Sudeći po popularnosti zahtjeva "Fermatova teorema - kratak dokaz", ovaj matematički problem zaista zanima mnoge. Ovu teoremu je prvi put iznio Pierre de Fermat 1637. na rubu kopije Aritmetike, gdje je tvrdio da ima rješenje koje je preveliko da stane na ivicu.
Prvi uspješan dokaz objavljen je 1995. godine - bio je to potpuni dokaz Fermatove teoreme Andrewa Wilesa. To je opisano kao "zapanjujući napredak" i dovelo je do toga da Wiles dobije Abelovu nagradu 2016. Iako je opisan relativno kratko, dokaz Fermatove teoreme je također dokazao veliki dio teoreme modularnosti i otvorio nove pristupe brojnim drugim problemima i učinkovitim metodama za podizanje modularnosti. Ova dostignuća su unapredila matematiku 100 godina u budućnost. Dokaz Fermatove male teoreme danas nijeje nešto neobično.
Nerešeni problem podstakao je razvoj algebarske teorije brojeva u 19. veku i potragu za dokazom teoreme modularnosti u 20. veku. Ovo je jedna od najznačajnijih teorema u historiji matematike, a do potpunog dokaza podjele Fermatove posljednje teoreme, bila je u Ginisovoj knjizi rekorda kao "najteži matematički problem", čija je jedna od karakteristika da ima najveći broj neuspješnih dokaza.
Historijska pozadina
Pitagorina jednačina x2 + y2=z2 ima beskonačan broj pozitivnih cjelobrojna rješenja za x, y i z. Ova rješenja su poznata kao Pitagorina trojstva. Oko 1637. godine, Fermat je napisao na rubu knjige da općenitija jednačina a + b =cnema rješenja u prirodnim brojevima ako je n cijeli broj veći od 2. Iako je sam Fermat tvrdio da ima rješenje za svoj problem, nije ostavio nikakve detalje o njegovom dokazu. Elementarni dokaz Fermatove teoreme, za koji je tvrdio njegov tvorac, bio je prilično njegov hvalisav izum. Knjiga velikog francuskog matematičara otkrivena je 30 godina nakon njegove smrti. Ova jednačina, nazvana Fermatova posljednja teorema, ostala je neriješena u matematici tri i po stoljeća.
Teorema je na kraju postala jedan od najznačajnijih neriješenih problema u matematici. Pokušaji da se ovo dokaže izazvali su značajan razvoj teorije brojeva, a sa odlomkomvremena, Fermatova posljednja teorema postala je poznata kao neriješen problem u matematici.
Kratka istorija dokaza
Ako je n=4, kao što je dokazao sam Fermat, dovoljno je dokazati teoremu za indekse n koji su prosti brojevi. U naredna dva stoljeća (1637-1839) pretpostavka je dokazana samo za proste brojeve 3, 5 i 7, iako je Sophie Germain ažurirala i dokazala pristup koji se primjenjuje na cijelu klasu prostih brojeva. Sredinom 19. vijeka, Ernst Kummer je ovo proširio i dokazao teoremu za sve regularne proste brojeve, pri čemu su nepravilni prosti brojevi analizirani pojedinačno. Na osnovu Kummerovog rada i korištenjem sofisticiranog kompjuterskog istraživanja, drugi matematičari su uspjeli proširiti rješenje teoreme, sa ciljem da pokriju sve glavne eksponente do četiri miliona, ali dokaz za sve eksponente još uvijek nije bio dostupan (što znači da su matematičari obično se smatralo da je rješenje teoreme nemoguće, izuzetno teško ili nedostižno sa trenutnim znanjem).
Djelo Shimure i Taniyame
Godine 1955. japanski matematičari Goro Shimura i Yutaka Taniyama sumnjali su da postoji veza između eliptičkih krivulja i modularnih oblika, dvije vrlo različite grane matematike. U to vrijeme poznata kao Taniyama-Shimura-Weyl pretpostavka i (u konačnici) kao teorema modularnosti, postojala je sama za sebe, bez očigledne veze sa posljednjom Fermatovom teoremom. Sama se naširoko smatrala važnom matematičkom teoremom, ali se smatralo da je (kao i Fermatova teorema) nemoguće dokazati. Na toU isto vrijeme, dokaz Fermatove posljednje teoreme (podjelom i primjenom složenih matematičkih formula) izveden je samo pola stoljeća kasnije.
