebarski, koji su podskup iracionalnih brojeva, neubrojivi i stoga je njihov broj veći od cijelih brojeva, i treba ih smatrati beskonačnim.
Protivnici i pristalice
Ali Kantorov rad, u kojem je prvi iznio ove rezultate, nije objavljen u Krell-u, jer se jedan od recenzenata, Kronecker, oštro protivio. Ali nakon intervencije Dedekinda, objavljen je 1874. pod naslovom "O karakterističnim svojstvima svih realnih algebarskih brojeva."
Nauka i privatni život
Iste godine, dok je bio na medenom mjesecu sa suprugom Wally Gutman u Interlakenu u Švicarskoj, Kantor je upoznao Dedekinda, koji je pozitivno govorio o njegovoj novoj teoriji. Georgeova plata je bila mala, ali je novcem svog oca, koji je umro 1863. godine, sagradio kuću za svoju ženu i petoro djece. Mnogi od njegovih radova objavljeni su u Švedskoj u novom časopisu Acta Mathematica, koji je uređivao i osnovao Gesta Mittag-Leffler, koji je među prvima prepoznao talenat njemačkog matematičara.
Veza s metafizikom
Kantorova teorija postala je potpuno novi predmet proučavanja matematike beskonačnog (npr. serije 1, 2, 3, itd., i složeniji skupovi), koja je u velikoj meri zavisila od korespondencije jedan-na-jedan. Kantorov razvoj novih metoda uprizorenjapitanja koja se tiču kontinuiteta i beskonačnosti, dala su njegovom istraživanju dvosmislen karakter.
Kada je tvrdio da beskonačni brojevi zaista postoje, okrenuo se antičkoj i srednjovjekovnoj filozofiji o stvarnoj i potencijalnoj beskonačnosti, kao i ranom vjerskom obrazovanju koje su mu dali roditelji. Godine 1883, u svojoj knjizi Osnove opšte teorije skupova, Kantor je kombinovao svoj koncept sa Platonovom metafizikom.
Kronecker, koji je tvrdio da samo cijeli brojevi "postoje" ("Bog je stvorio cijele brojeve, ostalo je djelo čovjeka"), dugi niz godina je žestoko odbijao njegovo razmišljanje i spriječio njegovo imenovanje na Univerzitet u Berlinu.
Transfinite numbers
U 1895-97. Georg Cantor je u potpunosti formirao svoju predstavu o kontinuitetu i beskonačnosti, uključujući beskonačne redne i kardinalne brojeve, u svom najpoznatijem radu, objavljenom kao Prilozi uspostavljanju teorije transfinitnih brojeva (1915). Ovaj esej sadrži njegov koncept, na koji ga je naveo demonstrirajući da se beskonačan skup može staviti u korespondenciju jedan-na-jedan sa jednim od njegovih podskupova.
Pod najmanjim transfinitnim kardinalnim brojem, on je mislio na kardinalnost bilo kojeg skupa koji se može staviti u korespondenciju jedan prema jedan sa prirodnim brojevima. Cantor je to nazvao aleph-null. Veliki transfinitni skupovi se označavaju alep-jedan, alef-dva, itd. On je dalje razvio aritmetiku transfinitnih brojeva, koja je bila analogna konačnoj aritmetici. pa onobogatio koncept beskonačnosti.
Protivljenje s kojim se suočio i vrijeme koje je bilo potrebno da njegove ideje budu u potpunosti prihvaćene nastaju zbog teškoća ponovnog vrednovanja drevnog pitanja šta je broj. Cantor je pokazao da skup tačaka na pravoj ima veću kardinalnost od aleph-nula. Ovo je dovelo do dobro poznatog problema hipoteze kontinuuma - nema kardinalnih brojeva između aleph-nula i moći tačaka na pravoj. Ovaj problem u prvoj i drugoj polovini 20. veka izazvao je veliko interesovanje i proučavali su ga mnogi matematičari, uključujući Kurta Gödela i Paula Cohena.
Depresija
Biografija Georga Kantora od 1884. bila je zasjenjena njegovom mentalnom bolešću, ali je nastavio aktivno raditi. 1897. pomogao je u održavanju prvog međunarodnog matematičkog kongresa u Cirihu. Djelomično zato što mu se Kronecker protivio, često je simpatizirao mlade ambiciozne matematičare i pokušavao je pronaći način da ih spasi od uznemiravanja nastavnika koji su se osjećali ugroženi novim idejama.
Priznanje
Na prijelazu stoljeća, njegov rad je u potpunosti prepoznat kao osnova za teoriju funkcija, analizu i topologiju. Osim toga, knjige Cantor Georga poslužile su kao poticaj za dalji razvoj intuicionističkih i formalističkih škola logičkih osnova matematike. Ovo je značajno promijenilo nastavni sistem i često se povezuje sa "novom matematikom".
1911. godine, Kantor je bio među pozvanimaproslava 500. godišnjice Univerziteta St. Andrews u Škotskoj. Otišao je tamo u nadi da će upoznati Bertranda Rasela, koji se u svom nedavno objavljenom djelu Principia Mathematica više puta pozivao na njemačkog matematičara, ali se to nije dogodilo. Univerzitet je Kantoru dodijelio počasnu diplomu, ali zbog bolesti nije mogao lično da primi nagradu.
Kantor se penzionisao 1913. godine, živio je u siromaštvu i gladovao tokom Prvog svjetskog rata. Proslave u čast njegovog 70. rođendana 1915. godine otkazane su zbog rata, ali je u njegovoj kući održana mala svečanost. Umro je 01.06.1918. u Haleu, u psihijatrijskoj bolnici, gde je proveo poslednje godine života.
Georg Kantor: biografija. Porodica
9. avgusta 1874., njemački matematičar se oženio Wally Gutmann. Par je imao 4 sina i 2 ćerke. Posljednje dijete rođeno je 1886. godine u novoj kući koju je kupio Kantor. Očevo naslijeđe pomoglo mu je da izdržava porodicu. Kantorovo zdravlje je bilo jako pogođeno smrću njegovog najmlađeg sina 1899. godine, a depresija ga nije napuštala od tada.
