Avion u svemiru. Položaj aviona u svemiru

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-02 17:42

Ravan je geometrijski objekat čija se svojstva koriste pri konstruisanju projekcija tačaka i pravih, kao i pri izračunavanju udaljenosti i diedralnih uglova između elemenata trodimenzionalnih figura. Razmotrimo u ovom članku koje jednačine se mogu koristiti za proučavanje položaja ravnina u prostoru.

Definicija aviona

Svako intuitivno zamišlja o kom predmetu će se razgovarati. Sa geometrijske tačke gledišta, ravan je skup tačaka, svaki vektori između kojih moraju biti okomiti na neki vektor. Na primjer, ako postoji m različitih tačaka u prostoru, onda se od njih može napraviti m(m-1) / 2 različita vektora, povezujući tačke u parovima. Ako su svi vektori okomiti na neki jedan pravac, onda je to dovoljan uslov da sve tačke m pripadaju istoj ravni.

Opšta jednadžba

U prostornoj geometriji, ravan se opisuje pomoću jednačina koje općenito sadrže tri nepoznate koordinate koje odgovaraju osama x, y i z. Todobiti opštu jednačinu u ravninskim koordinatama u prostoru, pretpostavimo da postoji vektor n¯(A; B; C) i tačka M(x₀; y₀; z_{0). Koristeći ova dva objekta, ravan se može jedinstveno definirati.}

Zaista, pretpostavimo da postoji neka druga tačka P(x; y; z) čije koordinate su nepoznate. Prema gore datoj definiciji, vektor MP¯ mora biti okomit na n¯, odnosno skalarni proizvod za njih je jednak nuli. Tada možemo napisati sljedeći izraz:

(n¯MP¯)=0 ili

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Otvarajući zagrade i uvodeći novi koeficijent D, dobijamo izraz:

Ax + By + Cz + D=0 gdje je D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Ovaj izraz se zove opšta jednačina za ravan. Važno je zapamtiti da koeficijenti ispred x, y i z formiraju koordinate vektora n¯(A; B; C) okomitog na ravan. Poklapa se sa normalom i vodilja je za avion. Da bi se odredila opšta jednačina, nije važno gde je ovaj vektor usmeren. To jest, ravni izgrađene na vektorima n¯ i -n¯ će biti iste.

Slika iznad prikazuje ravan, vektor normalan na nju i pravu okomitu na ravan.

Segmenti odsečeni ravninom na osi i odgovarajućom jednačinom

Opšta jednačina omogućava korišćenje jednostavnih matematičkih operacija za određivanje, inu kojim tačkama će ravan preseći koordinatne ose. Važno je znati ove podatke da biste imali predstavu o položaju u prostoru aviona, kao i kada ga prikazujete na crtežima.

Da bi se odredile imenovane tačke preseka, koristi se jednačina u segmentima. Naziva se tako jer eksplicitno sadrži vrijednosti dužina segmenata odsječenih ravninom na koordinatnoj osi, kada se računa od tačke (0; 0; 0). Hajde da dobijemo ovu jednačinu.

Napišite opći izraz za ravan na sljedeći način:

Ax + By + Cz=-D

Lijevi i desni dio mogu se podijeliti sa -D bez narušavanja jednakosti. Imamo:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 ili

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Dizajnirajte nazivnike svakog člana novim simbolom, dobijamo:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C onda

x/p + y/q + z/r=1

Ovo je gore spomenuta jednačina u segmentima. Iz toga slijedi da vrijednost nazivnika svakog člana označava koordinatu presjeka s odgovarajućom osom ravnine. Na primjer, siječe y-osu u tački (0; q; 0). Ovo je lako razumjeti ako zamijenite nulte x i z koordinate u jednadžbu.

Primjetite da ako u jednadžbi nema varijable u segmentima, to znači da ravan ne siječe odgovarajuću osu. Na primjer, s obzirom na izraz:

x/p + y/q=1

Ovo znači da će ravan odsjeći segmente p i q na x i y osi, respektivno, ali će biti paralelna sa osom z.

Zaključak o ponašanju aviona kadaodsustvo neke varijable u njenoj jednačini važi i za izraz opšteg tipa, kao što je prikazano na slici ispod.