Godine 1984. Gerhard Frey je uočio očiglednu vezu između ova dva prethodno nepovezana i neriješena problema. Potpunu potvrdu da su dvije teoreme usko povezane objavio je 1986. Ken Ribet, koji je na osnovu djelomičnog dokaza Jean-Pierre Serra-a dokazao sve osim jednog dijela, poznatog kao "epsilon hipoteza". Jednostavno rečeno, ovi radovi Freya, Serre i Ribea pokazali su da ako se teorema modularnosti može dokazati, barem za polustabilnu klasu eliptičkih krivulja, onda će prije ili kasnije biti otkriven i dokaz Fermatove posljednje teoreme. Bilo koje rješenje koje može biti kontradiktorno Fermatovoj posljednjoj teoremi također se može koristiti za proturječnost teoremi modularnosti. Stoga, ako se pokazalo da je teorema modularnosti tačna, onda po definiciji ne može postojati rješenje koje je u suprotnosti s posljednjom Fermatovom teoremom, što znači da je trebalo uskoro biti dokazano.
Iako su obje teoreme bile teški problemi u matematici, koji se smatraju nerješivim, rad dvojice Japanaca bio je prvi prijedlog kako bi se Fermatova posljednja teorema mogla proširiti i dokazati za sve brojeve, a ne samo za neke. Za istraživače koji su odabrali temu studija bila je važna činjenica da je, za razliku od Fermatove posljednje teoreme, teorema modularnosti bila glavno aktivno područje istraživanja, za kojeRazvijeni su dokazi, a ne samo istorijska neobičnost, pa se vrijeme utrošeno na njen rad moglo opravdati sa profesionalne tačke gledišta. Međutim, opći konsenzus je bio da se rješavanje Taniyama-Shimura pretpostavke pokazalo neprikladnim.
Posljednja farma teorema: Wilesov dokaz
Saznavši da je Ribet dokazao da je Freyeva teorija tačna, engleski matematičar Andrew Wiles, koji se od djetinjstva zanima za Fermatovu posljednju teoremu i ima iskustva u radu sa eliptičkim krivuljama i susjednim domenama, odlučio je pokušati dokazati Taniyama-Shimura Pretpostavka kao način dokazivanja Fermatove posljednje teoreme. Godine 1993., šest godina nakon što je objavio svoj cilj, dok je tajno radio na problemu rješavanja teoreme, Wiles je uspio dokazati srodnu pretpostavku, koja će mu zauzvrat pomoći da dokaže Fermatovu posljednju teoremu. Wilesov dokument bio je ogroman po veličini i obimu.
Mana je otkrivena u jednom dijelu njegovog originalnog rada tokom recenzije i zahtijevala je još godinu dana saradnje sa Richardom Taylorom kako bi se zajednički riješila teorema. Kao rezultat toga, Wilesov konačni dokaz Fermatove posljednje teoreme nije dugo čekao. Godine 1995. objavljen je u mnogo manjem obimu od Wilesovog prethodnog matematičkog rada, ilustrirajući da nije pogriješio u svojim prethodnim zaključcima o mogućnosti dokazivanja teoreme. Wilesovo postignuće je bilo široko publicirano u popularnoj štampi i popularizirano u knjigama i televizijskim programima. Preostali dijelovi Taniyama-Shimura-Weil pretpostavke, koji su sada dokazani ipoznata kao teorema modularnosti, kasnije su dokazani od strane drugih matematičara koji su gradili na Wilesovom radu između 1996. i 2001. godine. Za svoje postignuće, Wiles je nagrađen i dobio brojne nagrade, uključujući Abelovu nagradu 2016.
Wilesov dokaz Fermatove posljednje teoreme je poseban slučaj rješavanja teoreme modularnosti za eliptičke krive. Međutim, ovo je najpoznatiji slučaj tako velike matematičke operacije. Uz rješavanje Ribeove teoreme, britanski matematičar je dobio i dokaz Fermatove posljednje teoreme. Fermatova posljednja teorema i teorema modularnosti su moderni matematičari skoro univerzalno smatrali nedokazivim, ali Andrew Wiles je uspio dokazati naučnom svijetu da čak i stručnjaci mogu pogriješiti.
Wyles je prvi put najavio svoje otkriće u srijedu, 23. juna 1993. na predavanju u Cambridgeu pod nazivom "Modularni oblici, eliptične krive i Galois reprezentacije". Međutim, u septembru 1993. godine ustanovljeno je da su njegovi proračuni sadržavali grešku. Godinu dana kasnije, 19. septembra 1994., u onome što bi nazvao "najvažnijim trenutkom svog radnog vijeka", Wiles je naišao na otkriće koje mu je omogućilo da popravi rješenje problema do tačke u kojoj bi moglo zadovoljiti matematičke zajednica.
Opis rada
Dokaz Fermatove teoreme Andrewa Wilesa koristi mnoge metode iz algebarske geometrije i teorije brojeva i ima mnogo razgranaka u ovimoblasti matematike. On takođe koristi standardne konstrukcije moderne algebarske geometrije, kao što su kategorija šema i Iwasawa teorija, kao i druge metode 20. veka koje nisu bile dostupne Pierreu de Fermatu.
Dva članka koja sadrže dokaze dugačka su 129 stranica i napisana su tokom sedam godina. John Coates je ovo otkriće opisao kao jedno od najvećih dostignuća teorije brojeva, a John Conway ga je nazvao glavnim matematičkim dostignućem 20. stoljeća. Wiles je, da bi dokazao posljednju Fermatovu teoremu dokazujući teorem modularnosti za poseban slučaj polustabilnih eliptičkih krivulja, razvio moćne metode za podizanje modularnosti i otvorio nove pristupe brojnim drugim problemima. Za rješavanje posljednje Fermatove teoreme proglašen je vitezom i dobio je druge nagrade. Kada je postalo poznato da je Wiles osvojio Abelovu nagradu, Norveška akademija nauka opisala je njegovo postignuće kao "divan i elementaran dokaz Fermatove posljednje teoreme."
Kako je bilo
Jedan od ljudi koji su pregledali Wilesov originalni rukopis s rješenjem teoreme bio je Nick Katz. Tokom svog pregleda, Britancu je postavio brojna pitanja koja pojašnjavaju koja su navela Wilesa da prizna da njegov rad jasno sadrži prazninu. U jednom kritičnom dijelu dokaza napravljena je greška koja je dala procjenu za poredak određene grupe: Ojlerov sistem korišten za proširenje Kolyvaginove i Flachove metode bio je nepotpun. Greška, međutim, nije učinila njegov rad beskorisnim - svaki dio Wilesovog rada bio je vrlo značajan i inovativan sam po sebi, kao i mnogirazvoja i metoda koje je stvorio tokom svog rada i koji su zahvatili samo jedan dio rukopisa. Međutim, ovo originalno djelo, objavljeno 1993., zapravo nije imalo dokaz Fermatove posljednje teoreme.
Wyles je proveo skoro godinu dana pokušavajući da ponovo otkrije rešenje teoreme, prvo sam, a zatim u saradnji sa svojim bivšim učenikom Richardom Taylorom, ali se činilo da je sve bilo uzaludno. Do kraja 1993. kružile su glasine da je Wilesov dokaz propao u testiranju, ali nije poznato koliko je taj neuspjeh ozbiljan. Matematičari su počeli da vrše pritisak na Wilesa da otkrije detalje svog rada, bez obzira da li je to urađeno ili ne, kako bi šira zajednica matematičara mogla da istražuje i koristi sve što je bio u stanju da postigne. Umjesto da brzo ispravi svoju grešku, Wiles je samo otkrio dodatne teške aspekte u dokazu Fermatove posljednje teoreme, i konačno shvatio koliko je to teško.
Wyles navodi da je ujutro 19. septembra 1994. bio na ivici odustajanja i odustajanja, te da je bio gotovo pomiren sa neuspjehom. Bio je spreman objaviti svoje nedovršeno djelo kako bi ga drugi mogli nadograđivati i otkriti gdje je pogriješio. Engleski matematičar odlučio je dati sebi posljednju šansu i posljednji put je analizirao teoremu kako bi pokušao razumjeti glavne razloge zašto njegov pristup nije uspio, kada je iznenada shvatio da Kolyvagin-Flac pristup neće funkcionirati dok neće također uključiti Iwasawinu teoriju u proces dokazivanja, čime će ona funkcionirati.
Dana 6. oktobra, Wiles je zamolio tri kolege (uključujući F altinsa) da recenziraju njegov novi rad, a 24. oktobra 1994. predao je dva rukopisa - "Modularne eliptičke krive i Fermatova posljednja teorema" i "Teorijska svojstva prsten nekih Hekeovih algebri", od kojih je drugu Wiles napisao zajedno sa Taylor-om i dokazao da su ispunjeni određeni uslovi da opravdaju ispravljeni korak u glavnom članku.
Ova dva rada su recenzirana i konačno objavljena kao izdanje punog teksta u Annals of Mathematics u maju 1995. godine. Andrewovi novi proračuni bili su široko analizirani i na kraju prihvaćeni od strane naučne zajednice. U ovim radovima ustanovljena je teorema modularnosti za polustabilne eliptičke krivulje - posljednji korak ka dokazivanju Fermatove posljednje teoreme, 358 godina nakon što je stvorena.
Istorija velikog problema
Rješavanje ove teoreme se vekovima smatra najvećim problemom u matematici. Godine 1816. i 1850. Francuska akademija nauka je ponudila nagradu za opšti dokaz Fermaove poslednje teoreme. Godine 1857. Akademija je Kummeru dodijelila 3.000 franaka i zlatnu medalju za njegovo istraživanje idealnih brojeva, iako se on nije prijavio za nagradu. Briselska akademija mu je 1883. ponudila još jednu nagradu.
Wolfskell Prize
Godine 1908., njemački industrijalac i matematičar amater Paul Wolfskel zavještao je 100.000 zlatnih maraka (veliki iznos za to vrijeme)Akademije nauka u Getingenu, tako da ovaj novac postaje nagrada za potpuni dokaz Fermatove poslednje teoreme. Akademija je 27. juna 1908. objavila devet pravila o dodjeli nagrada. Između ostalog, ova pravila su zahtijevala da se dokaz objavi u recenziranom časopisu. Nagrada je trebala biti dodijeljena tek dvije godine nakon objavljivanja. Konkurs je trebao isteći 13. septembra 2007. godine - otprilike vek nakon što je počeo. Dana 27. juna 1997. Wiles je primio Wolfschelovu nagradu, a zatim još 50.000 dolara. U martu 2016. dobio je 600.000 eura od norveške vlade kao dio Abelove nagrade za "nevjerovatan dokaz Fermatove posljednje teoreme uz pomoć pretpostavke o modularnosti za polustabilne eliptičke krive, otvarajući novu eru u teoriji brojeva." Bio je to svjetski trijumf skromnog Engleza.
Prije Wilesovog dokaza, Fermatova teorema, kao što je ranije spomenuto, stoljećima se smatrala apsolutno nerješivom. Na hiljade netačnih dokaza u različitim vremenima predstavljeno je Wolfskell komitetu, što je iznosilo otprilike 3 metra prepiske. Samo u prvoj godini postojanja nagrade (1907-1908) podneta je 621 prijava sa tvrdnjom da rešavaju teoremu, iako se do 1970-ih njihov broj smanjio na oko 3-4 prijave mesečno. Prema F. Schlichtingu, Wolfschelovom recenzentu, većina dokaza bila je zasnovana na elementarnim metodama koje se podučavaju u školama i često su predstavljane kao "ljudi sa tehničkim iskustvom, ali neuspješnim karijerama". Prema istoričaru matematike Howardu Avesu, posljednjiFermatova teorema je postavila svojevrsni rekord - ovo je teorema sa najvećim brojem netačnih dokaza.
Lovori sa farme pripali su Japancima
Kao što je ranije spomenuto, oko 1955. godine, japanski matematičari Goro Shimura i Yutaka Taniyama otkrili su moguću vezu između dvije naizgled potpuno različite grane matematike - eliptičkih krivulja i modularnih oblika. Rezultirajuća teorema modularnosti (tada poznata kao Taniyama-Shimura hipoteka) kaže da je svaka eliptična kriva modularna, što znači da se može pridružiti jedinstvenom modularnom obliku.
Teorija je u početku odbačena kao malo vjerovatna ili vrlo spekulativna, ali je ozbiljnije shvaćena kada je teoretičar brojeva André Weil pronašao dokaze koji podržavaju japanske zaključke. Kao rezultat toga, hipoteza se često naziva hipoteza Taniyama-Shimura-Weil. Postala je dio programa Langlands, koji je lista važnih hipoteza koje treba dokazati u budućnosti.
Čak i nakon ozbiljnog ispitivanja, moderni matematičari su ovu pretpostavku prepoznali kao izuzetno tešku, ili možda nedostupnu za dokaz. Sada ova konkretna teorema čeka svog Andrewa Wilesa, koji bi mogao iznenaditi cijeli svijet svojim rješenjem.
Fermatova teorema: Perelmanov dokaz
Uprkos popularnom mitu, ruski matematičar Grigorij Perelman, uz svu svoju genijalnost, nema nikakve veze sa Fermaovom teoremom. Što ga, međutim, ni na koji način ne umanjuje.brojni doprinosi naučnoj zajednici.