Vektorska parametarska jednadžba

Postoji i treća vrsta jednadžbe koja omogućava opisivanje ravni u prostoru. Naziva se parametarskim vektorom jer ga daju dva vektora koji leže u ravni i dva parametra koja mogu uzeti proizvoljne nezavisne vrijednosti. Hajde da pokažemo kako se ova jednačina može dobiti.

Pretpostavimo da postoji nekoliko poznatih vektora u ¯(a₁; b₁; c₁) i v¯(a₂; b₂; c₂). Ako nisu paralelni, onda se mogu koristiti za postavljanje određene ravni fiksiranjem početka jednog od ovih vektora u poznatoj tački M(x₀; y₀; z_{0). Ako se proizvoljni vektor MP¯ može predstaviti kao kombinacija linearnih vektora u¯ i v¯, onda to znači da tačka P(x; y; z) pripada istoj ravni kao u¯, v¯. Dakle, možemo napisati jednakost:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Ili zapisivanjem ove jednakosti u smislu koordinata, dobijamo:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Predstavljena jednakost je parametarska vektorska jednadžba za ravan. ATvektorski prostor na ravni u¯ i v¯ nazivaju se generatori.

Dalje, prilikom rješavanja zadatka, pokazaće se kako se ova jednačina može svesti na opći oblik za ravan.

Ugao između ravni u prostoru

Intuitivno, ravni u 3D prostoru se mogu ili ukrštati ili ne. U prvom slučaju, zanimljivo je pronaći ugao između njih. Izračunavanje ovog ugla je teže od ugla između linija, budući da je reč o diedralnom geometrijskom objektu. Međutim, već spomenuti vektor vodilja za avion dolazi u pomoć.

Geometrijski je utvrđeno da je diedralni ugao između dve ravni koje se seku tačno jednak uglu između njihovih vodećih vektora. Označimo ove vektore kao n₁¯(a₁; b₁; c_{1) i n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Kosinus ugla između njih određuje se iz skalarnog proizvoda. To jest, sam ugao u prostoru između ravnina može se izračunati po formuli:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Ovdje se modul u nazivniku koristi za odbacivanje vrijednosti tupog ugla (između ravnina koje se seku uvijek je manji ili jednak 90o).

U koordinatnoj formi, ovaj izraz se može prepisati na sljedeći način:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Ravnine okomite i paralelne

Ako se ravni seku i diedarski ugao formiran od njih je 90o, tada će one biti okomite. Primjer takvih ravnina je pravokutna prizma ili kocka. Ove figure su formirane sa šest ravnina. Na svakom vrhu imenovanih figura postoje tri ravni okomite jedna na drugu.

Da bismo saznali jesu li razmatrane ravnine okomite, dovoljno je izračunati skalarni proizvod njihovih normalnih vektora. Dovoljan uslov za okomitost u prostoru ravnina je nulta vrednost ovog proizvoda.

Paralele se nazivaju ravnine koje se ne seku. Ponekad se takođe kaže da se paralelne ravni seku u beskonačnosti. Uslov paralelizma u prostoru ravnina poklapa se sa tim uslovom za vektore pravca n₁¯ i n_{2¯. To možete provjeriti na dva načina:}

Izračunajte kosinus diedralnog ugla (cos(φ)) koristeći skalarni proizvod. Ako su ravni paralelne, tada će vrijednost biti 1.

Pokušajte predstaviti jedan vektor kroz drugi množenjem nekim brojem, tj. n₁¯=kn_{2¯. Ako je to moguće, onda su odgovarajuće ravniparalelno.}

Slika prikazuje dvije paralelne ravni.

Dajmo sada primjere rješavanja dva zanimljiva problema korištenjem stečenog matematičkog znanja.

Kako dobiti opći oblik iz vektorske jednačine?

Ovo je parametarski vektorski izraz za ravan. Da biste lakše razumjeli tok operacija i korištene matematičke trikove, razmotrite konkretan primjer:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Proširite ovaj izraz i izrazite nepoznate parametre:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Zatim:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Otvarajući zagrade u zadnjem izrazu, dobijamo:

z=2x-2 + 3y - 6 ili

2x + 3y - z - 8=0

Dobili smo opšti oblik jednačine za ravan specificiranu u iskazu problema u vektorskom obliku

Kako izgraditi avion kroz tri tačke?

Moguće je povući jednu ravan kroz tri tačke ako ove tačke ne pripadaju nekoj pravoj liniji. Algoritam za rješavanje ovog problema sastoji se od sljedećeg niza akcija: